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一、问题. 第三章应用实例. 设有 5 个球队进行单循环赛，已知它们 的比赛结果为： 1 对胜 2 , 3 队 ;2 队胜 3,4,5 对 ; 4 队胜 1,3,5 队 ;5 队胜 1,3 队 , 设按胜的次数多少排名次. §1 、确定比赛的胜负. 若两队胜的次数相同 , 则按直接胜与间接胜的次数之和的多少排名次. 所谓间接胜 , 即若 1 队胜 2 队 ,2 队胜 3 队 , 则称 1 队间接胜 3 队 . 试 为这 5 个队排出比赛名次. 二、分析. 用平面上的 5 个点表示五个队 , 若一个队直接 胜另一个队则用有向线段连接.
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一、问题 第三章应用实例 设有5个球队进行单循环赛，已知它们 的比赛结果为： 1对胜2,3队;2队胜3,4,5对; 4队胜1,3,5队;5队胜1,3队, 设按胜的次数多少排名次. §1、确定比赛的胜负
若两队胜的次数相同,则按直接胜与间接胜的次数之和的多少排名次.若两队胜的次数相同,则按直接胜与间接胜的次数之和的多少排名次. • 所谓间接胜,即若1队胜2队,2队胜3队,则称1队间接胜3队. • 试为这5个队排出比赛名次.
二、分析 • 用平面上的 5个点表示五个队,若一个队直接 胜另一个队则用有向线段连接.
可以看出2，4队直接胜的次数相同，但2队间接胜5场，而4对间接胜4场，所以不难排出2对为冠军，4队为亚军，1队为第三名，五队第四名，3对第五名.可以看出2，4队直接胜的次数相同，但2队间接胜5场，而4对间接胜4场，所以不难排出2对为冠军，4队为亚军，1队为第三名，五队第四名，3对第五名. • 2，4，1，5，3
关于上面那个图，我们给出一些术语. • 顶点集： • 边集：若i队直接胜j队，则从i到j的有向线段称为有向弧，或边。记为有序队
若i,j间存在k个顶点使得有向弧 • 连接到j,则称i,j间存在长为k+1的路。 • 因此若i队间接胜j队，则它们之 • 间必存在长为k(k大于等于2)的路. • 如何用矩阵来体现这些结果呢 • ？
定义矩阵 • n为顶点的个数 • 则每个图可用一个矩阵表示， • 称之为图的邻接矩阵。
三、解： • 它的邻接矩阵M如下：
四、Matlab实现 >> M=[0 1 1 0 0;0 0 1 1 1;0 0 0 0 0; 1 0 1 0 1;1 0 1 0 0]; >> s1=sum(M') s1 = 2 3 0 3 2
>> s2=sum(M'+(M^2)') s2 = 5 8 0 7 4 • 所以2队为冠军，4队为亚军，1队为第三名，五队第四名，3队第五名.
当然，若有计算机程序基础， • 对队数比较多的情况，你可直接写程序来实现整个计算过程。 • 下面的脚本程序供大家参考。
利用图的“邻接矩阵”的思想，我们来看下面的例子.利用图的“邻接矩阵”的思想，我们来看下面的例子. • 例、简单匹配搜索引擎的原理。 • 假设数据库有下列书，题目分别是： • B1.运用线性代数 • B2.初等线性代数 • B3. 初等线性代数及应用 • B4. 线性代数和它的应用 • B5. 线性代数及应用 • B6.矩阵代数及应用 • B7. 矩阵理论.
它们的关键词按顺序排列如下： • 代数，应用，初等，线性， • 矩阵，理论. • 如果搜索“线性代数应用”，请给出相匹配的搜索结果。 • 解：
注：此“邻接矩阵”每一列代表了该本书的信息，第j列的列和表示第j本书包含的关键词的个数注：此“邻接矩阵”每一列代表了该本书的信息，第j列的列和表示第j本书包含的关键词的个数 • 把数据库里的关键词排成列看作一个向量，于是任意一个搜索也可用向量表示，若包含第i个关键词，第i个分量取值为1，否则取值为零。
计算 • 注：结果中的每个分量就表达了每一本书与你搜索的东西相匹配的词条数 • 故搜索结果为第一、三、四、五本书的题目。
§2、平板的稳态温度分布 一、问题 在热传导的研究中,需要确定某一快平板的稳态温度分布,设下图中的平板代表一条金属梁的截面,忽略垂直方向的热传导.内部节点的温度近似等于与它最接近的上下左右节点温度的平均值. (1)写出内部节点a,b,c,d所满足的方程组； (2)求解此方程组。
用Matlab求解: >> A=[4 -1 -1 0;-1 4 0 -1;-1 0 4 -1; 0 -1 -1 4]; >> b=[30;60;40;70]; >> rref([A,b]) ans = 1.0000 0 0 0 20.0000 0 1.0000 0 0 27.5000 0 0 1.0000 0 22.5000 0 0 0 1.0000 30.0000
故a,b,c,d四点的温度分别为: 20，27.5，22.5，30 摄氏度。
§3、投入产出分析 一、问题 • 一个城镇有三个主要生产企业: • 煤矿,电厂和地方铁路 • 作为它的经济系统. • 已知生产价值一元的煤,需消耗 • 0.25元的电费和0.35元的运输费;
生产价值一元的电,需消耗 0.40元的煤费、0.05元的电费和0.10元的运输费; • 而提供价值一元的铁路运输费, • 需消耗0.45元的煤、0.10元的电费和0.10元的运输费. • 假设在某个星期内,除了这三个企业间彼此需求,
煤矿得到50000元的订单, 电厂得到25000元的电量供应要求, 地方铁路得到价值30000元的运输要求。 试问: (1)这星期这三个企业各应生产多少产值 才能满足内外需求?
(2) 除了外部需求,试求这星期各企 业之间的消耗需求,同时求出各企业新创造的价值; • (3) 如果煤矿需要增加总产值 10000元,它对各个企业的产品或服务的完全需求是多少?
二、分析 • 这是一个小型的经济投入产出模型,在经济系统中,有下列经济规律: 1. 对每一部门,物资消耗和新创造的价值等于它生产的总值.即投入和产出之间的平衡关系: 中间产品(作为系统内各企业的消耗)+最终产品(外部需求)=总产品,称之为分配平衡方程组
2. 对每一产品,支付系统内各产品的消耗加上新创造的价值等于它的总产值.即 系统内各企业产品的消耗+新创造的价值=总产值, 称之为消耗平衡方程组
3. 企业在进行生产或提供服务时，对任何一个产品的直接消耗（直接消耗系数）也蕴含着对其它产品的间接消耗. 完全消耗系数：是指企业生产单位产值的产品而对其它企业产品的总消耗值.即
设煤矿、电厂和地方铁路生产单位产值对煤、电和铁路运输的直接消耗系数和完全消耗系数分别为设煤矿、电厂和地方铁路生产单位产值对煤、电和铁路运输的直接消耗系数和完全消耗系数分别为 则
三、求解 • （1）设煤矿、电厂和地方铁路在这 星期生产的总产值分别为
令 • X称为产出向量，Y称为最后需求向量或最终产品向量，则前向量方程可写成矩阵形式为
有 • 现用Matlab来求解此方程组 >> A=[0 0.4 0.45;0.25 0.05 0.1;0.35 0.1 0.1]; >> Y=[50000;25000;30000]; >> X=(eye(3)-A)\Y
X = 1.1446e+05 65395 85111 • 故 煤矿、电厂和铁路运输各应生产 114460元、65395元和85111元的产值才能满足内外需求。
矩阵T里的每一行即为每一个企业分别用于企业内部和其它企业的消耗。矩阵T里的每一行即为每一个企业分别用于企业内部和其它企业的消耗。 • 由消耗平衡方程组，新创造的价值应等于总产值减去系统内各企业对该产品的消耗需求。
现用Matlab来求解 >> T=A*diag(X) T = 0 26158 38300 28615 3269.8 8511.1 40060 6539.5 8511.1 >> X-sum(T)'
ans = 45783 29428 29789 • 故 各企业新创造的价值为
（3）由直接消耗系数和完全消耗系数之间的关系有（3）由直接消耗系数和完全消耗系数之间的关系有 >> B=inv(eye(3)-A)-eye(3)
