圆圆关系 思路分析

1. 九年级几何 圆圆关系 思路分析 天津石化一中 曹诚 2002.11

2. 本课件内容是九年级几何中圆与圆的 位置关系单元习题思路分析，题目出自天 津市教育教学研究室编的《几何学习质量 监测》，其中自58页第11题至61页第18题 为“圆和圆的位置关系”一节，自63页第9题 至第68页第20题为“两圆的公切线”一节， 自第71页第10题至尾为本单元学习质量监 测。有些题目的分析有多种思路，是石化 一中2003届1、2班学生在作业中的解法的 集中体现。

3. AB= AN， AC= AN， 已知：如图：⊙N与⊙M互过另一个圆的圆心， 两圆交于A、B两点， A 第58页第11题 求证：AB2=3AN2. . . 分析： ∟ N C M 连结AM、NM, NM交AB于C， B AC=BC，NM⊥AB， AN=NM=AM， ∠N=60°，

4. 已知：如图，⊙O2经过⊙O1的圆心与⊙O1 相交于A、B两点， 第58页第12题 O1 O2交⊙O1于E， 延长O1 O2交⊙O2于C点， A 求证： (1)AC是⊙O1的切线； . . E O1 C O2 分析： 连结AO1, B ∠O1AC=90°, O1C是⊙O2的直径,

5. ( ( EB=EA, 已知：如图，⊙O2经过⊙O1的圆心与⊙O1 相交于A、B两点， 第58页第12题 O1 O2交⊙O1于E， 延长O1 O2交⊙O2于C点， A 求证： . . E O1 C (2)∠EO1B=2∠CAE； O2 连结AB、BE, 分析： B ∠CAE=∠ABE, ∠EO1B=2∠ABE, ∠EO1A=2∠ABE, O1O2⊥AB, ∠EO1B=∠EO1A,

6. 已知：如图，⊙O2经过⊙O1的圆心与⊙O1 相交于A、B两点， 第58页第12题 O1 O2交⊙O1于E， 延长O1 O2交⊙O2于C点， A 求证： . . E (3)AC2=CE2+2CE·O1E. O1 C O2 分析： AC2=O1C2–O1A2, B O1C2–O1A2=CE2+2CE·O1E, (O1E+CE)2–O1A2=CE2+2CE·O1E, O1E=O1A,

7. 已知：如图，⊙O1、⊙O2相交于A、B两点， 第59页第13题 CD与⊙O1切于A点， 交⊙O2于D点， ⊙O1 的弦BE与⊙O2交于F点， C E 求证：AE∥DF. A 分析： . . O2 ∠CAE=∠D, O1 F 连结AB, D ∠B=∠D, B ∠CAE=∠B, CD与⊙O1切于A点，

8. CB CE CE CD = , ? 已知：如图，两圆相交于A、B两点， 过A作小圆的切线CK交大圆于C， 连结AB, 第59页第14题 连CB并延长交小圆于D， E K A 连DA并延长交大圆于E， 求证：CE2=CB·CD. 分析1： D B 连结BE， C △CBE∽△CED， ∠ECB=∠DCE, ∠CEB=∠D, 连结AB， ∠D=∠CAB, ∠CEB=∠CAB,

9. 已知：如图，两圆相交于A、B两点， 过A作小圆的切线CK交大圆于C， 第59页第14题 连CB并延长交小圆于D， E K A 连DA并延长交大圆于E， 求证：CE2=CB·CD. 分析2： CB·CD=CA2, D CE=CA, B C ∠E=∠EAC, ∠E=∠ABD, ∠KAD=∠EAC, ∠ABD=∠KAD,

10. CB AB CE AD CB CE CE CD AB CE AD CD = , = , = , 已知：如图，两圆相交于A、B两点， 过A作小圆的切线CK交大圆于C， 第59页第14题 连CB并延长交小圆于D， E K A 连DA并延长交大圆于E， 求证：CE2=CB·CD. ） 分析3： ） D B 连结BE， C

11. CB AB CE AD AB CE AD CD CB CE CE CD = , = , = , 已知：如图，两圆相交于A、B两点， 过A作小圆的切线CK交大圆于C， 第59页第14题 连CB并延长交小圆于D， E K A 连DA并延长交大圆于E， 求证：CE2=CB·CD. ） 分析3： ） D B 连结BE， C △ABD∽△CED，

12. 已知：如图，⊙O1与⊙O2交于A、B两点， 在⊙O2上取一点P， 第60页第15题 连结PA、PB并延长交⊙O1于C、D两点， PO2的延长线交CD于E，交⊙O2于F， C 求证：PE⊥CD. A 分析1： E ∠D+∠DPE=90°, . . F 连结AB, O1 O2 ∠D=∠BAP, P ∠BAP+∠DPE=90°, B D ∠BAP=∠BFP, 连结BF， ∠BFP+∠DPE=90°, PF为直径，

13. 已知：如图，⊙O1与⊙O2交于A、B两点， 在⊙O2上取一点P， 第60页第15题 连结PA、PB并延长交⊙O1于C、D两点， PO2的延长线交CD于E，交⊙O2于F， C 求证：PE⊥CD. A 作切线PT, 分析2： E T PT⊥PE, . . F PT∥CE, O1 O2 P ∠C=∠CPT, B D ∠C=∠ABP, 连结AB， ∠ABP=∠CPT, PT为切线，

14. ） ） ） ） BC=BF, BD=BE， 已知：如图，两圆相交于A、B两点， 第一个圆的弦AC交第二个圆于D点， 第60页第16题 第二个圆的弦AE交第一个圆于F点， ? 并且∠CAB=∠EAB， A 求证：CD=EF. 分析： F 连结BC、 BD、BE、BF, D BC=BF， BD=BE， ∠C=∠BFE， C E ∠CDB=∠E， B △CDB≌△FEB，

15. MD MA MA MC = ， （ （ MB=MA， 已知：如图，⊙M与⊙N交于A、B， 点M在⊙N上， 第61页第17题 ⊙N弦MC分别交AB、 ⊙M于D、E， 求证：(1)MA2=MD·MC; A 分析： . . N D M △MDA∽△MAC， E ∠M=∠M， C B ∠MAD=∠MCA， 连结NM, NM⊥AB，

16. 1 2 ∠ABE= ∠ABC, 1 2 ∠ABE= ∠AME, 已知：如图，⊙M与⊙N交于A、B， 点M在⊙N上， 第61页第17题 ⊙N弦MC分别交AB、 ⊙M于D、E， 求证：(1)MA2=MD·MC; (2)E是△ABC的内心. A . . 分析1： ∠ACM=∠BCM, N D M E C B ∠ABC=∠AMC,

17. 已知：如图，⊙M与⊙N交于A、B， 点M在⊙N上， 第61页第17题 ⊙N弦MC分别交AB、 ⊙M于D、E， 求证：(1)MA2=MD·MC; (2)E是△ABC的内心. A . . 分析2： ∠ACM=∠BCM, N D M ∠CBE=∠ABE, E ∠MEB=∠MBE, 连结BM, C B ∠BCM=∠ABM, ∠BAM=∠ABM, ∠BCM=∠BAM, 因没有全面理解角分线定义而证得麻烦！

18. 已知：如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，AC为⊙O直径，D、E分别是CA和CB的延长线与⊙O′的交点，若AC=12，BE=30，BC=AD.已知：如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，AC为⊙O直径，D、E分别是CA和CB的延长线与⊙O′的交点，若AC=12，BE=30，BC=AD. 求：(1)∠C的度数； 第61页第18题 D x A 6 . . O 分析： 连结AB, 6 ∠ABC=90°, O′ x BC或AB的长， 30 B C E CA·CD=CB·CE， 12(12+x)=x(x+30), BC=6, ∠C=60°.

19. DE AC BA EC = ， AB= ， DE= ； 已知：如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，AC为⊙O直径，D、E分别是CA和CB的延长线与⊙O′的交点，若AC=12，BE=30，BC=AD. 求：(1)∠C的度数； (2) DE的长; 第61页第18题 D 6 A 6 . . O 6 分析： O′ 6 B C E AB的长，

20. BE AE =？ sin∠BDE= AE= 已知：如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，AC为⊙O直径，D、E分别是CA和CB的延长线与⊙O′的交点，若AC=12，BE=30，BC=AD. 求：(1)∠C的度数； (2) DE的长; (3)∠BDE的正弦值. 第61页第18题 D A . . O O′ 分析： B C 连结AE, E ∠BDE=∠BAE， AB⊥BE，

21. 已知：如图，两圆内切于点P，AB、PA和PB是大圆的弦，PA、PB分别交小圆于C、D两点. 求证：AB∥CD. 第63页第9题 P 分析： ∠A=∠PCD, C E 作公切线PE， A D ∠A=∠EPB=∠PCD， B

22. PA PC PB PD = ， 已知：如图，两圆外切于P点，经过P点的直线分别交两圆于A、B和C、D两点. 求证：PA·PD=PC·PB. 第63页第10题 C E B 分析： P 连结AC、BD, D AC∥BD， A F ∠C=∠D， 作内公切线EPF， ∠C=∠APF， ∠D=∠BPE，

23. 已知：⊙O′和⊙O′相内切于A点，并且O点在⊙O′上，⊙O的弦AB和AC交⊙O′于D、E两点，且AD=AE.已知：⊙O′和⊙O′相内切于A点，并且O点在⊙O′上，⊙O的弦AB和AC交⊙O′于D、E两点，且AD=AE. 求证：AB=AC. 第64页第11题 A . D 连结AO， ∟ 分析1： O′ . AO为 ⊙O′直径， ∟ B O 连结OD、OE, E OD=OE， ∠OAD=∠OAE， C ∠AOD=∠AOE， AD=AE，

24. 已知：⊙O′和⊙O′相内切于A点，并且O点在⊙O′上，⊙O的弦AB和AC交⊙O′于D、E两点，且AD=AE.已知：⊙O′和⊙O′相内切于A点，并且O点在⊙O′上，⊙O的弦AB和AC交⊙O′于D、E两点，且AD=AE. 求证：AB=AC. 第64页第11题 A . D 连结AO， ∟ 分析2： O′ . AO为 ⊙O′直径， ∟ B O 连结OD、OE, E AB=2AD, AC=2AE, AD=AE， C

25. AD AE AB AC = ， 已知：⊙O′和⊙O′相内切于A点，并且O点在⊙O′上，⊙O的弦AB和AC交⊙O′于D、E两点，且AD=AE. 求证：AB=AC. 第64页第11题 A T . D AD=AE， 分析3： O′ . B O E 连结DE、BC， DE∥BC， ∠ADE=∠B， C 作公切线AT， ∠ADE=∠TAC=∠B，

26. 已知：⊙O′和⊙O′相内切于A点，并且O点在⊙O′上，⊙O的弦AB和AC交⊙O′于D、E两点，且AD=AE.已知：⊙O′和⊙O′相内切于A点，并且O点在⊙O′上，⊙O的弦AB和AC交⊙O′于D、E两点，且AD=AE. 求证：AB=AC. 第64页第11题 A T . D 连结BC， 分析4： O′ . ∠B=∠C， B O E 连结DE， ∠ADE=∠AED， ∠B=∠ADE，∠C=∠AED， DE∥BC， C 作公切线AT， ∠ADE=∠TAC=∠B，

27. 已知：⊙O′和⊙O′相内切于A点，并且O点在⊙O′上，⊙O的弦AB和AC交⊙O′于D、E两点，且AD=AE.已知：⊙O′和⊙O′相内切于A点，并且O点在⊙O′上，⊙O的弦AB和AC交⊙O′于D、E两点，且AD=AE. 求证：AB=AC. 第64页第11题 S A T . D 连结BC， 分析5： O′ . ∠B=∠C， B O E 连结DE， ∠ADE=∠AED， ∠B=∠ADE，∠C=∠AED， 作公切线SAT， ∠ADE=∠TAC=∠B， C ∠AED=∠SAB=∠C，

28. （ （ AE=AD， 已知：⊙O′和⊙O′相内切于A点，并且O点在⊙O′上，⊙O的弦AB和AC交⊙O′于D、E两点，且AD=AE. 求证：AB=AC. 第64页第11题 S A T . D 连结BC， 分析6： O′ ∠B=∠C . B 作公切线SAT， O E ∠B=∠TAC， ∠C=∠SAB， ∠TAC=∠SAB, C AE=AD,

29. 已知：如图，两圆外切于P点，直线AD依次与两圆相交于A、B、C、D各点.已知：如图，两圆外切于P点，直线AD依次与两圆相交于A、B、C、D各点. 求证：∠APD+∠BPC=180°. 第64页第12题 分析： ∠APD+∠A+∠D=180°, ∠BPC=∠A+∠D， 作内公切线交AD于E, A ∠BPE=∠A， B E C D ∠CPE=∠D， P

30. 已知：如图，两圆内切于P，外圆的弦AD交内圆于C、B.已知：如图，两圆内切于P，外圆的弦AD交内圆于C、B. 求证：∠APC=∠BPD. 第65页第13题 分析1： 作公切线PT， T P ∠PBD–∠A=∠TPC–TPD， ∠PBD=∠TPC， ∠A=∠TPD， A B C D

31. 已知：如图，两圆内切于P，外圆的弦AD交内圆于C、B.已知：如图，两圆内切于P，外圆的弦AD交内圆于C、B. 求证：∠APC=∠BPD. P T 第65页第13题 连结 BF， 分析2： ∠BCP =∠BFP， ∠A=∠PBF， F 作公切线PT， A B ∠A=∠TPD， C D ∠PBF=∠TPD，

32. 已知：如图，两圆内切于P，外圆的弦AD交内圆于C、B.已知：如图，两圆内切于P，外圆的弦AD交内圆于C、B. 求证：∠APC=∠BPD. P T 第65页第13题 分析3： ∠APB=∠CPD， 连结CF， ∠PBA= ∠PFC， F A B ∠A=∠PCF， C D 作公切线PT， ∠A=∠TPD， ∠PCF=∠TPD，

33. （ （ BE=CF， 已知：如图，两圆内切于P，外圆的弦AD交内圆于C、B. 求证：∠APC=∠BPD. P 第65页第13题 T 分析4： ∠APB=∠CPD， E F A 连结EF， B C D EF∥AD， ∠A=∠PEF， 作公切线PT，

34. （ （ AE=DF， 已知：如图，两圆内切于P，外圆的弦AD交内圆于C、B. 求证：∠APC=∠BPD. P 第65页第13题 T 分析5： ∠APB=∠CPD， 延长PB、PC交 外圆于E、F， A B C D 连结EF， E EF∥AD， F 作公切线PT， ∠PBD=∠E，

35. 已知：如图，两圆内切于P，外圆的弦AD交内圆于C、B.已知：如图，两圆内切于P，外圆的弦AD交内圆于C、B. 求证：∠APC=∠BPD. P 第65页第13题 T 延长PC交外圆于F， 分析6： 连结AF， ∠F=∠D， ∠PAF=∠PBD， A 作公切线PT， B C D ∠PAF=∠TPF=∠PBD， F

36. 已知：如图，⊙O和⊙O′外切于P点，CD是两圆的外公切线，C、D为切点，过P的直线交两圆于A、B两点，AC和BD的延长线相交于E点.已知：如图，⊙O和⊙O′外切于P点，CD是两圆的外公切线，C、D为切点，过P的直线交两圆于A、B两点，AC和BD的延长线相交于E点. 求证：∠E=90°. 第65页第14题 E C F 分析1： ∠A+∠B=90°， D . O 连结 PC、PD， A . ∠A= ∠PCD， P B O′ ∠B= ∠PDC， ∠PCD+∠PDC=90°， 作内公切线 交CD于F， ∠CPD=90°，

37. 已知：如图，⊙O和⊙O′外切于P点，CD是两圆的外公切线，C、D为切点，过P的直线交两圆于A、B两点，AC和BD的延长线相交于E点.已知：如图，⊙O和⊙O′外切于P点，CD是两圆的外公切线，C、D为切点，过P的直线交两圆于A、B两点，AC和BD的延长线相交于E点. 求证：∠E=90°. 第65页第14题 E C ∟ 分析2： ∠A+∠B=90°， D . O 连结CO、 OO′、 O′D， ∟ A . P B O′ ∠O= 2∠A， ∠O′= 2∠B， ∠O+∠O′=180°， OC∥O′D，

38. PA PD PC PB = ， 已知：如图，两圆内切于P点，大圆的弦AB切小圆于C，PC延长线交大圆于D点. 求证：PA·PB=PC·PD. 第66页第15题 T 分析： P 连结DB, △PAC∽△PDB， A ∠A=∠D， ∠PCA=∠PBD， C 作公切线PT, ∠PBD=∠TPD， B ∠PCA=∠TPD， D

39. 已知：如图，C是线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为直径作半圆，作EC⊥AB交半圆于E，BD切小圆于D点.已知：如图，C是线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为直径作半圆，作EC⊥AB交半圆于E，BD切小圆于D点. 求证：△BDE是等腰三角形. 第66页第16题 E 分析： BD=BE， D BD2=BE2， BD2=BC·BA， A O C B BE2=BC·BA， 连结AE, CE⊥AB， AE⊥BE，

40. 已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，过P的直线分别交两圆于A、B，AD切⊙O2于D，AD交⊙O1于C.已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，过P的直线分别交两圆于A、B，AD切⊙O2于D，AD交⊙O1于C. (1)求证：PD平分∠CPB； 第67页第17题 作内公切线交AD于E， 分析： ∠CPE+∠DPE=∠DPB， A C E D ∠CPE+∠DPE=∠A+∠ADP， . . O2 O1 P ∠A=∠CPE， ∠DPE=∠ADP， B

41. AD=3√5， CD=3√5 –4. 已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，过P的直线分别交两圆于A、B，AD切⊙O2于D，AD交⊙O1于C. (1)求证：PD平分∠CPB； (2)若AP=5，PB=4，AC=4， 求CD. 第67页第17题 A C 4 分析： D AD长， . 5 . AD2=AP·AB， O2 O1 P 4 B

42. r = 3r= 已知：外切的两个圆半径之比为3：1，若它们外公切线的长为4cm，求两圆的半径长. 第67页第18题 已知：⊙M与⊙N外切于P，AB是外公切线， A、B为切点，MA=3NB，AB=4cm, 求：MA、NB的长. 作NC⊥MA于C， 分析： . . M 3r P r N r 连结 MN，P在MN上， 2r 4 B MA：NB=3：1， C r 4 A NB的长， ∠M=60°，

43. 已知：如图，以AB为直径作半圆，半径OC⊥AB，以OC为直径作⊙O′，再作已知：如图，以AB为直径作半圆，半径OC⊥AB，以OC为直径作⊙O′，再作 第68页第19题 ( ⊙A′和⊙B都与AB、AB及⊙O′相切，如果AB=2R，求⊙A′的半径. C . O′ . . A′ B′ O B A

44. R 4 r = . R 2 r+ R 2 –r 分析：设⊙A′半径为r， 第68页第19题 C O′ . . . E ∟ A′ r B′ r R–r， O A B D

45. 已知：如图，⊙O和⊙O′外切于P点，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，AC为⊙O的直径，CD切⊙O′于D.已知：如图，⊙O和⊙O′外切于P点，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，AC为⊙O的直径，CD切⊙O′于D. 求证：AC=CD. 第68页第20题 分析： A AC2=CD2, ∟ E 连结AP、 BP、CP, . B O 作内公切线 交AB于E, ∟ ∟ . P C、P、B共线， O′ CD2=CP·CB， C D CA2=CP·CB，

46. （ （ CB=DB， 已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于C、D， O2O1的延长线交⊙O1于A，AC、AD的延长线分别交⊙O2于E、F. 求证：CE=DF. 第71页第10题 作弦心距O2M、O2N, 分析1： E OM=ON， C M ∟ . ∠MAO2=∠NAO2， . B A O1 O2 ∟ N D 连结CD, F CD⊥AO2，

47. （ （ AC=AD， 已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于C、D， O2O1的延长线交⊙O1于A，AC、AD的延长线分别交⊙O2于E、F. 求证：CE=DF. 第71页第10题 分析2： E AC=AD，AE=AF C AC·AE=AD·AF， . AC=AD， . A O1 O2 D 连结CD, F CD⊥AO2，

48. （ （ （ （ AC=AD， CE=DF， 已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于C、D， O2O1的延长线交⊙O1于A，AC、AD的延长线分别交⊙O2于E、F. 求证：CE=DF. 第71页第10题 分析3： E C 连结CD, . ∠CDF=∠DCE， . A O1 O2 ∠CDA=∠DCA， D F CD⊥AO2，

49. （ （ （ （ CE=DF， AC=AD， 已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于C、D， O2O1的延长线交⊙O1于A，AC、AD的延长线分别交⊙O2于E、F. 求证：CE=DF. 第71页第10题 分析4： E C 连结CD、EF, . . CD∥EF， A O1 O2 ∠CDA=∠DCA， ∠CDA=∠F， D F CD⊥AO2，

50. AP CP AD CB = ， 已知：如图，两圆内切于P，大圆的弦AB切小圆于D，PD延长线交大圆于C. 求证：AP·CB=AD·CP. 第72页第11题 T 分析： P △APD∽△CPB， A ∠A=∠C， ∠ADP=∠CBP， D 作公切线PT， B C ∠CBP=∠CPT， ∠ADP=∠CPT，