科学设计合理呈现打造高效课堂

科学设计合理呈现打造高效课堂 人民教育出版社中学数学室李龙才

教学是科学也是艺术 • 教学有法，教无定法，贵在得法 • “科学性”要求遵循规律 • “艺术性”注重发挥个性特长 ——加强数学教学的科学性

当前数学教学中存在的问题 • 重视概念和思想方法的教学 • 理解数学、做好内容解析 • 重视教学目标的制定 • 做好教学问题诊断，准确把握教学难点 • 加强研究方法的引导，提高课堂教学的思想性 • 提好的问题，设计自然的教学过程

一、当前数学教学中存在的问题 • 1、国际数学课程改革的大背景 • 新数运动（20世纪50、60年代） • 回到基础（20世纪70年代） • 问题解决（20世纪80年代） • 标准运动（20世纪90年代至今）

美国数学课改的几个标志性文件 • 1980《行动议程——80年代数学教育的建议》 • 1989《学校数学课程和评估标准》 • 2000《中小学数学的原则和标准》 • 2006《学前班到八年级数学课程焦点：寻求课程的一致性》 • 2008《高中数学的焦点：推理和数学意识》 • 2010《核心课程标准》改革——创新——反思——批判——回归

2、新世纪我国基础教育课程改革 • 2001义教数学课程标准实验稿颁布 2005全部使用 • 2004普通高中数学课程标准实验稿颁布 2012全部使用 • 义教数学课程标准修订 2005开始 2007征求意见稿 2010修改稿 2011年颁布 2012使用新教材借鉴、改革、创新、实践、调整如何形成“继承—创新—发展”的良性循环？

我们老师经历了怎样的过程 学习理念冷静思考探索创新实践提高 • 教师反映的问题新课程提倡的理念难把握；新教材的改革设计难适应；教学方式、学习方式的变革难跟上；课程改革与考试评价制度的改革不配套；等等。

“新课改后中学数学教材特点的比较研究” 课题的调查结论认可教材的主要变化，但实际教学效果不明显。教材的主要变化 1.更重视数学知识的学习过程，加强教材的启发性、探究性、发展性； 2.更重视数学知识与实际问题的联系，加强教材对实际背景与实际应用的反映。教师对教材呈现方式的处理比较认可的。但是，学生的学习兴趣和学习的自主性并没有明显的提高，这应当引起我们的注意。

能力方面传统优势降低，改革倡导的能力没有显著提高。能力方面传统优势降低，改革倡导的能力没有显著提高。对于学生对基础知识和基本技能的掌握，教师的态度比较中性。对于传统的“三大能力”中的运算能力和逻辑思维能力，教师的评价是负面的。对于同是“三大能力”的空间想象能力，教师的评价是正面的。另外，本次课程改革，从课程标准到各个版本的教材，都注意加强了对学生解决实际问题能力、探究能力、数学表达与交流能力的培养。但从调查结果来看，教师的选择出现了分化，三个问题的回答，选择“提高”“差不多”“降低”的比例大致相同，并没有得到我们预期“提高”的结果。

客观原因 影响教材实验及其效果的因素是复杂的。比如，由于班额普遍偏大（初中班额在50人以上的占77%强，在60人以上占41.82％；高中班额在50人以上的占76.44%，在60人以上的占38.12％），以及受升学、考试等的影响，尽管教师认可教材重视数学知识的学习过程、加强启发性及探究性等处理方式，但这些措施在实际教学中往往难以到落实。 • 反思我们自己的问题

国家中长期教育改革和发展规划纲要 第三部分体制改革第十一章人才培养体制改革 (三十二)创新人才培养模式。遵循教育规律和人才成长规律，深化教育教学改革，创新教育教学方法，探索多种培养方式，形成各类人才辈出、拔尖创新人才不断涌现的局面。 • 注重学思结合。倡导启发式、探究式、讨论式、参与式教学，帮助学生学会学习。激发学生的好奇心，培养学生的兴趣爱好，营造独立思考、自由探索的良好环境。 • 注重知行统一。 • 注重因材施教。

教学层面的问题 数学教学“不自然”，强加于人；缺乏问题意识；重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”；重解题技能技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高； “重逻辑而轻思想”。强调细枝末节多关注基本概念、核心数学思想少，对学生数学素养的提高不利。学生学习方法单一，被动。学生自主归纳抽象结论少，不利于创新精神的培养。

例 “有理数的乘方”的课堂练习题 1.如果m2+n2=0,那么有理数m，n应满足的条件（） A 都是零 B 不都是零 C 至少有一个是零 D 互为相反数 2.如果m3+n3=0,那么有理数m，n应满足的条件是（） A都是零 B 不都是零 C 至少有一个是零 D 互为相反数 3.下列各组数中相等的有几组（）（1）-52与(-5)2（2）(-3)3与-33（3） 0100与0200 （4）-(-0.3)5与0.35（5） (-1)3与-(-1)2 A 5组 B 4组 C 3组 D 2组 4. m为任意有理数时，下列说法正确的是（） A (m+1)2的值总是正的 B m2+1的值总是正的 C -(m+1)2的值总是负的 D 1-m2的值比1小

教师层面的问题 对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织方式把握不准；对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所反映的思想方法的理解水平不高；只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中无数；对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把问题归咎于教学系统的复杂性；采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的新方法。

同位角、内错角、同旁内角 （一）知识与技能目标： 1．理解同位角、内错角、同旁内角的概念； 2．能在基本的图形中识别同位角、内错角、同旁内角；（二）过程与方法目标： 1．经历由已知知识，发展推广到新知识的过程； 2．从现实生活中抽象出数学问题并进行探索归纳过程； 3．体会分类分步、化归等数学思维方法；（三）情感与发展目标： 1．从实际情景引入新课，培养学生学习数学的兴趣； 2．从两直线相交到两直线被第三条所截的变化过程，感受数学的发展与变化关系； 3．培养学生独立思考、合作学习等能力。

“函数”的教学目标 • 知识技能：（1）经过回顾思考认识变量中的自变量与函数；（2）进一步理解掌握确定函数关系式；（3）会确定自变量取值范围． • 数学思想：对应思想。 • 情感态度：通过学习函数概念，提高学生的分析、综合能力，渗透由特殊到一般、由具体到抽象的思考方法，向学生渗透数形结合的思想，感受现实生活中函数的普遍性，体会事物之间的相互联系与制约．

共性 • 好的方面：已经注意了反映内容特点，关注到显性目标与隐性目标的不同。 • 需要改进的：贴标签；不具体；对教学的定向作用不充分；表述混乱；…… • 特别是：混淆了课程目标与课堂教学目标的关系。

“三维目标”是课程目标，不是课堂教学目标！“三维目标”是课程目标，不是课堂教学目标！ • “三维目标”有内在统一性，都指向人的发展。 • 交融互进：“知识和技能”只有在学生积极反思、大胆批判和实践运用中，才能实现知识的意义建构；“情感、态度和价值观”只有伴随着学生对学科知识技能的反思、批判与运用，才能得到提升；“过程和方法”，只有学生以积极的情感、态度为动力，以知识和技能目标为适用对象，才能体现它的存在价值。

正确理解内容基础上制定目标 “三线八角”的内容理解 • “两条直线”被“第三条直线所截”，得到八个角——图形的结构。 • 对顶角、邻补角、内错角、同位角、同旁内角，都是关于一对角的位置关系； • 核心：根据图形结构特征进行分类——正确识别的前提。

“三线八角”的教学目标 • 能以“结构特征”为依据对角的位置关系进行分类，从中体会分类思想。 • 能正确地分析图形的结构特征，从中找到“两条直线”和“第三条直线”，并识别出同位角、内错角、同旁内角。 • 在“三线八角”概念的引入过程中，体验研究几何图形的基本思路，如：两条直线→三条直线，共顶点的角→不共顶点的角，等。

概念课 概念是反映对象本质属性的思维形式，也是简单命题的基本要素，具有抽象性、概括性的特征习惯做法（走过场） • 快速给出定义 • 提出 “准确理解”定义的注意点 • 例题示范（巩固、应用） • 练习巩固——课堂、课后 • 纠正错误 “纠错教学法”

概念教学是数学教学育人功能的很好载体 概念教学的核心——概括（同类事物的共同本质特征）概括是形成和掌握概念的前提；迁移的实质就是概括；概括是一切思维品质的基础；概括能力是思维能力的基础。 “举三反一”与“举一反三” 举三反一——分化——用典型、丰富的具体事例，分析、综合、比较而概括出共同本质属性；举一反三——类化——把共同本质属性推广到同类事物中；对具体例证进行分化、类化是概念教学的重要步骤，教会学生自己分析材料、比较属性是教学的重要任务；发现关系的能力是很重要的。

概念教学的基本环节 概念的引入——通过典型丰富实例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；概念的形成——对典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括共同本质特征得到本质属性；概念的明确与表示——下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；概念的辨析——以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；概念的巩固应用——用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；概念的“精致”——纳入概念系统，建立与相关概念的联系。

例反比例函数概念的教学 • 两个维度：函数关系、反比例关系

让学生概括共同本质特征（函数关系，反比例关系）；让学生概括共同本质特征（函数关系，反比例关系）；下定义——给出反比例函数的文字和符号描述；辨析：从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的使用，如让学生思考函数y=1/x2是不是反比例函数；（下页）例题——用概念作判断的“操作步骤”，强调“自变量x与相应的函数值y是否成反比例关系”，可以用反例让学生分析，使学生进一步明确“求反比例函数”的含义；通过与一般函数概念、正比例函数概念等比较，进一步明确反比例函数反映了“一类事物”的变化规律，使学生逐步学会用反比例函数刻画事物的变化规律。

概念辨析 • 成反比例的量和关系：xy=k（定值），这里x和y都是可以变化的； • 反比例函数：体现的“变化规律”是“变量y随变量x的变化而变化，且它们的积xy保持不变”。 • 关键词：反比例；函数。 • y=1/x2 ，y是x2的反比例函数，对吗？ • 注意：自变量是x而不是x2；“反比例函数”是“自变量与对应的函数值成反比例关系”。

锐角三角函数的定义过程 • 以“比萨斜塔纠偏问题”引入，以“对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系，它的边角之间有什么关系呢？”提出问题，然后研究锐角的正弦，再给出锐角的余弦、正切。

锐角的正弦的定义 • 先利用“直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半”，得到30°角所对的边与斜边的比值；再讨论45°、 60°角所对的边与斜边的比值；然后讨论一般情况：相似直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比，随着这个锐角的变化而变化，随着它的确定而唯一确定，把Rt△ABC中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。

锐角三角函数概念的展开 • 课题的引入从实际需要看（比萨斜塔纠偏问题）；从数学内部看（以往讨论了直角三角形边与边的关系、角与角的关系，边与角有没有确定的关系？）。 • 概念属性的归纳例证1 从最熟悉的开始，30°角所对的边与斜边的比值是1/2 。 • 思考：由这个结论能解决什么问题？——当∠A=30°时，已知斜边就可求出∠A的对边，反之也然。

例证2 等腰直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比是多少？由此能解决什么问题？ • 归纳：任意给定锐角A，∠A的对边与斜边的比值是否为一个确定的值？ • 概念的明确与表示下定义，用符号表示。

定义的辨析（1）∠A为Rt△ABC的锐角， △ABC的大小可以变化，但∠A的对边与斜边的比值不变，即对于每一个锐角A都有唯一确定的比值与之对应，这个比值叫做∠A的正弦；（2）符号sinA的理解——一个由A唯一确定的数，例如sin30°=1/2 ；等。 • 概念的巩固应用已知直角三角形的边求正弦值等。 • 概念的精致解直角三角形。

案例：锐角三角函数的概念(必要、合理、思想性) 数学的发展来源于实际需要或数学内部的需要．为了体现学习锐角三角函数是“必要的” 和“合理的”，注意从实际问题或数学问题出发，通过创设适当情境加以引入． • 实际问题+数学内部需要，引出进一步研究直角三角形中边角之间的关系问题； • 从什么角度研究直角三角形中边角之间的关系，以及建立边与角之间的何种关系，是引入锐角三角函数时的首要问题，也是关键环节．为此，教科书设置了修建扬水站时需要准备多长水管的实际问题，在解决这个实际问题的过程中，需要用到结论“在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半”，其等价形式为“在直角三角形中，角所对的边与斜边的比总是常数”，后者反映了直角三角形中锐角和该角的对边与斜边的比之间的对应关系；由此获得启示，建立直角三角形中边角之间的关系，可以通过研究锐角和它的对边与斜边的比之间的关系进行，从而引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式．

主要教学目标是使学生探究并理解锐角三角函数的概念，经历实际问题引入——研究特殊直角三角形——研究一般直角三角形——给出锐角正弦概念的定义过程，探究直角三角形中锐角的对边与斜边的比值的不变性．这样的探究过程可以帮助学生理解锐角三角函数的内涵：锐角三角函数建立了直角三角形中边与角之间的关系，具体地，在直角三角形中，对于一个确定的锐角，它的正弦、余弦、正切分别表示这个锐角的对边与斜边之比、邻边与斜边之比、对边与邻边之比，它们分别都是确定的值．主要教学目标是使学生探究并理解锐角三角函数的概念，经历实际问题引入——研究特殊直角三角形——研究一般直角三角形——给出锐角正弦概念的定义过程，探究直角三角形中锐角的对边与斜边的比值的不变性．这样的探究过程可以帮助学生理解锐角三角函数的内涵：锐角三角函数建立了直角三角形中边与角之间的关系，具体地，在直角三角形中，对于一个确定的锐角，它的正弦、余弦、正切分别表示这个锐角的对边与斜边之比、邻边与斜边之比、对边与邻边之比，它们分别都是确定的值． • 通过从实际问题或数学问题出发，并运用数学的思维方式进行思考，引入锐角三角函数，使学生从中感悟研究数学、学习数学的重要方法，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，也积累了数学活动经验．

什么是数学思想方法？ • 数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概念、命题、规律方法等的认识过程中提炼概括的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是数学活动的指导思想。数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。二者有很强的联系性。通常，在强调数学活动的指导思想时称数学思想，在强调具体操作过程时称数学方法。

数学思想方法的层次性 （1）解题术——与某些特殊问题联系在一起的方法，在特定环境中发挥作用，具有较固定的操作程序。求差法（2）解题通法——解决一类问题时可以采用的共同方法，操作程序不是很具体，但适用范围比较广泛。换元法配方法数学归纳法（3）数学思想——对数学及其对象，对数学的概念、命题、法则、原理以及数学方法的本质性认识，程序性弱，功能性强。分类思想化归思想函数思想数形结合极限思想统计思想（4）数学观念——数学思想方法的最高境界，认识客观世界的哲学思想。例：二元一次方程组解法中的数学思想方法化归→消元→代入（加减）→恒等变换（整体代换）

新课标中的“基本思想” 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。抽象：把与数学有关的知识引入数学内部；推理：促进数学内部的发展；模型：沟通数学与外部世界的桥梁。例：一元二次方程中的基本思想（化归：降次）

数学思想方法教学的层次性 渗透。在具体的数学知识的教学中，融进某些抽象的数学思想方法，使学生对这些思想方法有一些初步的感觉或直觉。例如，集合与对应、公理化与结构化、极限、算法与程序化的思想方法等。介绍。把某些数学思想方法在适当时候引进到数学知识中，使学生对这些思想方法由初步的理解，有一定的理性认识。例如，符号与变元表示、模型化、数形结合、函数与方程、概率统计、分类、化归的思想方法等。突出。在介绍的基础上经常性地予以强调，使学生能加以运用。初中数学教学中要突出的有数形结合、函数与方程、化归的思想方法等。

加强数学思想方法的教学 数学思想方法具有过程性的特点，数学概念和原理的形成过程是进行数学思想方法教学的载体；数学思想方法还具有活动性的特点，学生头脑中的数学思想方法也是在数学学习活动中逐步形成的。这就要求我们精心设计教学过程，从问题的提出、情景的创设，到教学方法的选择，整个教学过程都要精心设计安排，有意识有目的地进行数学思想方法的教学。

1．引入过程重视“先行组织者”的使用，加强研究方法的指导。1．引入过程重视“先行组织者”的使用，加强研究方法的指导。 • 例：反比例函数的图象与性质 • 通常的做法：回顾正比例函数的图象和性质，并列出表格，列出解析式、形状、位置、图象趋势、增减性等，接下来类比这些内容研究反比例函数的图象和性质。 • 先行组织者策略：要研究反比例函数的图象与性质，首先思考我们研究过哪些函数的图象和性质？是怎么研究的？要研究那些问题？研究的方法是什么？

2．设计好的问题，让学生经历思想方法的形成过程。 • 例：二元一次方程组的解法 • 新问题是什么？学习过什么老问题？将新问题转化为老问题就是化未知为已知、化复杂为简单、化陌生为熟悉、化困难为容易的化归思想。 • 怎样将新问题转化为老问题？这种“将未知数的个数由多化少、逐一解决”的思想就是消元思想。 • 怎样消元？也就产生了代入与加减两种消元的方法。 • 如何“代入”与“加减”？需要具体的代数的恒等变换的方法。

3．发挥小结的作用，让学生学习的思想方法也纳入认知系统。 • 例：代入消元法的框图

三、理解数学，做好内容解析 理解数学就是要了解数学概念的背景，掌握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，把握概念的多元联系表示，挖掘数学知识所蕴含的科学方法、理性精神等价值观资源。理解教学内容，弄清“是什么” ；理解教学内容之间的联系，在概念体系中认识核心概念；理解教学内容所反映的思想方法。

例：概率教学中的一些错误理解 必然事件与概率为1等价，不可能事件与概率为0等价，随机事件的概率大于0而小于1 。随着试验次数的增加，频率就越来越接近于概率。

例：为什么说在有理数乘法法则的教材设计中，渗透了数系扩充的基本思想——原有数系的运算和运算律保持不变？例：为什么说在有理数乘法法则的教材设计中，渗透了数系扩充的基本思想——原有数系的运算和运算律保持不变？

函数概念的发展历史 函数的产生来自研究变量的需要。 17世纪，伽利略、笛卡尔等已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系。牛顿、莱布尼兹创立微积分时虽未给函数下明确的定义，但实际上已形成对变量之间的对应关系的关注。 18世纪，函数被认为是由变量x和常量构成的式子。约翰•贝努利：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。” 欧拉这个定义称为解析函数，并进一步把它按照含有的运算种类区分为代数函数和超越函数。例 “函数”概念的核心

19世纪，对函数的认识发展到强调对应关系。柯西：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”傅里叶发现函数也可以用曲线表示，也可以用式子表示，使对函数的认识跳出式子的限制。当集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦用“集合”之间的“对应”给出了近代函数定义，使得函数概念具有三个要素即对应关系、定义域及值域。19世纪，对函数的认识发展到强调对应关系。柯西：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”傅里叶发现函数也可以用曲线表示，也可以用式子表示，使对函数的认识跳出式子的限制。当集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦用“集合”之间的“对应”给出了近代函数定义，使得函数概念具有三个要素即对应关系、定义域及值域。 20世纪后，现代函数概念──“集合之间的映射”方式定义形成，即“若存在集合M到N的一个映射f，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)，其中x 是M的任一元素，y是x在N中的像。”

初中阶段引入的函数概念，是从运动变化的观点出发，强调的是对于函数概念的形式化的定义，用“变量”来描述函数；到高中之后，再进一步从集合、对应的观点，来刻画函数的概念．初中阶段引入的函数概念，是从运动变化的观点出发，强调的是对于函数概念的形式化的定义，用“变量”来描述函数；到高中之后，再进一步从集合、对应的观点，来刻画函数的概念．初中阶段的函数定义为：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则称x为自变量，y为x的函数．分析初中的定义中对函数概念内涵的文字描述，可以发现，它强调了近代函数定义中的“对应”，并且明确了是“单值对应”，这又是吸收了现代函数概念中对“映射”的要求，但是没有从“集合”角度描述函数，因而未明确涉及定义域及值域．

初中数学中函数概念的核心，是函数概念三要素中的对应关系，并且明确其为“单值对应”关系。这包括两个方面的含义： • 第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化； • 第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。 • 函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型。

“数轴”内容和内容解析 数轴是初中数学的核心概念，它是数形结合思想的产物，是把数和形统一起来的第一次尝试．数轴建立了直线上的点与实数的对应，是一维的坐标系．数轴使数的概念和基本运算可以与位置、方向、距离等统一起来，使数有了直观意义．这不仅有助于对数的概念的理解，而且还可以从中得到启发而提出新的问题（例如，相反数、绝对值、大小比较等）．用数轴上的点表示实数，就是要使任意一个实数能用唯一确定的点表示，同时，任意一个点只能表示一个实数（这样要求的意义需要学生逐渐体会）．在这样的要求下，明确规定原点、方向和单位长度“三要素”是必须而且自然的．这时，我们有——

科学设计 合理呈现 打造高效课堂