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2.3.1 直线与平面垂直的判定

2.3.1 直线与平面垂直的判定. 人教版 《 普通高中课程标准实验教科书 · 数学 》 必修 2. 20082201187 翁雪英. 创设情境. 在阳光下，观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，思考一下如何定义直线与平面垂直？. 建构定义. 如果一条直线 l 和一个平面 α 内的 任意一条直线 都垂直，我们就说直线 l 和平面 α 互相垂直 . 记作： l ⊥α. l 叫做 α 的 垂线 , α 叫做 l 的 垂面 , l 与 α 的唯一公共点 P 叫做 垂足 。. l. P. α.

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2.3.1 直线与平面垂直的判定

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  1. 2.3.1 直线与平面垂直的判定 人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修2 20082201187 翁雪英

  2. 创设情境 在阳光下，观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，思考一下如何定义直线与平面垂直？

  3. 建构定义 如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直. 记作：l ⊥α l 叫做α的垂线, α叫做l 的垂面, l 与α的唯一公共点P叫做垂足。 l P α

  4. ②如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么 这条直线就与这个平面垂直 b a α 深化理解 例题1：判断正误： ①如果一条直线垂直于一个平面内的一条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。

  5. 探究问题 学校要立一个新的旗杆，希望这个旗杆笔直伫立于操场。 思考：如何检验旗杆与地面是垂直的呢？ 探究：如何判定直线与平面是垂直的呢？ l P α

  6. 探究 如何判定直线与平面是垂直的呢？ 利用定义，即 但是定义法需要判定直线和平面内的所有直线都垂直，这在实际中是不适用的。 那么，是否有更简单可行的方法来判定直线与平面垂直呢？

  7. 内的一条直线垂直， 如果直线 与平面 l 互相垂直? 则直线 和平面 l a b 探究 1 α

  8. 内的两条直线垂直， 如果直线 与平面 l 互相垂直? 则直线 和平面 l a b α 探究 2 如果两条直线平行 如果两条直线相交

  9. 内的两条相交直线垂直， 如果直线 与平面 l 互相垂直? 则直线 和平面 l A B C 探究 3 动手操作 请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做一个实验。

  10. A B C D 实验 过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC 与桌面接触）. 问题（1）折痕AD 与桌面垂直吗？ 问题（2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面 所在的平面垂直？

  11. A A B C D D B C 发现 当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。 思考1：折痕AD所在直线与桌面所在平面上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面，这种说法对吗？ 思考2：由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥CD ，AD⊥BD 发生变化吗？你能得到什么结论？

  12. l m n P 结 论 定理:一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面. 用符号语言可概括为： α 简记为：线线垂直线面垂直

  13. 再认识 （1）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； （2）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 （3）与直线与平面垂直的定义相比，判定定理只需在平面内找两条相交直线就可，不必所有直线都验证，更简洁、更可行。

  14. 如图，已知 ，求证：　　． 例1. b n m 学以致用 方法一：用线面垂直判定定理证明 证明：在平面α 内作两条相交直线m,n。 因为直线a⊥α，知a⊥m， a⊥n。 又因为a∥b，所以 b⊥m， b⊥n。 又因为直线m,n都在平面α 内， 且m,n是两条相交直线， 所以b⊥α

  15. 证明：设 为 内的任一直线 ∵ ∴ （直线与平面垂直的定义） ． 学以致用 方法二：用线面垂直的定义证明 ∵ ∴ ∵ 为 内的任一直线 ∴

  16. V K C A B 练 习 如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA＝VC, AB＝BC,K是AC的中点。 求证：AC⊥平面VKB．

  17. 探 究 如图，直四棱柱A’B’C’D’-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A’C⊥B’D’?

  18. 线面垂直 线线垂直 小 结 1．直线与平面垂直的定义 2．直线与平面垂直的判定 （1）利用定义： 垂直于平面内任意一条直线 （2）利用判定定理．

  19. 作 业 课本：习题2.3 第2题 练习册2.3.1 第3、5题

  20. 谢谢！

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