Angle inscrit – Angle au centre – Angle tangentiel

1. Angle inscrit – Angle au centre – Angle tangentiel

2. DEFINITIONS

3. Angle inscrit : définition • Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés sont des cordes du cercle. • Ici, l’angle inscrit est l’angle bleu.

4. Angle au centre : définition • Dans un cercle, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre de ce cercle. • Ici, l’angle au centre est l’angle mauve.

5. Angle tangentiel: définition • Un angle tangentiel à un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont un côté est tangent au cercle, tandis que l’autre côté est sécant au cercle. • Ici, l’angle tangentiel est l’angle rose.

6. Propriétés

7. Propriété n°1:Dans tout cercle, l’amplitude d’un angle inscrit est égale à la moitié de celle de l’angle au centre interceptant le même arc de cercle.

8. Trois cas sont à envisager: • 1er cas: Le centre O du cercle est sur un des côtés de l’angle inscrit. • 2ème cas: Le centre O du cercle est à l’intérieur de l’angle inscrit. • 3ème cas: Le centre O du cercle est à l’extérieur de l’angle inscrit.

9. Hypothèses: BAC est un angle inscrit; BOC est un angle au centre. Démonstration: AOB est un triangle isocèle. Donc, l’angle A = l’angle B. L’angle BOC est un angle extérieur du triangle AOB. Donc, l’angle O= l’angle A + l’angle B OU L’angle O = 2 x l’angle A Conclusion: L’angle A = ½ de l’angle O Thèse: BAC = ½ BOC 1er cas: Le centre O du cercle est sur un des côtés de l’angle inscrit.

10. Hypothèses: BAC est un angle inscrit; BOC est un angle au centre. Démonstration: On trace le diamètre [AD]. On a: - l’angle A1 = ½ de l’angle O1 - l’angle A2 = ½ de l’angleO2 On additionne ces deux égalités membre à membre: A1 + A2 = ½ O1 + ½ O2. Conclusion: L’angle A = ½ de l’angle O Thèse: BAC = ½ BOC 2ème cas: Le centre O du cercle est à l’intérieur de l’angle inscrit.

11. Hypothèses: BAC est un angle inscrit; BOC est un angle au centre. Démonstration: On trace le diamètre [AD]. On a: - L’angle A3 = ½ de l’angle O3 - L’angle A2 = ½ de l’angle O2. On soustrait les deux égalités membre à membre: A3 – A2 = ½ O3 – ½ O2 Conclusion: L’angle A = ½ de l’angle O Thèse: BAC = ½ BOC 3ème cas: Le centre O du cercle est à l’extérieur de l’angle inscrit.

12. Propriété n°2:Dans tout cercle, deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont la même amplitude.

13. Hypothèses: L’angle A est un angle inscrit; L’angle B est un angle inscrit; L’angle O est un angle au centre. Démonstration: L’angle A est un angle inscrit et l’angle O est un angle au centre. Donc A = ½ O L’angle B est un angle inscrit et l’angle O est un angle au centre DoncB = ½ O Conclusion: L’angle A = l’angle B Thèse: L’angle A = l’angle B

14. Propriété n°3:Dans tout cercle, l’amplitude d’un angle tangentiel égale la moitié de celle de l’angle au centre interceptant le même arc de cercle.

15. Hypothèses: AB est une tangente au cercle en A; L’angle A1 est un angle tangentiel; L’angle O est un angle au centre. Démonstration: Le triangle AOC est isocèle. Donc, l’angle A2 = l’angle C Dans le triangle AOC: O + A2 + C = 180° Or, A1 + A2 = 90° On en déduit que: O + A2 + C = 2 . (A1 + A2) OU O + 2A2 = 2A1 + 2A2 OU O = 2A1 Conclusion: L’angle A = ½ de l’angle O Thèse: L’angle A1 = ½ de l’angle O

16. Fin