数学のかたち第３講暗号を作ろう

数学のかたち第３講暗号を作ろう 早苗　雅史 sunny@nikonet.or.jp 数学とソフトウエア www.nikonet.or.jp/spring/sanae/

指で数える２進法 ２８？１３

指で数える２進法

記数法で暗号を作る

記数法で暗号を作る ｃａｐ＝ 2，0，15 2×262＋0×26＋15 ＝2×676＋0×26＋15 ＝1367

記数法で暗号を作る ２６１３６７・・・１５５２・・・　０２６２

記数法で暗号を作る

問題 ①　ｂｏｘを数字に直してみよう。 ②　“13223”は何という文字を表しているか。

暗号の重要性 • インターネットや電子メールなどの普及による危険性 • 情報がネットワーク上に流出 • コンピュータ間のデータを見ることが可能 • 様々な手口 • 電子メールを知らない人に読まれてしまう（盗聴） • 情報の内容を勝手に書き換えてしまう（改ざん） • 正当なユーザーになりすまして悪用（なりすまし） • それらの脅威を防ぐための解決法⇒暗号化　データを第三者に解読できないようにする方法

シーザー暗号 • 文字をアルファベット順に特定の文字数だけずらす　＝換字式（かえじしき）暗号平文暗号文「暗号方式（アルゴリズム）」「鍵」

多文字置換暗号 • キーワードが繰り返し使用される • 使用頻度の高い文字を元にキーワードが簡単に推測

いろいろな暗号 ★転置式暗号 ★円盤式暗号 • 内側の小さい円盤位置決め • 外側の大きい円盤の文字 • 短い方の矢印が指している小さい円盤の文字が暗号行→列１列→３列→２列→４列

問題 ①Matheを鍵“3631”で暗号化してみよう。 ②　HGWWを鍵“1234”で複合化してみよう。

父へのメール 父さんへキャッシュカードのパスワードを忘れたので教えてほしい。他人に知られると困るので次の計算で出た数字をメールで教えてくれ。『まずパスワードの数字を37乗する。次に出た数値を2491で割る。そのときの余りの数字。』

いくつかの疑問 4桁のパスワードの数字を37乗して2491で割るなんて計算，どうやってやるのだろう。送られてきた数字から本当にパスワードがわかるのだろうか。このメールを誰かに盗聴されたら，その人にもパスワードを知られてしまわないか。

《疑問①》4桁の数を37乗して2491で　　　　　　　割る計算はどうするのか《疑問①》4桁の数を37乗して2491で　　　　　　　割る計算はどうするのか繰り返し2乗法 12342 ＝1522756 ≡755 12344 ＝7552 ＝570025 ≡2077 12348 ＝20772 ＝4313929 ≡2008 123416 ＝20082 ＝4032064 ≡1626 123432 ＝16262 ＝2643876 ≡925 123437 ＝123432×12344×12341 ≡925×2077×1234 ＝1921225×1234 ≡664×1234 ＝819376 ≡2328

《疑問②》送られてきた数字をどのように復元するのか《疑問②》送られてきた数字をどのように復元するのか例：21を余りとする世界では 7乗，13乗，19乗，…すると元に戻る

37乗したあと97乗すると元に戻る 37乗 97乗 A君だけが知っている

37乗したあと97乗すると元に戻る 23282 ＝5419584 ≡1659 23284 ＝16592 ＝2752281 ≡2217 23288 ＝22172 ＝4915089 ≡346 232816 ＝3462 ＝119716 ≡148 232832 ＝1482 ＝21904 ≡1976 232864 ＝19762 ＝3904576 ≡1179 232897 ＝232864×232832×23281 ≡1179×1976×2328 ＝2329704×2328 ≡619×2328 ＝1441032 ≡1234

共通鍵暗号方式・公開鍵暗号方式 • 共通鍵暗号方式共通鍵＝３　知られると困る共通鍵共通鍵 • 公開鍵暗号方式公開鍵＝37（乗），2491（で割る）　知られてもOK 秘密鍵＝97自分しか知らない公開鍵秘密鍵

RSA暗号 秘密鍵 d=97 公開鍵 n=2491 e=37

A君はどうやって鍵を作ったか まず２つの素数を選ぶことから始まった 2つの素数 P=47，Q=53を選択 N=PQ=2491を余りとする世界を作る（公開鍵N） P－1=46とQ－1=52の最小公倍数L=1196を計算 1196で割った余りの世界で□×○≡1となる２つの素数○=97，□=37を選ぶ２つの数字の一つ□=37を父さんに送る（公開鍵E）もう一つの数字○=97で復元する

《疑問③》37乗して2491が得られたことを知られてもパスワードは大丈夫か《疑問③》37乗して2491が得られたことを知られてもパスワードは大丈夫か暗号の秘密は「素因数分解の困難性」に起因 • ２つの素数の積は簡単に計算できます　 38903×60293　＝　2345578579 • しかしある数を２つの素数の積に分解する　　のは大変 2250021941　＝　40253×55897

鍵の作成 • ２つの素数を選ぶ　　　　　　　　　p=3，q=5 • 素数の積　これが余りの世界　　　　n=15 • p－1とq－1の最小公倍数Lを計算　　L=2 • Lと素な数を選択　　　　　　　　　　　　　e=7 • 7×□=1となる数を計算　　　　　　　　d=13

暗号を作ってみよう メッセージM=3，あまりの世界n=15，累乗e=7 37を計算する • 3の累乗を計算32＝934≡92＝81≡6 • 37を計算37＝34×32×3≡6×9×3＝162≡12 • C=12

暗号を復元してみよう d=13で複合化 • 12の累乗を計算122＝144≡8124≡82＝ 64≡4128≡42＝16≡1 • 1212を計算1212＝128×124×12　　　　　≡1×4×12＝48≡3 • M=3

数 学 の か た ち 第３講 暗号を作ろう