1 / 184

第十章 概率与统计初步

10.1 随机事件的概率 10.2 随机变量及其应用 10.3 随机变量的数字特征 10.4 区间估计与假设检验 10.5 相关分析和一元回归分析. 第十章 概率与统计初步. 10.1.1 随机事件的概念、关系和运算 必然现象 在一定的条件下，必然会发生的现象 ． 例如 向上抛一枚硬币，由于受到地心引力的作用，硬币上升到某一高度后必定会下落．我们把这类现象称为必然现象．同样，任何物体没有受到外力作用时，必定保持其原有的静止或等速运动状态；导线通电后，必定会发热等等也都是必然现象。. 10.1 随机事件的概率.

maxine
Download Presentation

第十章 概率与统计初步

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 10.1 随机事件的概率 10.2 随机变量及其应用 10.3 随机变量的数字特征 10.4 区间估计与假设检验 10.5 相关分析和一元回归分析 第十章 概率与统计初步

  2. 10.1.1 随机事件的概念、关系和运算 必然现象在一定的条件下，必然会发生的现象． 例如 向上抛一枚硬币，由于受到地心引力的作用，硬币上升到某一高度后必定会下落．我们把这类现象称为必然现象．同样，任何物体没有受到外力作用时，必定保持其原有的静止或等速运动状态；导线通电后，必定会发热等等也都是必然现象。 10.1 随机事件的概率

  3. 不可能现象在一定条件下,一定不会发生的现象.不可能现象在一定条件下,一定不会发生的现象. 例如: 在标准大气压下纯水在10。C是结冰是不可能的，所以就称为不可能现象。 同样，一物体在变力作用下作匀速直线运动也是不 可能现象。

  4. 随机现象: 在给定条件下，可能发生，也可能不发生，其结果是无法事先预测的现象 例如: 1.抛掷一枚硬币，当硬币落在地面上时，可能是正面（有国徽的一面）朝上，也可能是反面朝上，在硬币落地前我们不能预知究竟哪一面朝上．我们把这类现象称为随机现象（或偶然现象） 2.自动机床加工制造一个零件，可能是合格品，也可能是不合格品；

  5. 3.现象Ⅰ: 一个盒子中有10个完全相同的白球,混合后，任意摸一个. 现象Ⅱ: 一个盒子中有10个球,5个白球5个黑球,混合后,任意摸一个 对于现象Ⅰ,在没有摸之前,我们就可以知道摸出 来的为白球;而对于现象Ⅱ在没摸之前我们不能肯定摸到的为什么球,但我们知道只要两种可能,并且摸的结果一定是这两种可能之一.随着摸球次数的增大,发现摸到白球和摸到黑球的机会是等可能的.

  6. 统计规律性 • 每次试验前不能预言出现什么结果 • 每次试验后出现的结果不止一个 • 在相同的条件下进行大量观察或试 验时，出现的结果有一定的规律性 —— 称之为统计规律性

  7. 对某事物特征进行观察, 统称试验. 若它有如下特点,则称为随机试验 可在相同的条件下重复进行 试验结果不止一个,但能明确所有的结果 试验前不能确定出现哪种结果 随机试验

  8. 我们把试验的结果中发生的现象称为事件，在试验的结果中，可能发生、也可能不发生的事件称为随机事件，简称为事件．通常用字母A，B，C，…表示随机事件我们把试验的结果中发生的现象称为事件，在试验的结果中，可能发生、也可能不发生的事件称为随机事件，简称为事件．通常用字母A，B，C，…表示随机事件 随机事件 基本事件——实验的不可能再分的结果.每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件. 复合事件——由若干个基本事件组成的事件

  9. 特殊的随机事件： 必然事件——在一定条件下必定发生的 事件,记为  不可能事件——在一定条件下一定不发生的事件,记为 .

  10. 例:某城市共有500辆出租车，其牌照编号从000 1～1000之间选取，记事件 A={偶然遇到一辆出租车，其牌照号码中含有数字8} B={连续碰见三辆出租车，其牌照号码均含有数字8}都 是随机事件 C={该城市中出租车牌照编号为8000}为不可能事件.

  11. l引例 例从一批含有正品，次品的产品中，任取两件．设有以下事件： A1={两件中至少有一件是次品} A2={两件中恰有一件是次品} A3={两件全是次品} A4={两件全是正品} A5={两件中至多有一件次品} 这些事件间存在着多种关系， 如:（1） A1发生，则A4不会发生； （2） A4发生，则A1不会发生； （3） A3与A4不会同时发生； （4）当且仅当A2与A3至少有一个发生时， A1发生； （5）当且仅当A2与A4至少有一个发生时发生,A5发生．

  12. B A 且 1. 事件的包含 A包含于B—— • 事件 A 发生必 导致事件 B发生 2. 事件的相等

  13. 或 的和事件 —— 3. 事件的和(并) A与B的和事件 ——  A +B发生 • 事件 A与事件B至 少有一个发生

  14. 发生  事件 A 发生，但 事件 B不发生 4. 事件的差 A与B的差事件

  15. 每次试验 A、B中有且只有一个发生 A 称B为A的对立事件(或逆事件)， 记为 5. 事件的对立 —— A与B互相对立

  16. A A、B不可能同时发生 B 两两互不相容 6. 事件的互不相容(互斥) —A与B互不相容

  17. 注意：“A与B互相对立”与 “A与B互斥”是不同的概念 若事件A与事件B是相互对立的两个事件，则它们一定互不相容；反之不一定.

  18. 事件的关系及运算的概念类似于集合论中集合间的关系与运算的概念，其记号也是相对应的，列表对照说明如下：事件的关系及运算的概念类似于集合论中集合间的关系与运算的概念，其记号也是相对应的，列表对照说明如下：

  19. 例 在1，2，3，…，10十个数中任选一个，若选取的数为1则记为{1}，设A={选取的数为偶数}，B={选取的数为小于5的偶数}，C={选取的数小于5}，D={选取的数为奇数} 则

  20. 交换律A+B=B+A AB=BA 结合律A+（B+C）=（A+B）+C ； A（BC） =（AB）C 分配律 （1） A（B+C）=AB+AC （第一分配律） （2） A+BC=（A+B）（A+C）（第二分配律） 运算律 事件 运算 集合 运算 对应

  21. 定理1 若事件A，B互不相容，则 称为概率的加法公式. 证明： 设在某一条件下将试验重复进行 n次，即基本事件总数为n. 其中事件A包含的基本事件数为 m1，事件B包含的基本事件数为 m2， 加法公式

  22. P（A）= ，P（B）= 由于A与B互不相容，故事件A+B包含的基本事件数为 m1+m2 ,同样由古典概率的定义有 故概率的加法公式成立.

  23. 推论1 若事件 两两互不相容，则 推论2 事件A的对立事件 的概率为

  24. 定理2设A，B为任意两事件，则 证明：因为A+B= ，并且 与B互 不相容，于是 又由于

  25. 于是有 因此对于三个随机变量，类似地有 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) -P(A1A2) -P(A1A2) -P(A2A3)+P(A1A2A3) 我们可划出维恩图说明其意义．该结论又称为“多除少补原理”，对于事件的个数，这一原理还可推广到n个的情形． 因此

  26. 例:一批产品共50件，其中有5件是次品，从这批产品中任取3件，求其中有次品的概率． 解法1 设A={取到的3件产品中有次品}； Ai={取到的3件产品中恰有i件次品}(i=1,2,3) 则， 由定理1的推论1得

  27. ={取到的3件产品中无次品}， 解法2设A={取到的3件产品中有次品}； 则有

  28. 则称 为事件 A 发生的 频率 记作 fn(A),其中m为频数 10.1.2随机事件的概率 频 率 设在 n次试验中，事件 A发生了m次，

  29. 抛硬币试验 ： 做“抛掷硬币”的试验，我们将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做10遍，得到数据如表1-1所示；其中A={朝上的一面是正面}，nA表示事件A发生的频数,表示A发生的频率．

  30. 频率的性质

  31. 实践证明：在大量重复试验中，随机事件的频率具有稳定性．也就是说，在不同的试验序列中，当试验次数n充分大时，随机事件A的频率fn(A)常在某个确定的数字附近摆动．实践证明：在大量重复试验中，随机事件的频率具有稳定性．也就是说，在不同的试验序列中，当试验次数n充分大时，随机事件A的频率fn(A)常在某个确定的数字附近摆动． 在抛硬币的试验中，“正面朝上”这一随机事件A的频率fn(A)稳定在数字0.5的附近．类似的例子还可以举出很多. 频率的稳定性

  32. 历史上不少著名学者做过抛掷硬币试验，得到的数据如下：

  33. 概率的统计定义 在相同条件下重复进行的 n次试验中, 如果事 件 A发生的频率fn(A)稳定在某一数值P的附近摆 动,且随n的增大,摆动幅度越来越小,则称P为随机 事件A的概率,记作P(A)

  34. 概率的统计定义也提供了一个近似计算概率的方法:概率的统计定义也提供了一个近似计算概率的方法: 当试验次数n较大时有: 事件发生 的概率 事件发生 的频率

  35. 即当试验次数n充分大时,就常把事件A的频 率作为事件A的概率的“近似值”（或“估值”）． 比如：合格率，废品率，出生率，升学率，死亡率等等，都是频率．

  36. 1. 0≤P(A)≤1; 2. P(Ω)=1,P(φ)=0. 于是有下列性质

  37. 1条件概率的概念 一 、条件概率 10.1.3 几类常见的概率问题 在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率。记为

  38. 2、条件概率的性质 如果A，B是随机试验的两个随机事件，且 P（B）﹥0的，则称在事件B发生的前提下事件A发生的概率为条件概率， 记作 P（A︱B）．这个条件概率定义为 P（A︱B）=

  39. 例 两城市都处于长江中下游，根据近一百余年的气象资料记录，知道两城市的雨天所占的比例分别为20%和18%，两城市同时下雨所占的比例为12%， 求：⑴已知甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率； ⑵已知乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率. 解 ， 则有 .

  40. 把事件A发生的前提下事件B发生的条件概率，记作 P（B︱A）． P（B︱A）=

  41. 例 已知一批产品的次品率为5%，正品率中的一级品率为80%．从中任取一件，试求它是一级品的概率． 解 设A={被取到的一件产品是正品}，B={被取到的一件产品是一级品}． 依题意得 =1-0.05=0.95 因为 P(B/A)=0.80， 所以 AB=B． 于是 P（B）=P（AB）=P（A）P（B/A）

  42. 乘法公式可以推广到有限个事件的情形 对于事件 一般的有

  43. 由条件概率的定义可得： P（AB）=P（B）P（A︱B） （当P（B）≠0时)或 P（AB）=P（A）P（B︱A）（当P（A）≠0时） 此二公式称为概率的乘法公式 注：当P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用P(A)与P(B∣A)的乘积或P(B)与P(A|B)的乘积间接求得。 乘法公式

  44. 乘法公式可以推广到有限个事件的情形 对于事件 一般的有

  45. 例 一批产品的次品率为4％，正品中一等品率为75％，现从这批产品中任意取一件，试求恰好取到一等品的概率。 解： 记A＝{取到一等品}，B＝{取到次品}，＝{取到正品} ， 则 由于 故 于是

  46. 　如果事件 　　构成一个完备事件组，并且 　　 ,则对于任一事件B，有 二、全概率公式 称为全概公式

  47. 例 三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目标的概率分别为0.3，0.6，0.8．若有一门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.2；若两门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.6；若三门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.9．试求目标被摧毁的概率．

  48. 解　设事件B={目标被摧毁 } 显然，A1，A2，A3构成一个完备事件组，由全概公式可得：

More Related