Continuación

1. Proyecto de Matemáticas:FuncionesPresentado por:Jonathan GuberekDaniel CroitoruMark GuberekPresentado a:Patricia CaceresCOLEGIO COLOMBO HEBREOAREA DE MATEMATICABogotaD.CMayo 2010 Continuación

2. GENERALIDADES • Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha. • No es una función cuando: • De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha. • De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas. • Una función se puede representar tanto de forma visual, algebraica, numérica y verbal. • Una imagen es el conjunto de elementos y para los cuales existe un elemento x tal que y=f(x). Continuación

3. Punto de corte con Y Para hallar el punto de corte con Y, se debe reemplazar en la ecuación a X por 0. Punto de corte con X Para obtenerlo se iguala la función a 0. Soluciono la ecuación hasta obtener el valor de x. Rango: Conjunto formado por las imágenes. Dominio: Es el conjunto formado por las pre imágenes que debe ser igual al conjunto de salida. Continuación

4. Función Inyectiva • En este tipo de función se cumple la condición de que cada valor del conjunto A (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto B. De tal manera que en el conjunto A no pueden haber dos o más elementos con la misma imagen. Continuación

5. Función Sobreyectiva • Es el tipo de función que cumple la condición de que cada elemento de Y es la imagen de mínimo un elemento de X. Continuación

6. Función Biyectiva • Función dada cuando, se cumple que es a la vez Sobreyectiva e Inyectiva. • Cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función Inyectiva y que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la característica de la Sobreyectiva. Continuación

7. Función Par Es un tipo de función que satisface o que cumple la condición de que para todo x que pertenece al dominio. f(x)=f(-X) Podría ser una función cuadrática o Polinómica de grado par incompleta que solo tiene c . Un ejemplo de esta sería: f(x) = x4 + 2 Continuación

8. f(x) = x4 + 2corte con y 2mínimo relativo (0,2)eje de simetría x=0dominio=Realesrango= (2,00conjunto salida= Realesconjunto llegada= Reales Continuación

9. Función Impar • Función en la que todo x perteneciente al dominio Podría ser una Función cúbica o Polinómica de grado par incompleta que solo tiene c . Un ejemplo de esta sería: f(x) = x3 Continuación

10. f(x) = x3dominio= Realesrango=Realesconjunto salida=Realesconjunto llegada=Realescorte con x= 0corte con y=0 Continuación

11. Función PolinómicaGeneralidades • Según su grado se pueden clasificar como: Dominio= Conjunto de Salida= R Conjunto de llegada=R Continuación

12. Racional Función a Trozos Valor Absoluto Polinómica Clases de funciones. Logarítmica Exponencial Función trigonométrica

13. Función Polinomica. Función de Grado impar. Función de Grado par. Constante. Función lineal. Función Cuadrática. Función Cubica. MAPA CLASES FUNCIONES

14. Funciones Lineales Generalidades Lineal Afín Idéntica MAPA POLINÓMICAS Mapa lineales

15. Función linealGeneralidades • Y= variable dependiente • X= variable independiente • M=pendiente (grado de inclinación de la recta con respecto al eje horizontal) • B= punto de corte con el eje y. • Punto de corte con x • Dominio=reales • Conjunto de Salida= Reales • Rango=Reales(con excepción a la función constante) • Conjunto de llegada= Reales Continuación

16. Si, m > 0 la función es creciente. • Sim < 0la función es decreciente. • Sim=0la función es constante (recta horizontal). • Ecuación para hallar la pendiente: Mapa lineales

17. Función lineal Afín Es una función cuya ecuación matemática viene dada por: Y=mx+b Donde b es una constante que determina el punto de corte con Y, y hace el desplazamiento vertical. El punto de corte con y es distinto a 0 Continuación

18. EJEMPLO Y=5x+5 Dominio: Reales Rango: Reales corte con x= -1 Conjunto Salida: Reales corte con y= 5 Conjunto llegada: Reales Pendiente=5 Mapa lineales

19. Función lineal Es una función cuya ecuación matemática es: Y=mx Su corte con y siempre va a ser 0 puesto que no tiene un desplazamiento vertical . Continuación

20. EJEMPLO Y=5x Dominio=Reales Conjunto Salida= Reales Rango= Reales Conjunto Llegada= Reales Corte con x= 0 Corte con y=0 Mapa lineales

21. Función lineal idéntica • Es una función expresada con la fórmula: • Y=x • Donde y adquiere el mismo valor que x. • La pendiente es igual a 1. Continuación

22. EJEMPLO Dominio=Reales Rango=Reales Conjunto Salida=Reales Conjunto Llegada=Reales Punto de corte con Y=0 Punto de corte con X=0 Mapa lineales

23. Función lineal constante • Y=a • Siendo a cualquier número. • No tiene una pendiente por lo que su rango siempre va a ser a. • Su corte con y es igual al a. Continuación

24. EJEMPLO Y=4 Dominio=Reales Conjunto Salida=Reales corte con y=4 Rango={4} Conjunto Llegada=Reales MAPA POLINÓMICAS

25. Función Polinómica cuadrática • Es una función que se define mediante un polinomio de segundo grado. Esto quiere decir con un elemento elevado al cuadrado como máximo exponente. • Donde a no se puede ser igual a 0 Continuación

26. Su representación gráfica, representaría una parábola vertical • Siendo a negativo, estaría hacia abajo. • Siendo a positivo, estaría hacia arriba. • Corte con el eje Y, al reemplazar las x por 0 • Corte con el eje X, al igualar la función con 0. La ecuación se soluciona por factorización o por fórmula general. • El máximo relativo o mínimo relativo existe dependiendo del signo de a. • Con a negativo y parábola hacia abajo habría, un máximo relativo Continuación

27. Con a positivo y parábola hacia arriba, habría un mínimo relativo. • Tanto el Dominio como el Conjunto de Salida son Reales. El Conjunto de llegada es Reales, mientras el Rango va desde el mínimo o máximo relativo hasta infinito Continuación

28. Y=x^2+2x+1 corte con y= 1 Conjunto Salida=Reales corte con x=-1 Conjunto Llegada=Reales mínimo relativo x=-1 D=Reales Creciente en=(-1,infinito) R=Reales positivos Decreciente en=(- infinito, -1) MAPA POLINÓMICAS

29. Función Polinómica cúbica • Se denomina función cúbica a toda función que le rige la ecuación: • Y=ax3+bx2+cx+d • Donde a,b,c,d son números reales • Es una ecuacion de tercer grado, ya que tiene un maximo elemento elevado a la tres o al cubo Continuación

30. Corte con x= -1 Corte con y= 1 Conjunto Salida=Reales Conjunto Llegada=Reales D=Reales R=Reales positivos MAPA POLINÓMICAS

31. Función Grado Par • Es el tipo de función que se rige según la condición de que: • El mayor grado de la función es par • Si todos los terminos son de grado par, la funcion es simetrica con respecto al eje X • Se rigen según la ecuación: Continuación

32. Corte con y =2 No tiene corte con x Vértice (0,2) Dominio= Reales Rango=(2,00) Conjunto salida=Reales Cll=Reales MAPA POLINÓMICAS

33. Función Grado Impar • Es el tipo de función que se rige según la condición de que: • El mayor grado de la función es impar. • Se rigen según la ecuación: Continuación

34. Dominio =conjunto salida=Realesrango =conjunto llegada=Realescorte en x≈2corte con y=3Es creciente en(-00,3)u(2.9,00)es decreciente en(3,2.9) MAPA POLINÓMICAS

35. Función Valor absoluto • Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a pedazos, siguiendo los siguientes pasos: • 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. • 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. • 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. • 4 Representamos la función resultante. Continuación

36. Gráfica • Decreciente si a<1 • Creciente si a>1 • El valor absoluto  de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo. • Su dominio, CS y CLL son Reales. • Su rango depende de hacia donde se desprenda, puede ser de – infinito al máximo relativo o del mínimo relativo a infinito. Continuación

37. Y=|x| Punto corte con x= 0 Punto corte con y= 0 Dominio=Conjunto salida=Conjunto llegada= Reales Rango= (infinito, 0) Decreciente en= (-infinito,0) Creciente en= (0, infinito) MAPA CLASES FUNCIONES

38. Función racional • La función racional es una función matemática expresada de la forma • Donde p , q son polinomios , x es una variable desconocida • Q≠0 • Su dominio consiste en los números reales x excepto aquellos para los que el denominador es 0. Continuación

39. Todas las funciones racionales, tienen una asíntota vertical y horizontal, es decir, tienen excepciones, estas excepciones son números en los ejes "x" e "y" que no se pueden usar para reemplazar la variable "x" en la función racional. • Todas sus funciones racionales es de clase infinita, es decir, que su grafica, al igual que sus soluciones, no tienen final. Continuación

40. Para obtener las raíces se factoriza tanto el denominador como el numerador y se igualan cada uno de los factores a 0. Las raíces del numerador serían cortes con x mientras los del denominador cortes con y. • Asíntotas Verticales: Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es cero, es decir, donde la función no esta definida. • Para determinar cuando es mayor o menor que 0, se realiza el proceso del cementerio. Continuación

41. Corte con x= 3 Corte con y= 3 Asintota en y=1 D=cs=reales Rango= reales-(1) Cll=reales creciente MAPA CLASES FUNCIONES

42. Función exponencial • La función exponencial es del tipo: • Y= ax • Sea a un número real positivo. • Y= axse llamaría función exponencial de base a y exponente x. • a no puede ser ni menor que 0 ni igual a 1. ya que siendo 1, sería constante. • La función exponencial natural es la que tiene como base a e, que es igual a 2.2. Continuación

43. Dominio=cs=realescll=realesrango=(1,00)asintota x=1crecientecorte en y=2 MAPA CLASES FUNCIONES

44. Función Logarítmica • Una función logarítmica la que se expresa como f (x) == logax • Siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. • También cumpliría que • Se llama logaritmo común al logaritmo en base 10. • Se llama logaritmo natural al que tiene como base a e=2.2 Continuación

45. Propiedades logarítmicas: • 1. El logaritmo de una potencia de un numero es el exponente multiplicado por el numero. • 2. El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los logaritmos de los números. • 3. El logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos de los números. • Para cambiar de base se utiliza la fórmula Continuación

46. Crecientedominio=cs=reales positivoscll=realesrango=realesasintota x=0corte con x≈0.3 MAPA CLASES FUNCIONES

47. Función a Trozos • En matemáticas, una función definida a trozos es una función cuya definición cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Matemáticamente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos distintos de su dominio o subdominios. • Su definición varía según los intervalos que se tomen en cuenta. • Se dividen en función mantisa y función signo. Continuación

48. Función Mantisa • La función mantisa consiste en la parte decimal de un número. Su fórmula es: • mant (x) = x - [x] • Es decir, al número se le resta su parte entera, así la mantisa de los siguientes números serán: • mant(20,918) = 0,918 • mant(27,465) = 0,465 Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= (0, 1) Conjunto de llegada= IR Continuación

49. Función signo • Función que obtiene el signo de cualquier número real que se tome por entrada. Se representa generalmente mediante sgn(x). • Su dominio de definición es R y su conjunto imagen {-1;0;1}. Si x<1 f(x)= Si x=1 Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= {-1; 0; 1) Conjunto de llegada= IR Si x>1 MAPA CLASES FUNCIONES

50. Función trigonométrica • Son el tipo de funciones que guardan relación con el estudio de la geometría de los triángulos. • Se definen como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. • Existen seis tipos de funciones trigonométricas: • La función del seno se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. • La función del coseno se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa: • La función de la tangente se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente: Continuación