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수치해석 2010 년도 봄학기 Homework

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수치해석 2010 년도 봄학기 Homework - PowerPoint PPT Presentation


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수치해석 2010 년도 봄학기 Homework. 환경공학과 20080029 김민진. I.1 Taylor 급수를 유도하고 절단 오차를 설명하라. 절단오차 (truncation error) - 수학적으로 엄밀하게 주어지는 함수 f 의 값을 , 유한의 사칙 연산의 반복 계산 식 fa 로 근사하는 경우 , (fa-f) 의 오차가 생김 . - 예를 들면 , 테일러급수를 이용하여 삼각함수를 계산할 때 , 무한급수의 계산을 유한 항까지의 계산으로 중단하기 위해서 , 절단오차가 발생.

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Presentation Transcript
2010 homework

수치해석2010년도 봄학기Homework

환경공학과 20080029 김민진

slide6
절단오차(truncation error)

- 수학적으로 엄밀하게 주어지는 함수f 의 값을, 유한의 사칙 연산의 반복 계산 식fa 로 근사하는 경우, (fa-f)의 오차가 생김.

- 예를 들면, 테일러급수를 이용하여 삼각함수를 계산할 때, 무한급수의 계산을 유한 항까지의 계산으로 중단하기 위해서, 절단오차가 발생.

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I.2 다음의 역행렬을 구하는 문제에 대하여1) 알고리즘을 설명하고 프로그램을 작성 실행하라.2) 책의 프로그램을 Visual Fortran, Visual C 등의 Compiler를 이용하여 실행하고 알고리즘 및 계산 결과를 설명하라. 3) 본 프로그램을 Visual Basic 프로그램으로 변환하라.
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(1)알고리즘
  • 알고리즘:알고리즘: 어떠한 문제를 해결하기 위한 여러 동작들의 유한한 모임이다.
  • 입력 : 외부에서 제공되는 자료가 0개 이상 존재한다.
  • 출력 : 적어도 1개 이상의 결과를 내어야 한다.
  • 명확성 : 각 명령어들은 명확하고 모호하지 않아야 한다.
  • 유한성 : 알고리듬의 명령어들은 유한번의 수행후에 종료되어야 한다. 이것 은 수행 시간의 현실적인 유한성을 의미한다.
  • 효과성 : 모든 명령어들은 원칙적으로 종이와 연필만으로 수행될 수 있는 기본적인 것이어야 한다.
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행렬식
  • 정방 행렬A의 LU분해가 A=LU인 경우, 그 행렬식|A| 는 |A|=|L| |U|
  • 로 표현할 수 있다. Doolittle법에 따라LU 분해에서는, L의 대각 요소는 모두 1이고, 삼각 행렬의 행렬식은 그 대각 요소의 적(積)이기 때문에
  • 가 된다. 따라서, |A| 은 U의 모든 대각 요소의 적으로서 구해진다. 단,LU 분해에 있어서 Pivot의 선택이 있는 경우는, Pivot을 교환할 때마다 행렬식의 부호를 바꾸어주기 위해, 교환 회수가 m인 경우 가 된다.
slide21
따라서, |A| 은 U의 모든 대각 요소의 적으로서 구해진다. 단,LU분해에 있어서 Pivot의 선택이 있는 경우는, Pivot을 교환할 때마다 행렬식의 부호를 바꾸어주기 위해, 교환 회수가 m인 경우 가 된다.
  • Doolittle법에 따른LU분해의 결과, 구해진U와 Gauss의 소거법에 있어서 전진 소거가 끝난 단계에서의 식 (4.14)의 계수 행렬이 같은 것은 앞서 서술하였다. 이것으로부터, Gauss 소거법에 있어서도 모든 Pivot의 적
slide22
에 따라 행렬식을 구하는 것이 가능하다. 행렬식만 구하는 경우는, Gauss의 단순 소거법에 있어서 우변의 계산과 후진 대입의 계산을 생략하고, 전진 소거를 하여, 모든 Pivot의 적을 구하면 된다. 따라서, 행렬식의 계산 순서는 다음과 같다.
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역행렬
  • 행렬 A의 역행렬 이란, 다음의 관계를 만족시키는 행렬이다.
  • 여기에서,I는 단위 행렬이다. 역행렬의 계산은, 식(4.4)로부터 구하는 것보다, 소거법 등을 이용하는 편이 계산 횟수가 적게 든다. 여기에서는,LU분해에 따른 계산 방법을 서술한다.
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은 미지이므로 X라고 치환하면, 식 (5.5)로부터 AX=I
  • (5.6)으로 나타내진다. Doolittle법의 LU 분해에 따라 A=LU를 구하여 LY=I의 관계로부터 행렬 를 계산하고, 계속해서 UX=Y 의 관계로부터 행렬X를 계산할 수 있다. 여기에서, 는 LY=I 의 관계로부터 대각 요소가 모두 1인 하삼각행렬이 되고, 의 순서로, 그리고 j를 1부터 n까지라고 하면
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으로 구해진다. 또, 는 의 순서로, 그리고 j를 n부터 1까지라고 하면

으로 구해진다. 또한, Y는 하삼각행렬이기 때문에 L의 배열 에 중복되며, X도 U의 영역에 중복되어, 이에 따라 배열 영역을 절약할 수 있다. 나아가, LU분해의 결과를 A에 중복시키면, X의 계산 결과도 A에 중복시키는 것이 가능하다. 단, LU분해에 있어서 Pivot을 교환하는 경우는, 그것에 대응하는 X의 열교환이 필요하게 된다. Pivot 교환이 있는 경우의 계산 순서를 서술하였다.

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(해)행렬식으로 표현한다면
  • 제 1단계는, 계수 행렬의 제1열의 대각 요소만 1로 하고 이외는 0으로 한다. 이 때문에, 제1행을 1/2배로 한다.
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다음에, 제2행-제1행, 제3행-4×제1행을 계산하여
  • 제 2 단계는, 계수 행렬의 제2열의 대각 요소만 1로 하고 이외는 0으로 한다. 이 때문에, 제2행을 -1/3배 한다.
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다음에, 제1행-2×제2행, 제3행-(-7)×제2행을 계산하여
  • 제 3 단계는, 계수 행렬의 제3열의 대각 요소만 1로 하고 이외는 0으로 한다. 이 때문에, 제3행을 -3/56배 한다.
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다음에, 제1행-(13/3)×제3행,
  • 제2행-(-2/3)×제3행을 계산하여
  • 이것으로부터, 의 해를 얻는다.
iii 8 1 jacobi gauss seidel sor excel

III.8 다음의 연립 1차 방정식을 초기값 로서 Jacobi법, Gauss Seidel 법, SOR 법으로 계산기, Excel, 프로그램을 이용하여 구하라.

iv 1 derive the all the algorithms using graphs for the case of bisection secant and newton methods

IV.1 Derive the all the algorithms using graphs for the case of Bisection, Secant, and Newton Methods.

iv 2 compile and run the given programs by using visual fortran visual basic and visual c compilers

IV.2 Compile and run the given programs by using Visual Fortran, Visual Basic and Visual C Compilers.

iv 3 solve the example problems by hands using excel program and by the given programs

IV.3 Solve the example problems by hands, using Excel program, and by the given programs.

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6.2 Newton-Raphson법

❖근을 구하는 공식들 중 가장 넓게 사용됨

(1)초기 가정값이 라면

(2)점 에 접하는 접선을 구할 수 있고

(3)이 접선이 축과 교차하는 점 개선된 근

❖그림6.5: 1차도함수의 기울기

(6.5)

(6.6)

Newton-Raphs

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6.2.2 Newton-Raphson 법의 문제점.

- Newton-Raphson법은 매우 효율적이지만 제대로 수행되지 못하는 경우도 있다.

- (예6.5)Newton-Raphson법의 사용시 느리게 수렴하는 함수의 예.Newton-Raphson법을 사용해서 의 양의 근을 구하라. 초기가정은 한다.

- (Sol.)

- 근의 참값 1에 수렴은 하지만 수렴속도가매우 느림

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- Newton-Raphson법이 수렴하지 않는 네 가지 경우

- Newton-Raphson법에 대한 일반적수렴 판정의 기준은 존재(X)

- 수렴=함수의 성질 & 초기가정의 정확도에 의존함.

- 유일한 해결책 = 근에 ‘’충분히’’가까운 초기 가정을 사용하는 것. 훌륭한 초기가정 얻기

문제에 대한 물리적 이해

해의 형태에 대한 정보를

제공하는 그래프 사용.

vii 1 bod arma 1

VII.1 최소자승법을 이용하여 선형회귀분석을 수행하는 알고리즘을 BOD 분해능 계수를 추정하는 문제와 시계열 모형중 ARMA 모형의 선형 1차모형 문제에 대하여 설명하라(그림 포함). 선형회귀함수의 계수를 유도하라.

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1) 물질이동식 및 해

하천에서의 오염현상은 총체적인 개념으로 BOD 농도를 사용하여 해석하며, 이러한 BOD 농도에 대한 물질이동식으로 해석한다. 물질이동식은 유속에 의한 이류유송과 생화학적 분해 반응을 고려하면 다음의 편미분방정식으로 표현된다.

여기서, 평균 하천 유 속(u)은 유량을 단면적으로 나눈 값(Q/A)이다.

위의 식을 정상 상태의 상미분 방정식으로 표현하면 다음과 같다.

변수분리법으로 위의 상미분 방정식을 다음과 같이 풀 수 있다.

위의 적분은 x=0일 때의 Co에서부터 하류 거리 x일 때 농도 C까지 설정되었다. 적분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

양변에 지수를 취하면, 다음과 같다.

여기서, Co는 원점 X=0에서의 초기 농도이다.

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2) 반응계수 추정을 위한 선형회귀분석방법의 적용
  • 식을 농도와 이동 거리에 대한 식으로 정리하면 다음과 같다.

이동 거리에 따라 측정된 BOD 농도/초기농도에 ln를 취하여 y축으로 이동거리/유속을 x 축으로 설정하여 측정된 자료를 도시한다. 이 도시된 그래프의 기울기는 이다. 따라서, 기울기가 BOD 분해능 계수이다. 다음에 이러한 판정 기법의 예를 나타내었다.

실험오차나 기타 오차에 의하여 측정된 값이 그래프에 정확히 일치하지 않는 경우에는 선형회귀분석 기법을 이용하여 그래프에 가장 일치하는 경우의 기울기를 구하면 된다. Excel의 메뉴에 있는 Regression(상관분석)을 사용하여 이러한 분석을 수행한 후 그래프를 도시하여 실측값과 계산치와의 비교 분석을 수행한다.(r결과클릭)

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,

막대공식:

를 구하는 것이 곤란한 경우가 있다. 이러한 경우에는, 수치 해석에 따라 근사값을 구하면 된다.

정적분은 X=a, X=b, y=f(x) 및 축으로 둘러싸인 면적을 의미한다. 이것으로부터, 구간 [a,b]를 n개의 등간격 의 소구간 으 로 나누면, 정적분은 로 정의할 수 있다.

여기에서, , 이다. 이 정의로부터, n을 충분히 큰 유한의 정수라 하면, 그림 8.1에 보여지는 정적분의 근사값은

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VIII. 2 을 막대공식, 사다리꼴 공식과 Sympson 공식으로 계산하고 (계산기, Excel, Program을 이용(유체역학 교과서 부록에 있음), 실제값과 비교하라. 단, 세분 폭은 이라고 한다.
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I.2 교과서에서 제시된 일반적 유한차분법에 대한 해를 Fortran 및 Basic 프로그램으로 개발한 전산모형과 Excel을 이용한 Excel 모형으로 구하여라. 확산계수 및 유속은 교과서에 있는 값을 사용하여라. 모델링 값을 비교 분석하여 그림에 나타내어라.
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I.3 편미분방정식의 특성식을 설명하고 이 특성식의 근의 수에 따라 편미분방정식을 분류하는 방법을 서술하고, 공학 및 자연과학 문제에 있어서 지배방정식을 이러한 분류된 편미분방정식의 어느 범주에 속하는지 서술하라.

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편미분 방정식은 특성식에 따라 쌍곡형(hyperbolic), 포물형(parabolic), 타원형(elliptic)으로 나누어진다.
  • 편미분방정식은 특성식의 속성에 따라 다음과 같이 분류된다.
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위의 편미분방정식중 쌍곡선형인 경우에는 수치해석 불안정성과 오차가 심하기 때문에 격자망을 작게 사용하거나, 특성법을 사용하여야 한다. 특성법은 다음과 같이 설명된다. 연속방정식에 전방차분법을 적용하면 다음과 같다.
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따라서, 다음의 식으로 전개된다.
  • 즉, 주변수가 격자망을 따라서 유속에 의하여 이동하는 것을 알 수 있다.
  • 물질이동식에 GCA의 알고리즘을 적용하기 위해서는 유속항은 중앙차분법을, 확산항은 특성법을 적용한다. 즉 분산이 유속에 따라 이동된 격자에서 일어난 것으로 가정한다. 따라서, 분산항은 다음과 같이 평가된다.
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일반적으로 지하수 흐름의 지하수 유동 방정식 및 오염물 이동에 관계된 물질이동방정식은 포물형의 편미분 방정식 유형에 속한다. 이러한 일차원 물질이동방정식에 대하여 여러 수치해석 기법을 적용하여 일차원 모형을 개발하였다. Excel을 사용하여 모형을 개발함으로서 수치해석 알고리즘에 대하여 계산결과를 상세히 확인할 수 있었다. 이러한 계산결과는 저자가 기존에 개발한 BASIC 및 FORTRAN을 이용한 수치해석모형과 비교하여 수치해석 기법의 타당성을 검증하였다. 또한 모든 수치해석 기법의 결과는 이론해와 비교하였다. 수치해석 알고리즘으로 유한차분법 방법중 범용적 Crank-Nicholson 해법 (GCN : Generalized Crank-Nicholson Method)과 범용적 특성 평균법 (GCA : Generalized Characteristic Averaging Method)를 사용하였다.
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I.4 GCA 방법에 의한 물질이동식의 수치해석 기법을 설명하고, 해를 Fortran 및 Basic 프로그램으로 개발한 전산모형과 Excel을 이용한 Excel 모형으로 구하여라. 확산계수 및 유속은 교과서에 있는 값을 사용하여라. 모델링 값을 비교 분석하여 그림에 나타내어라.
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GCA방법에 의한 알고리즘은 다음과 같이 특성법(Characteristic Method), 중앙차분평균법(Centered Difference (Averaging) Method), 범용적(Generalized) Crank Nicholson 법의 결합에 의해 유도된다.
  • 1)특성법
    • 편미분방정식은 특성식의 속성에 따라 다음과 같이 분류된다.
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따라서, 다음의 식으로 전개된다.
  • 즉, 주변수가 격자망을 따라서 유속에 의하여 이동하는 것을 알 수 있다.
  • 물질이동식에 GCA의 알고리즘을 적용하기 위해서는 유속항은 중앙차분법을, 확산항은 특성법을 적용한다. 즉 분산이 유속에 따라 이동된 격자에서 일어난 것으로 가정한다. 따라서, 분산항은 다음과 같이 평가된다.
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2) 중앙차분(평균)법 (Centered Difference (Averaging) Method)
  • 물질이동식중 유속에 의한 항은 중앙차분법으로 평가된다. 즉, 시간도함수는 공간절점에 대하여 평균치를 취하고, 공간도함수는 시간절점에 대하여 평균치를 취한다.
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위의 식을 정리하면 다음과 같다.
  • 여기서 , , 이다.
  • 만약 평균을 취하지 않는 다면, 위의 식은 다음과 같다 (전방차분특성법).
  • 인 경우, 두 평균 차분 특성법이나 전방 차분 특성법 모두 다음과 같이 유속에 따라 주변수를 추적하는 알고리즘이 되므로 특성법을 입자추적법이라고도 한다.
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유한요소법은 수치해의 오차를 최소화하도록 해를 구하는 방법이다. 즉, 수치 해에서는 좌변과 우변이 다르므로, 좌변과 우변의 차이를 잔차라고 정의한다. 물질이동식의 잔차의 미분운영함수 L(C)는 다음과 같이 정의된다.
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위의 잔차를 해석하려는 전체 공간에 대하여 최소화하기 위하여 각 격자 혹은 요소에 대한 가중화된 잔차를 다 더한 후에 잔차의 합을 0이 되게끔 식을 구성한다. 시간에 대한 미분식은 일반적인 차분법을 적용하므로 잔차는 공간에 대해서만 해석한다. 물질이동식의 가중잔차의 최소해를 구하기 위한 가중잔차식은 다음과 같다.
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위의 방법을 가중잔차법(Weighted Residual Method)이라고 하며, 유한요소법의 근본원리가 된다. 즉, 공간 및 시간영역에 대하여 격자화된 각 계산점에서 수치해의 오차가 최소화되도록, 각 격자점의 수치해에 가중치를 곱하여 합한 다음, 전체 오차가 0이 되게끔 알고리즘을 설정하는 방법인 것이다. 가중잔차식은 부분적분과 Green의 정리를 이용하여, 확산의 이차 미분항이 일차 미분항으로 변환되고, 유출경계조건과 결합된다.
  • 일반적으로 컴퓨터를 사용한 미분 혹은 편미분 방정식의 해법에 있어서 수학적 혹은 이론적인 엄밀해와는 달리 컴퓨터는 공간적, 시간적인 전체 문제영역을 연속적으로는 생각할 수가 없기 때문에 오직 이산화 혹은 격자환된 점(요소내의 절점)에서의 변화에 대해서만 계산이 가능하다. 따라서, 어떤 수치해석 기법(유한차분법, 유한요소법 등)을 사용하던 간에 지배방정식에 관계되는 모든 주변수, 매개변수, 독립변수, 자료 등을 이산화하여야 한다. 유한요소법에서는 다음과 같이 대표적인 변수, 파라미터 등을 기저함수(Basis Function) 혹은 형상함수(Shape Function)를 이용하여 이산화한다.
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기저함수는 공간영역의 격자화에만 관계되므로 현상자체의 과정에는 의존하지 않으므로, 각 요소의 형상에 의해서만 결정된다. 따라서, 기저함수는 계산시간을 크게 감소시킬 수 있도록, 격자점의 좌표계만 주어지면 프로그램 운영 시 초기에 1회 평가된다. 즉, 물질이동식의 물리적, 화학적, 생물학적 기작을 평가하기 이전에 입력 자료로서 주어지는 격자망의 구성 방법 혹은 좌표계로서 평가되는 것이다. 기저함수는 모든 Gauss 지점에서 구해진 후, 요소행렬들의 적분이 수행될 때 조합된다.
slide112
II. 유한요소법

II.1 Green의 정리를 설명하라.

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그린 정리는 적분을 하기에 좀 어려운 구간들이 있을때
  • 그린정리는 부분적으로도 적용 가는하죠 그래서 면적분을 선적분 형태로 바꾸어서 적용할수 있습니다. 실생활 예로 시작점 과 끝점을 같이 하고 난다음 움직이면 알아서 면적을 계산에 주는 기계도 있구요. 여기서 꼭 시작점과 끝이 만나는 닫힌곡선 폐곡선일경우입니다
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Gauss 적분법은 선택점의 위치를 결정할 때 함수값을 잘 나타낼 수 있도록 결정하여야 하는데, 본 모형에서는 기저함수가 선형이므로 계산시간과 해의 수렴상 선택점의 위치가 2일 때가 가장 적절하여 이를 선택하였다. Gauss 적분법은 다음의 식으로 나타낼 수 있다.
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식에 조합된다. 우측부하벡터는 각각의 요소별로 평가된 이후에 부하벡터행렬로 조합된다. 따라서 우측벡터와 좌측행렬은 선형연립방정식이 되어 이 행렬식을 풀면 각 절점별 농도가 구해진다. 요소 행렬의 조합 절차는 전체의 행렬 형태가 비대칭 행렬식을 사용할 수 있고, 변수의 기억용량을 줄이는 방향으로 수행된다.
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II.6 일차원 유한요소법을 이용한 물질이동식의 수치해석 기법을 설명하고, 해를 Fortran 프로그램(m1.for)으로 개발한 전산모형과 Excel을 이용한 Excel 모형으로 구하여라. 확산계수 및 유속은 교과서에 있는 값을 사용하여라. 모델링 값을 비교 분석하여 그림에 나타내어라.
slide134
기저함수는 선형기저함수를 이용하였다. 각 요소행렬의 적분은 수치적분이 아닌 수계산으로 이루어졌다. 다음에 구체적인 수치해석 알고리즘을 서술하였다.
  • 다음과 같은 유한 요소에 대하여 각 절점별로 선형 보간 함수를 고려하면 기저함수는 다음과 같이 유도할 수 있다.
ii 7 gcn bas gca bas gcn xls gca xls m1 for m1 xls

II.7 유한차분법(gcn.bas, gca.bas, gcn.xls, gca.xls)을 이용한 물질이동식의 해와 유한요소법(m1.for, m1.xls)을 이용한 물질이동식의 해를 비교하여 분석하여라 (교과서에 있음).

slide139
범용적 Crank-Nicholson법을 사용하는 유한차분법의 해와 유한요소법의 해를 비교하기 위하여 다음과 같이 유한차분법에 있어서의 경계조건을 살펴보았다. GCN 방법에 대해서는 이미 유한차분법장에서 서술하였다. 삼대각행렬의 삼대각 요소를 로, 부하벡터를 로 나타내면 경계조건을 다음과 같이 설명될 수 있다.
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