FL5

1. 732G70 Statistik A FL5

2. Normalfördelningsapproximation av binomialfördelningen Låt X = antalet kunder som föredrar vårt företags produkt De fyra antagandena är uppfyllda (se föreläsning 4) varför det gäller att Eftersom kan vi approximera med normalfördelningen enligt

3. Normalfördelningsapproximation av binomialfördelningen Vi söker

4. Population och stickprov Sampling = konsten att dra stickprov • Population (även målpopulation) = den (på logisk väg definierade) grupp av enheter (ofta individer) som vi vill undersöka • Urvalsram = förteckning över populationen, ofta ett register • Stickprov (sample) = de av enheterna i populationen som vi faktiskt undersöker • Urvalsenheter = de enheter som blivit utvalda i stickprovet Population Konsten att dra slutsatser om en population baserat på ett stickprov (statistisk slutledning) är en av grundpelarna inom statistiken! Stickprov

5. Obundet slumpmässigt urval (OSU) (engelska Simple Random Sample) Stickprovsdragning på ett sådant sätt att alla enheter i populationen har samma sannolikhet att bli utvalda.

6. Stratifierat urval (engelska Stratified Random Sample) När vi vill dra slutsatser om en heterogen population (en population som kan delas in i undergrupper med avseende på det som vi vill undersöka). Varje sådan grupp kallas för ett stratum, och vi drar ett OSU ur varje stratum och väger ihop resultaten. Stratifierat urval ger, om populationen är heterogen, lägre standardavvikelse än ett OSU och därmed säkrare slutsatser om populationen.

7. Problem vid stickprovsdragning • Övertäckning = när det finns enheter i urvalsramen som egentligen inte tillhör målpopulationen Exempel: Vid studie av vikter bland studenter i ett klassrum används klasslistan som urvalsram. Men vissa studenter har hoppat av utbildningen sedan klasslistan trycktes – de tillhör inte längre målpopulationen utan utgör övertäckning. • Undertäckning = när det finns enheter i målpopulationen som saknas i urvalsramen Exempel: Vissa studenter har påbörjat sin utbildning sedan klasslistan trycktes. De tillhör därför målpopulationen men har ingen chans att bli utvalda och utgör därför undertäckning.

8. Problem vid stickprovsdragning Bortfall = när enheter inte vill (eller kan) mätas. Skilj på • Partiellt bortfall: när enheten har nåtts, men vi inte fått all information (exempelvis att inte alla frågor på en enkät besvarats) • Totalbortfall: när ingen information erhållits alls från enheten

9. Populationsparametrar och skattningsfunktioner Tabell över väntvärdesriktiga skattningsfunktioner. Väntevärdesriktig = vi gör inget systematiskt fel när vi använder skattningsfunktionen som en uppskattning av populationsparametern.

10. Punktskattning = att använda en skattningsfunktion som en uppskattning av motsvarande populationsparameter Dock: skattningsfunktioner är slumpvariabler och antar olika värden för varje stickprov. Hur ska vi hantera den osäkerheten? Vi börjar med att göra tre antaganden: • stickprovet är draget som ett OSU • populationen som vi drog stickprovet ur är normalfördelad • populationsstandardavvikelsen σ är känd Är dessa antaganden rimliga?

11. Konfidensintervall för medelvärde när  är känd Konfidensintervall = ett osäkerhetsintervall utlagt kring som tillåter oss att med en viss säkerhet säga att µ ingår i intervallet Formel för konfidensintervall: Beräkna Beräkna Hämta värdet på z ur normalfördelningstabell

12. Exempel Glödlampor som tillverkas i en viss fabrik har en lystid som kan betraktas som normalfördelad med medelvärde 1600 timmar och standardavvikelse 100 timmar. Nu har man bytt en maskin i fabriken, och har dragit ett stickprov om 150 lampor och konstaterat att bland dem var den genomsnittliga lystiden = 1618 timmar, medan standardavvikelsen förefaller oförändrad. Bestäm ett 95% konfidensintervall för lystiderna för lampor tillverkade med den nya maskinen!

13. Hur kan vi påverka bredden på ett konfidensintervall? Öka n Välj en annan konfidensnivå: Lägre konfidensnivå ger ett mindre tabellvärde och därmed ett smalare intervall, men samtidigt minskar säkerheten. Exempelvis 90% konfidensnivå innebär att vi bara med 90% säkerhet inkluderar det sanna populationsmedelvärdet (µ) i konfidensintervallet.

14. Den metod för att bilda konfidensintervall vi diskuterat hittills baseras alltså på de tre kraven • stickprovet måste vara draget som ett OSU • populationen som vi drog stickprovet ur är normalfördelad • populationsstandardavvikelsen σ är känd Är det rimligt att dessa krav uppfylls i praktiken? => Nej, åtminstone inte att σ är känd

15. Konfidensintervall för medelvärde när σ är okänd Baserat på antagandena att • stickprovet måste vara draget som ett OSU • populationen som vi drog stickprovet ur är normalfördelad kan vi skatta σmed och beräkna konfidensintervallet som där t hämtas ur t-fördelningen (tabellsamlingen sidan 8-9) med n – 1 frihetsgrader.

16. Exempel En viss sorts påsar med kryddor påstås innehålla 4 gram. Vi kontrollmäter fyra slumpmässigt utvalda påsar och erhåller Bestäm ett 95% konfidensintervall för genomsnittsvikten i påsarna!

17. Normalfördelning (z) och t-fördelning (t) t-värdet är större än z för att ta hänsyn till den ökade osäkerheten som följer av att konfidensintervallet baseras på två skattningar (både och s) t-värdet konvergerar (går mot) z när n ökar (titta i t-tabellen!)

18. Exempel En butiksägare funderar på om det är ekonomiskt försvarbart att fortsätta hålla butiken öppen på söndagar. Hon samlar därför ihop kvitton från alla försäljningar de 10 senaste söndagarna och beräknar medelvärde och standardavvikelse. Totalt samlar hon ihop 980 kvitton, och beräknar och s = 250 Bestäm ett 95% konfidensintervall för den genomsnittliga försäljningen på söndagar!