제 8 장 무한 임펄스 응답 필터 설계

1. 제 8장 무한 임펄스 응답 필터 설계

2. 1. 서론 • 무한 임펄스 응답 디지털 필터의 설계 • 아날로그 필터 설계를 바탕으로 원하는 특징을 가지는 디지털필터로의 변환 • 임펄스 응답불변(impulse invariant) 변환 • 양선형(bilinear) z 변환

3. 2. IIR 필터의 기본특성 • IIR 디지털 필터 • IIR 필터의 전달함수 (8-1) 여기서 는 필터의 임펄스응답이며, 와 는 필터의 계수들이다. (8-2)

4. 인수분해 형식의 IIR 필터 전달함수 • IIR 필터의 특성 • 필터의 현재의 출력인 은 과거의 출력들인 과 현재 및 과거의 입력들인 의 합으로 표현 • FIR에비해 적은 계수들을 가지고도 급격한 차단특성을 지님 • 시스템의 불안정성을 초래 • 설계 과정에서 안정도 판별 필요 여기서 은 영점들을, 은 극점들은 나타내고, 는 상수이다. (8-3)

5. 3. 아날로그 필터를 이용한 IIR 필터 설계 • IIR 디지털 필터의 설계 • 임펄스 응답불변 변환 • 디지털 필터의 임펄스 응답이 표본점에서 아날로그 필터의 응답과 같은 값을 가짐 그림 8-1. 임펄스 응답 불변변환 방법

6. 양선형 z 변환 • s평면에 있는 아날로그 영점과 극점들을 z 평면의 디지털 영점과 극점들로 일대일 사상(mapping)하여 변환 • 주파수 휨(frequency warping) • s 평면의 jw 축 전체가 z 평면의 단위원으로 유일하게 사상되기 때문에 주파수 축의 압축효과 가 나타남

7. 그림 8-2. 임펄스 응답 불변변환 방법

8. 그림 8-2. 임펄스 응답 불변변환 방법

9. 임펄스 응답불변 변환 • 간단한 저역통과 아날로그 필터 • 임펄스 응답 • 역 라플라스 변환 • 임펄스 응답열 • 임펄스 응답의 샘플링 (주기=T) (8-4) (8-5) (8-6)

10. 디지털 필터의 임펄스 응답 • z 변환 (8-7)

11. 임펄스 응답불변 변환의 일반화 • 단극점(single pole)로 구성되는 전달함수를 갖는 아날로그 필터 • 임펄스 응답 • 역 라플라스 변환 • 임펄스 응답열 • 임펄스 응답의 샘플링 (주기=T) (8-8) 여기서 및 는 에 대한 실수 또는 복소수 값을 갖는 상수들이다. (8-9) (8-10)

12. z 변환 • 교환법칙 적용 • 무한급수 정리 적용 (8-11) (8-12) (8-13)

13. 임펄스 응답불변 변환 방법에 의해 설계된 디지털 필터 • 중근(repeated poles)을 가진 아날로그 필터 • l 차의 중근을 가지는 전달함수 • z 변환 (8-14) (8-15) (8-16)

14. 복소근을 가진 아날로그 필터(1) • 전달함수 • z 변환 (8-17) (8-18)

15. 복소근을 가진 아날로그 필터(2) • 전달함수 • z 변환 (8-19) (8-20)

16. 예제 8-1 • 2차 아날로그 버터워스 필터의 전달함수 • 부분분수 전개 • 임펄스 응답 불변의 디지털 필터 • T =1인 경우

17. 그림 8-3. 예제 8-1의 진폭응답 특성

18. 임펄스 응답불변 변환방법에 의한 디지털 필터의 설계 • 샘플링 정리 • 임펄스 응답불변 변환방법음 전달함수가 대역제한함수인 경우로 국한됨 • 필터의 이득 • 디지털 필터의 이득과 아날로그 필터의 이득이 같아지도록 에 T를 곱함 (8-21)

19. 양선형 z변환 • s평면의 허수축을z 평면의 단위원으로 대응시키며, 원안의 값들은 좌반평면의 로 취해진 값들과 대응 (8-22) (8-23)

20. 을 대입 • 주파수 축적 • 대입 (8-24) (8-25) 여기서 은 아날로그 주파수, 디지털 주파수를 나타낸다.

21. 그림 8-4. 양선형 주파수 변환

22. 아날로그와 디지털 주파수 사이 관계 • 주파수 휨 효과 • 아날로그 주파수가 0에서 까지의 주파수 범위를 가질 때 디지털 주파수는 0에서 내에서 변화 (8-26) (8-27)

23. 예제 8-2 • 1차 버터워스 아날로그 저역통과 필터를 사용하여 디지털 필터 설계 • 전달함수 • 양선형 z변환 • 디지털 필터 • 일 경우

24. 아날로그와 디지털 필터의 특성 • 아날로그 필터의 임펄스 응답은 이다 • 아날로그 필터의 진폭 및 위상의 주파수응답 특성은 다음과 같다 • 디지털 필터의 임펄스 응답은 이다 • 디지털 필터의 주파수응답 특성은 각각 다음과 같다 진폭응답 = 위상응답 = 진폭응답 = 위상응답 =

25. 와 는 다음의 관계를 갖는다

26. 예제 8-3 • 다음사양을 만족하는 저역통과 디지털 필터를 설계하라 • 필터의 응답은 1000[Hz]에서 -3[dB]의 전력이득을 가짐 • 필터의 응답은 3000[Hz]에서 -10[dB]의 전력이득을 가짐 • 표본화 주파수는 10kHz • 필터 응답은 1000~3000[Hz] 사이의 천이대역(transition region)에서 단조 감소 • 디지털 매개변수 계산 • 표본화 주기: • 차단주파수: • 소거주파수:

27. 주파수 휨 고려 • 버터워스 필터의 차수 결정 • 원하는 아날로그 버터워스 필터

28. 양선형z변환 • 대입 그림 8-5. 예제 8-3의 진폭응답 특성

29. 4. 두 변환방법의 비교 • 아날로그 필터에서 디지털 필터로의 변환 • 임펄스 응답불변 변환 • 아날로그의 임펄스 응답을 보존 • 양선형z 변환 • 주파수 응답의 휨 효과 유발 (8-28) (8-29)

30. 예제 8-4 • 임펄스 응답불변 방법과 양선형 z 변환 방법에의한 디지털 필터 비교 • 아날로그 전달함수 • 주파수 특성

31. 임펄스 응답 불변변환에 의한 디지털 필터 (1) • 주파수 특성 • 대입

32. 양선형 변환에 의한 디지털 필터 (2) • 주파수 특성

33. 그림 8-6. 예제 8-4의 진폭응답 및 위상응답 특성

34. 예제 8-5 • 아날로그 버터워스 필터의 전달함수 • 전달함수의 부분분수 전개 • 역 라플라스 변환

35. 주파수 응답 • 에서 -3[dB]점을 갖는 아날로그 필터 (8-30)

36. 식 (8-30)을 표준필터로 하여 임펄스 응답불변 방법을 이용한 필터설계 • 표본화 주기 ( ) (8-31)

37. 식 (8-30)을 표준필터로 하여 양선형 z변환방법을 이용한 필터설계 (8-32)

38. 5. 주파수 변환 • 주파수 변환 • 저역통과 필터로부터 주파수변환읕 통해 고역통과, 대역 통과 또는 대역 소거 필터 설계 그림 8-7. 디지털 필터의 설계방법

39. 그림 8-8. 아날로그필터로부터 디지털필터를 얻는 여러 변환 방법들

40. 저역통과 필터 • 에서 -3[dB]점을 가진 정규화 된 저역통과 필터 • 에서 -3[dB]점을 가진 정규화 된 저역통과 필터 • 고역통과 필터 • 주파수 변환을 이용 저역통과 필터에 를 대체 • 에서 -3[dB]점을 가진 고역통과 필터

41. 대역통과 필터 • 에서 -3[dB]를갖는 대역통과 필터 • 대역소거 필터 • 에서 -3[dB]를갖는 대역소거 필터 여기서 이고, 는 소거대역폭이고, 는 소거대역의 상한차단주파수이고, 는 소거대역의 하한차단주파수이다.

42. 표 8-1. 아날로그 주파수 변환

43. 예제8-6 • 정규화된 2차 전달함수를 양선형 z 변환방법을 이용하여 디지털 저역통과 필터를 설계 • 전달함수 • 표본화 주파수 : • 10[Hz]에서 -3[dB]점을 가짐 • 주파수 우선 휨 • 주파수 휘 고려

44. 아날로그 저역통과 필터의 전달함수 • 양선형 z변환

45. 양선형z 변환 • 계산의 편의 고려 • 계산의 정확성 고려

46. 그림 8-9. 예제 8-6의 진폭응답 특성

47. 예제8-7 • 정규화된 저역통과 전달함수를 양선형 z 변환방법을 이용하여 디지털 고역통과 필터를 설계 • 전달함수 • 표본화 주파수 : • 차단 주파수 : • 차단 주파수의 우선 휨 • 주파수 휘 고려

48. 주파수 변환표를 이용한 아날로그 고역통과 필터 변환 • 양선형 z 변환

49. 그림 8-10. 예제 8-6의 진폭응답 특성

50. 예제 8-8 • 다음의 사양을 만족하는 필터의 전달함수를 버터워스필터를 이용한 양선형 z 변환을 이용하여 구하라 • 대역통과 : • 표본화 주파수 : • 필터차수 : 2 • 저역통과와 대역통과 주파수 변환