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上联：广宇浩瀚,柳江奔腾,埋头实干寻真谛,观中流砥柱,上联：广宇浩瀚,柳江奔腾,埋头实干寻真谛,观中流砥柱, 看洛水河图、四元玉鉴、九章算术、宫格幻方、欧氏原本、n阶矩阵、拓扑映射、复变泛函,何其博大精深! 莫惊疑数海茫茫,形山隐隐，应悬梁刺股，更邀客探微知著，待灵感迸发，一泻千里书画卷; 下联：西域清凉,城北论道, 小心验证觅珠玑,叹学术渊源, 想祖率冲之、三角杨辉、八卦伏羲、筛法景润、堆垒罗庚、七桥欧拉, 王子髙斯、积分黎曼, 确系超凡神圣! 须礼赞勋卓赫赫，伟业煌煌，知继往开来，恒协力助澜推舟, 欣群星争艳，璀璨苍穹引黎明！

与圆有关的问题 ——复习专题

中考要求: • 熟悉圆的相关概念、圆中的基本图形与定理、与圆有关的位置关系（点/直线/圆与圆）。 • 会进行圆的有关计算：圆周长、弧长；扇/弓形面积；圆柱/圆锥的侧面展开图；正多边形. • 会运用定理进行圆的有关证明（切线的判定） • 生活中的圆问题；结合三角形、四边形、方程、函数、动点的综合运用。

D A ┗ B E 1 A P C 2 A A B ┏ D M└ C ┐ A B ┓ B C B ●O ●O ●O ●O ●O ┏ A′ B′ D D′ 圆中的基本图形与定理垂径定理圆周角定理圆心角、弧、弦、弦心距的关系切线长定理

A D F ┗ ┗ O A D ● · ┗ ┓ O F E O ● ┗ 中心角半径R ● ● ┏ ┓ O 边心距r B E C B C 圆中的基本图形与定理切线的性质与判定正多边形与圆 A A D · · O O B C C B E D

.p .o .p .o .o r r r r .p ┐d 相交相切 d d 相离 ┐ ●O ●O ●O ┐

弧长的计算公式为： = r ·2 = 扇形面积的计算公式为 S= 或 S= r

P l h A O B r 圆锥中:S侧=

基本运用——圆的性质 C 1.如图1，⊙O为△ABC的外接圆， AB 为直径，AC=BC，则∠A的度数为（ ) A.30° B.40° C.45° D.60° 2、如图2,圆O切PB于点B,PB=4,PA=2, 则圆O的半径是_____ _____ 3 (连OB，OB⊥BP） B O P A

基本运用——圆的性质 C B A ● 3.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚(如图),那么B点从开始至结束所走过的路径长度为________. B B O 割补法 4、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=2， AB=4，分别以AC，BC为直径作圆，则图中阴影部分面积为

基本运用——圆的性质易错点 C C D D F F E B B A A · · O O E • 在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°, • 则弦AB所对的圆周角为____________. 500或1300 2．已知ＡＢ、ＣＤ是⊙Ｏ的两条平行弦，⊙Ｏ的半径是５ｃｍ，ＡＢ＝８ｃｍ，ＣＤ＝６ｃｍ。求ＡＢ、ＣＤ的距离. 7或1 分类思想

综合运用——生活中的圆 3.有一圆弧形桥拱，水面AB宽32米，当水面上升4米后水面CD宽24米，此时上游洪水以每小时0.25米的速度上升，再通过几小时，洪水将会漫过桥面？垂径定理

解：过圆心O作OE⊥AB于E，延长后交CD于F，交CD于H，设OE=x，连结OB，OD，由勾股定理得 OB2=x2+162 OD2=(x+4)2+122 ∴ X2+162=(x+4)2+122 ∴X=12 ∴OB=20 ∴FH=4 4÷0.25=16（小时）答：再过16小时，洪水将会漫过桥面。

综合运用——圆与一次函数 1.已知,如图,D(0,1),⊙D交y轴于A、B 两点,交x负半轴于C点,过C点的直线: y=－2x－4,与y轴交于P. 试猜想PC与⊙D的位置关系，并说明理由. 切线判定

解：PC是⊙O的切线， 证明：∵直线y=-2x-4 令x=0，得y=-4;令y=0,得x=-2 ∴C(-2,0), P(0,-4) 又∵D(0,1) ∴OC=2, OP=4 ,OD=1, DP=5 又∵在Rt△COD中, CD2=OC2+OD2=4+1=5 在Rt△COP中, CP2=OC2+OP2=4+16=20 在△CPD中, CD2+CP2=5+20=25, DP2=25 ∴CD2+CP2=DP2 即：△CDP为直角三角形,且∠DCP=90° ∴PC为⊙D的切线.

存在性问题综合运用——圆与一次函数 2.已知,如图,D(0,1),⊙D交y轴于A、B两点, 交x轴负半轴于C点,过C点的直线: y=－2x－4与y轴交于P. 判断在直线PC上是否存在点E，使得S△EOC=4S△CDO,若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

解：假设在直线PC上存在这样的点E(x0,y0),使得S△EOC =4S △CDO， ∵E点在直线PC：y=-2x-4上， ∴当y0=4时有：抓住不变量分类讨论当y0=-4时有： ∴在直线PC上存在满足条件的E点，其的坐标为(-4,4) , (0,-4) .

综合运用——圆与方程 3.如图，直径为13的⊙O1经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OA>OB)的长分别是方程x2+kx+60=0的两根。求线段OA、OB的长。

解：∵OA、OB是方程x2+kx+60=0的两根，∴OA+OB=-k，OA×OB=60解：∵OA、OB是方程x2+kx+60=0的两根，∴OA+OB=-k，OA×OB=60 ∵OB⊥OA，∴AB是⊙O1 的直径,∴OA2+OB2=132，又OA2+OB2=(OA+OB)2-2OA×OB ∴132=(-k)2-2×60 解之得：k=±17 ∵OA+OB>0，∴k<0故k=-17，解方程得OA=12，OB=5

综合运用——动点问题 (圆的探究题） 4.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上一动点（P不与M，C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交 AD与点F，切点为E。（1）求四边形CDFP的周长；（2）试探究点P由M到C的运动过程中，AF·BP的值的变化情况，并写出推理过程；

由图可知：FA、FE为⊙O切线 分析（1） ∵CCDFP=CD+DF+FE+EP+PC 由切线长定理：FA=FE 同理：PB=PE 切点 ∴ CCDFP=CD+DF+FA+PB+PC =CD+DA+CB =2×3 =6

切点

FE·PE ↓ E为切点 “看到切点连半径，必垂直” （2）分析：利用（1）的结论可知： AF·BP= OE为定长1 ↓ FE·PE的值必与OE有关 →由相似: OE²= FE·PE ↓连OF、OP 证明∠FOP为90°

（2）解：AF·BP的值不变 连结OE、OF、OP ∵PF切⊙O与E ∴OE⊥PF 又∵OE⊥PF、 OA⊥FA，EF=AF ∴OF平分∠AOE 同理：OP平分∠EOB ∴ ∠FOP=90° 即：在Rt△FOP中，∵OE⊥PF ∴ OE²=EF·PE=1 ∴ AF·BP=1

（3）如图右，其它条件不变，若延长DC，FP相交于点G，连结OE并延长交直线DC于H，是否存在点P，使△EFO∽△EHG？如果存在，试求出此时BP的长；如果不存在，请说明理由。（3）如图右，其它条件不变，若延长DC，FP相交于点G，连结OE并延长交直线DC于H，是否存在点P，使△EFO∽△EHG？如果存在，试求出此时BP的长；如果不存在，请说明理由。

↑∠1=∠2, ∠3=∠4 ∠3= ∠EOA→ ∠4= ∠EOA （3）分析：假设存在点P使△EFO∽△EHG ↓∠EOA =∠5 ∠ 5=2∠4 (∠ 5+∠4=90°) ↓ ∠4 =∠3=30° →可求EF ↓ 可求EP →可求BP

又∵ ∠3= ∠EOA， AB∥CD （3）解:假设存在点P ∵ ∠1=∠2=90° ∴当∠3=∠4时，△EFO∽△EHG ∴ ∠5= ∠EOA=2 ∠4 又∵在Rt△EHG中，∠5+∠4 =90° ∴∠4=∠3=30° ∴EF=EO·tan 30°= 又OE2= EF×EP ∴BP=EP= = ∴存在这样的点P，且BP=

谢谢！

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