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第三章 矩陣

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第三章 矩陣 - PowerPoint PPT Presentation


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第三章 矩陣. ◎ 3- 4 平面的線性變換與二階方陣. 目錄. 3- 4 平面的線性變換與二階方陣 甲、伸縮變換 乙、旋轉變換 丙、鏡射變換 丁、推移變換 戊、線性變換與面積. 請看課本 p.167. 因為對於坐標平面上的每一點 P ( x , y ), 恰有一位置向量 ( x , y ) 與之對應 , 所以我們也可將行矩陣 看成點 P ( x , y ) 或向量 ( x , y ) 的另一種表示法 . 例如:點 P (2, 1) 或向量 (2, 1) 可以行矩陣表示為. 例 1. 下一主題. 隨堂 1.

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Presentation Transcript
slide1

第三章 矩陣

◎3-4平面的線性變換與二階方陣

slide2
目錄
  • 3-4平面的線性變換與二階方陣
    • 甲、伸縮變換
    • 乙、旋轉變換
    • 丙、鏡射變換
    • 丁、推移變換
    • 戊、線性變換與面積
slide3

請看課本p.167

  • 因為對於坐標平面上的每一點P(x, y), 恰有一位置向量(x , y)與之對應,
  • 所以我們也可將行矩陣 看成點P(x, y)或向量
  • (x, y) 的另一種表示法.
  • 例如:點P(2, 1)或向量(2, 1)
  • 可以行矩陣表示為

例1

下一主題

隨堂1

例2

隨堂2

slide4

請看課本p.167

  • 設 為一個二階方陣, 若將平面上點
  • 的坐標以行矩陣表示, 則方陣A決定一個由坐標平面對應到坐標平面的函數, 定義如下:

例1

下一主題

隨堂1

例2

隨堂2

slide5

請看課本p.167

  • 此式將點P(x , y)變換至點Q(x' , y') , 我們將它稱為二階方陣所對應的坐標平面上的線性變換, 並以A代表此線性變換, 而點Q(x' , y')稱為點P(x , y)經過A之變換後的像.

例1

下一主題

隨堂1

例2

隨堂2

slide6
例題1

請看課本p.167

 試求點P(1, 2)經過A之變換後的像.試求一點P(x, y), 使得它經過A之變換後的像為Q(-4, 3).

  • 解:
    • 所以點P(1, 2)經過A之變換後的像為Q(17, 12).

例1

返回

下一主題

隨堂1

例2

隨堂2

slide7
例題1

請看課本p.167

 試求點P(1, 2)經過A之變換後的像.試求一點P(x, y), 使得它經過A之變換後的像為Q(-4, 3).

  • 解:
      • 因此得知點P(– 41, 17)經過A之變換後的像 為Q(– 4, 3).

例1

返回

下一主題

隨堂1

例2

隨堂2

slide8
隨堂練習1

請看課本p.168

 試求點P(2, –1)經過A之變換後的像.試求一點P(x, y), 使得它經過A之變換後的像為Q(7, 8).

  • 解:
    • 過
    • 所以點P(1, 2)經過A之變換後的像為Q(5, 8).

例1

返回

下一主題

隨堂1

例2

隨堂2

slide9
隨堂練習1

請看課本p.168

 試求點P(2, –1)經過A之變換後的像.試求一點P(x, y), 使得它經過A之變換後的像為Q(7, 8).

  • 解:
    • 過
    • 所以
    • 因此得知點 經過A之變換後的像為

例1

返回

下一主題

隨堂1

例2

隨堂2

slide10
例題2

請看課本p.168

設平面上的一變換A, 將P(1, 1), Q(–1, –2)分別變換到P'(7, 9), Q'(–6, –17), 試求矩陣A.

  • 解:
    • 由已知得 , 且
    • 此兩式可合併寫成
    • 由矩陣的運算知

例1

返回

下一主題

隨堂1

例2

隨堂2

slide11
隨堂練習2

請看課本p.168

設平面上的一變換A, 將 , 分別變換到 , , 試求矩陣 .

  • 解:
    • 由已知得 , 且
    • 此兩式可合併寫成
    • 由矩陣的運算知

例1

返回

下一主題

隨堂1

例2

隨堂2

slide12
隨堂練習2

請看課本p.168

設平面上的一變換A, 將 , 分別變換到 , , 試求矩陣 .

  • 解:

例1

返回

下一主題

隨堂1

例2

隨堂2

slide13

請看課本p.168

  • 現在我們先來看看幾個簡單的二階方陣 所對應的坐標平面上的變換:
  • 若 , 則
  • 此變換A= 把每一點P(x, y)都變成原點O(0, 0).
  • 若 , 則 A
  • 此變換A= 把每一點P(x, y)變成自身點P(x, y).

前一主題

下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide14

請看課本p.169

  • 若A=
  • 此變換A= 把每一點
  • P(x, y)變成點Q(x, 0), 也就是把
  • 每一點正射影到x軸. 同理變換
  • B= 把每一點正射影到y軸.
  • 接著我們繼續介紹平面上常見的四種變換:伸縮、旋轉、鏡射與推移.

圖3-1

前一主題

下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide15
甲、伸縮變換

請看課本p.169

  • 若平面上的一變換是將每一點P(x , y)對應到
  • Q(rx , y) , 即將x坐標乘以r倍(r>0), 而y坐標不變, 則稱此變換為水平方向的伸縮變換.
  • 若以矩陣來表示其對應關係可寫成
  • 所以矩陣   表示水平方向的伸縮變換.
  • 當r>1時, 此變換可視為水平方向伸張為r倍.
  • 當0<r<1時, 此變換可視為水平方向壓縮為r倍.
  • 例如:

前一主題

下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide16
甲、伸縮變換

請看課本p.169

前一主題

下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide17
甲、伸縮變換

請看課本p.170

  • 同理, 當s>0時, 矩陣A=
  • 表示鉛直方向的伸縮變換. 例如:
  • A= 將點P(x, y)變換為
  • 即將圖形上每一點到x軸
  • 的距離在鉛直方向壓縮為 倍,
  • 變換後圖形為藍色曲線,如圖3-2所示.

圖3-2

前一主題

下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide18
甲、伸縮變換

請看課本p.170

  • 合併上述兩種情形, 當r>0且s>0時, 將平面上
  • 每一點P(x, y)對應到點Q(rx, sy), 故

矩陣 表示將圖形上每一點沿水平方向伸縮

為r倍, 且鉛直方向伸縮為s倍的變換.

前一主題

下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide19
例題3

請看課本p.170

設 , P(2, 1), Q(3, 3),

試分別求P及Q兩點經伸縮變換A所對應的點P'及Q'

之坐標.試證明 經伸縮變換A之對應圖形為 .

  • 解:
    • 設P'及Q'兩點之坐標分別為(x1, y1)及(x2, y2),
    •  則

前一主題

返回

下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide20
例題3

請看課本p.170

設 , P(2, 1), Q(3, 3),

試分別求P及Q兩點經伸縮變換A所對應的點P'及Q'

之坐標.

  • 解:
    • 我們可將上兩式合併如下形式:
    • 所以P'及Q'兩點之坐標分別為(6, 2)及(9, 6).

前一主題

返回

下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide21
例題3

請看課本p.171

設 , P(2, 1), Q(3, 3),

試證明 經伸縮變換A之對應圖形為 .

  • 解:
    • 由知P'(6, 2), Q'(9, 6),
    • 所以得
    • 因為

前一主題

返回

下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide22
例題3

請看課本p.171

設 , P(2, 1), Q(3, 3),

試證明 經伸縮變換A之對應圖形為 .

  • 解:
    • 即 上的點(2+t, 1+2t)
    • 經A的伸縮變換之像為點(6+3t, 2+4t),
    • 所以 經伸縮變換A
    • 之對應圖形的參數式為
    • 故知 在A的伸縮變換下的對應圖形為 .

前一主題

返回

下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide23
隨堂練習3

請看課本p.171

試分別求P及Q兩點經伸縮變換A所對應的點 及

之坐標.

試證明 經伸縮變換A之對應圖形為 .

前一主題

返回

下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide24
隨堂練習3

請看課本p.171

試分別求P及Q兩點經伸縮變換A所對應的點 及

之坐標.

  • 解:
    • 設 及 兩點之坐標分別為
    •  則

前一主題

返回

下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide25
隨堂練習3

請看課本p.171

試分別求P及Q兩點經伸縮變換A所對應的點 及

之坐標.

  • 解:
    • 我們可將上兩式合併如下形式:
    •  所以 及 兩點之坐標分別為 及

前一主題

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下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide26
隨堂練習3

請看課本p.171

試分別求P及Q兩點經伸縮變換A所對應的點 及

之坐標.

  • 解:

前一主題

返回

下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide27
隨堂練習3

請看課本p.171

試證明 經伸縮變換A之對應圖形為 .

  • 解:
    • 由知 , 所以得
    •  因為

前一主題

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下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide28
隨堂練習3

請看課本p.171

試證明 經伸縮變換A之對應圖形為 .

  • 解:
    • 又
    • 即 上的點(6 + 3t, 2 + t)經A的伸縮變換之
    • 像為點
    • 所以 經伸縮變換A之對應圖形的參數式 為

前一主題

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下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide29
隨堂練習3

請看課本p.171

試證明 經伸縮變換A之對應圖形為 .

  • 解:
    • 故知 在A的伸縮變換下的對應圖形為

前一主題

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下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide30

請看課本p.171

  • 註:事實上, 平面上的伸縮變換將線段 變換為  線段 , 其中點P'及Q'分別為P及Q兩點經  此伸縮變換的像.

前一主題

下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide31
例題4

請看課本p.172

設坐標平面上一正方形OPQR, 其中O(0,0), P(2, 0),

Q(2, 2), R(0, 2),試作此正方形OPQR對A= 作伸縮變換所得 之新圖形. 試求中之新圖形的面積並指出與正方形OPQR面 積之關係.

  • 解:
    • 設P'(x1, y1), Q'(x2, y2), R'(x3, y3)分別為P,Q ,R 經伸縮變換A所對應的點,

前一主題

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下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide32
例題4

請看課本p.172

試作此正方形OPQR對A= 作伸縮變換所得 之新圖形.

  • 解:
    • 則

前一主題

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下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide33
例題4

請看課本p.172

試作此正方形OPQR對A= 作伸縮變換所得 之新圖形.

  • 解:
    • 所以P', Q', R'三點之坐標分別為
    • (4, 0), (4, 6)及 (0, 6),
    • 又原點O經伸縮變換A所對應的點仍為原點O,
    • 且平面上的伸縮變換將線段 變換為線段
    • 其中點P'及Q'分別為P及Q兩點經此伸縮變換的 像,

前一主題

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下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide34
例題4

請看課本p.172

試作此正方形OPQR對A= 作伸縮變換所得 之新圖形.

  • 解:
    • 故知正方形OPQR經伸縮變換A 所得之新圖形 為四邊形OP'Q'R' (如圖所示為 一矩形).

前一主題

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下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide35
例題4

請看課本p.172

試求中之新圖形的面積並指出與正方形OPQR面 積之關係.

  • 解:
    • 由知OP'Q'R'為一矩形, 其長為6, 寬為4, 所以新圖形的面積為6×4=24,
    • 又正方形OPQR之邊長為2, 所以其面積為 22=4,
    • 所以正方形OPQR經伸縮變換A所得之新圖形 (矩形)OP'Q'R'的面積為原正方形OPQR之面 積的6倍,
    • 即水平方向伸縮之倍數2與鉛直方向伸縮之 倍數3的乘積.

前一主題

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下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide36
隨堂練習4

請看課本p.172

設坐標平面上一矩形OPQR, 其中O(0, 0), ,

Q(3, 2), ,

試作此矩形OPQR對 作伸縮變換所得之

新圖形.

試求中之新圖形的面積並指出與矩形OPQR面積

之關係.

前一主題

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下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide37
隨堂練習4

請看課本p.172

試作此矩形OPQR對 作伸縮變換所得之

新圖形.

  • 解:
    • 設 分別為P, Q, R
    • 經伸縮變換A所對應的點,

前一主題

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下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide38
隨堂練習4

請看課本p.172

試作此矩形OPQR對 作伸縮變換所得之

新圖形.

  • 解:
    • 所以 , , 三點之坐標分別為(1, 0), (1, 1) 及(0, 1),

前一主題

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下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide39
隨堂練習4

請看課本p.172

試作此矩形OPQR對 作伸縮變換所得之

新圖形.

  • 解:
    • 又原點O經伸縮變換A所對應的點仍為原點O,且平面上的伸縮變換將線段 變換為線段
    • 其中點 及 分別為P及Q兩點經此伸縮變換 的像,

前一主題

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下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide40
隨堂練習4

請看課本p.172

試作此矩形OPQR對 作伸縮變換所得之

新圖形.

  • 解:
    • 故知矩形 經伸縮變換A所得之 新圖形為四邊形 (如圖所示).

前一主題

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下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide41
隨堂練習4

請看課本p.172

試求中之新圖形的面積並指出與矩形OPQR面積

之關係.

  • 解:
    • 由知 為一正方形, 邊長為1, 所以新 圖形的面積為1 × 1 = 1,
    • 又矩形 的長為3, 寬為2,
    • 所以其面積為3 × 2 = 6,

前一主題

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下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide42
隨堂練習4

請看課本p.172

試求中之新圖形的面積並指出與矩形OPQR面積

之關係.

  • 解:

所以矩形OPQR經伸縮變換A所得之新圖形正 方形 的面積為原矩形OPQR之面積的 倍,

    • 即水平方向伸縮之倍數 與鉛直方向伸縮之 倍數 的乘積.

前一主題

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下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide43

請看課本p.172

  • 註:事實上, 若平行四邊形經伸縮變換
  • 所得之圖形仍為一平行四邊形, 且其面積為原 平行四邊形面積的 倍.(請參考本節重點戊 (線性變換與面積)之說明)

前一主題

下一主題

例3

隨堂3

隨堂4

例4

slide44
乙、旋轉變換

請看課本p.173

  • 底下我們介紹以原點為中心旋轉θ角的變換(θ大於0時, 表逆時鐘方向旋轉, θ小於0時表順時鐘方向旋轉).設以原點O為中心, 將點P(a, b)繞原點O旋轉θ角, 所得之點為P'(a', b'),
  • 當P(a, b)不為原點O時,
  • 令以 為終邊的標準位置角為 ,
  • 如圖3-3所示.

圖3-3

前一主題

下一主題

例5

隨堂5

slide45
乙、旋轉變換

請看課本p.173

  • 由旋轉的意義知,
  • 且以 為終邊的標準位置角為
  • 所以
  • 如圖3-4所示.

圖3-4

前一主題

下一主題

例5

隨堂5

slide46
乙、旋轉變換

請看課本p.173

  • 當P(a, b)為原點O時(即a=b=0時),
  • 由旋轉的意義知P'(a', b')亦為原點, 所以a'=b'=0,
  • 亦可得
  • 由知每一點P(a, b)繞原點旋轉θ角所得之點 為P'(acosθ-bsinθ, asinθ+bcosθ),
  • 若以矩陣來表示其對應關係可寫成

前一主題

下一主題

例5

隨堂5

slide47
乙、旋轉變換

請看課本p.173

  • 矩陣 表示以原點O為中心, 繞原點
  • 旋轉θ角的旋轉變換.

前一主題

下一主題

例5

隨堂5

slide48
例題5

請看課本p.174

設坐標平面上一正方形OPQR, 其中O(0,0), P(2, 0),

Q(2, 2), R(0, 2),試求對應於繞原點旋轉30°角的旋轉變換之矩陣A.試作此正方形OPQR經矩陣A作旋轉變換所得之新圖形.

  • 解:
    • 旋轉30°所對應的矩陣為

前一主題

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下一主題

例5

隨堂5

slide49
例題5

請看課本p.174

試作此正方形OPQR經矩陣A作旋轉變換所得之新圖形.

  • 解:
    • 設P'(x1, y1), Q'(x2, y2), R'(x3, y3)分別為P, Q, R 經旋轉變換A所對應的點, 則

前一主題

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下一主題

例5

隨堂5

slide50
例題5

請看課本p.174

試作此正方形OPQR經矩陣A作旋轉變換所得之新圖形.

  • 解:
    • 所以P', Q', R'三點之坐標分別為
    • 而原點O經旋轉變換A所對應的點仍為原點O.
    • 另外線段 上的點(t, 0), 其中 ,
    • 經旋轉變換A所對應的點為
    • 所以線段 經旋轉變換A所得之圖形為線段

前一主題

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下一主題

例5

隨堂5

slide51
例題5

請看課本p.174

試作此正方形OPQR經矩陣A作旋轉變換所得之新圖形.

  • 解:
    • 同理可知線段 , 與 經旋轉變換A 所對應的圖形分別為 , 及 ,
    • 故知正方形OPQR經旋轉變換A所得之新圖形 為四邊形OP'Q'R' (如圖所示仍為一正方形).

前一主題

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下一主題

例5

隨堂5

slide52
隨堂練習5

請看課本p.175

設坐標平面上一正方形OPQR, 其中O(0, 0),

試求對應於繞原點旋轉90°角的旋轉變換之矩陣A.

試作此正方形OPQR經矩陣A作旋轉變換所得之新圖形.

  • 解:
    • 旋轉90°所對應的矩陣為

前一主題

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下一主題

例5

隨堂5

slide53
隨堂練習5

請看課本p.175

試作此正方形OPQR經矩陣A作旋轉變換所得之新圖形.

  • 解:
    • 設 , , 分別為 經旋轉變換A所對應的點, 則
    • 所以 , , 三點之坐標分別為(0, 2), (– 2, 2) 及(– 2, 0), 而原點O經旋轉變換 所對應的點 仍為原點O.

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下一主題

例5

隨堂5

slide54
隨堂練習5

請看課本p.175

試作此正方形OPQR經矩陣A作旋轉變換所得之新圖形.

  • 解:
    • 另外線段 上的點 , 其中 , 經旋轉變換A所對應的點為 ,
    • 所以線段 經旋轉變換A所得之圖形為線 段 , 同理可知線段 , 與 經旋 轉變換A所對應的圖形分別為 , 及
    • 故知正方形 經旋轉變換所得之新圖 形為四邊形 (如圖所示仍為一正方 形).

前一主題

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下一主題

例5

隨堂5

slide55
隨堂練習5

請看課本p.175

試作此正方形OPQR經矩陣A作旋轉變換所得之新圖形.

  • 解:

前一主題

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下一主題

例5

隨堂5

slide56
丙、鏡射變換

請看課本p.175

  • 在第三冊中, 我們曾學過對稱的意義及點關於直線(對稱軸)的對稱點的求法, 設直線L為一給定之過原點的直線, 若平面上的一變換是將每一點對應到其關於直線L的對稱點時, 則稱此變換為以直線L為對稱軸的鏡射變換. 底下先看幾個特殊直線為對稱軸的情形, 再討論一般情形.

前一主題

下一主題

例6

隨堂6

slide57
丙、鏡射變換

請看課本p.175

  • 因為每一點P(x, y)
  • 關於x軸的對稱點為Q(x, –y),
  • 如圖3-5所示.
  • 若以矩陣來表示其對應
  • 關係可寫成
  • 所以矩陣 表示以x軸為對稱軸的鏡射變
  • 換.

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例6

隨堂6

slide58
丙、鏡射變換

請看課本p.175

  • 因為每一點P(x, y)
  • 關於y軸的對稱點為
  • Q(–x, y), 如圖3-6所示.
  • 若以矩陣來表示其對應
  • 關係可寫成
  • 所以矩陣 表示以y軸為對稱軸的鏡射變換.

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例6

隨堂6

slide59
因為每一點P(x, y)關於直線
  • L:x=y的對稱點為Q(y, x),
  • 如圖3-7所示.
  • 若以矩陣來表示其對應關係
  • 可寫成
  • 所以矩陣 表示以直線L:x=y為對稱軸
  • 的鏡射變換.

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例6

隨堂6

slide60
丙、鏡射變換

請看課本p.176

  • 一般而言, L過原點, 且傾斜角為 之直線,
  • 則L的方程式為y=(tanθ). 設P(a, b)關於L的對稱點為P(a', b'),
  • 當P(a, b)不為原點O時,令以 為終邊的標準位置 角為 , ,
  • 則 由對稱的意義知,
  • 且以 為終邊的標準位置角為 θ+(θ– )=2θ– , 所以

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例6

隨堂6

slide61
丙、鏡射變換

請看課本p.176

  • 如圖3-8所示.

圖3-8

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例6

隨堂6

slide62
丙、鏡射變換

請看課本p.176

  • 當P(a, b)為原點O時(即a=b=0時),
  • 由對稱的意義知P' (a', b')亦為原點, 所以a'=b'=0,
  • 亦可得
  • 由知每一點P(a, b)關於L的對稱點為
  • P'(acos2θ+bsin2θ, asin2θ–bcos2θ),
  • 若以矩陣來表示其對應關係可寫

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例6

隨堂6

slide63
丙、鏡射變換

請看課本p.176

矩陣 表示以傾斜角為之直線L為對

稱軸的鏡射變換.

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例6

隨堂6

slide64
例題6

請看課本p.176

設矩陣A表示以直線L:x+y=0為對稱軸的鏡射變換,

試求A.

設矩陣A表示以直線L:y=2x為對稱軸的鏡射變換,

試求A.

  • 解:
    • 因為直線L:x+y=0的傾斜角θ=135°,
    • 所以2θ=270°,
    • 所以

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例6

隨堂6

slide65
例題6

請看課本p.177

設矩陣A表示以直線L:x+y=0為對稱軸的鏡射變換,

試求A.

設矩陣A表示以直線L:y=2x為對稱軸的鏡射變換,

試求A.

  • 解:
      • 設直線L:y=2x的傾斜角為θ, 因為直線
      • L:y=2x的斜率為2,
      • 所以 且 為銳角, 於是得

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例6

隨堂6

slide66
例題6

請看課本p.177

設矩陣A表示以直線L:x+y=0為對稱軸的鏡射變換,

試求A.

設矩陣A表示以直線L:y=2x為對稱軸的鏡射變換,

試求A.

  • 解:
    •  由二倍角公式得

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例6

隨堂6

slide67
例題6

請看課本p.177

設矩陣A表示以直線L:x+y=0為對稱軸的鏡射變換,

試求A.

設矩陣A表示以直線L:y=2x為對稱軸的鏡射變換,

試求A.

  • 解:
    • 所以

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例6

隨堂6

slide68
隨堂練習6

請看課本p.177

試設矩陣A表示以直線L: 為對稱軸的鏡射\

變換, 試求A.

設矩陣A表示以直線L: 為對稱軸的鏡射變換,

試求A.

  • 解:
    • 因為直線L: 的傾斜角θ為 所以,

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例6

隨堂6

slide69
隨堂練習6

請看課本p.177

試設矩陣A表示以直線L: 為對稱軸的鏡射\

變換, 試求A.

設矩陣A表示以直線L: 為對稱軸的鏡射變換,

試求A.

  • 解:
    • 設直線L: 的傾斜角為θ, 因為直線
    • L: 的斜率為 ,
    • 所以 且θ為銳角,於是得

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例6

隨堂6

slide70
隨堂練習6

請看課本p.177

試設矩陣A表示以直線L: 為對稱軸的鏡射\

變換, 試求A.

設矩陣A表示以直線L: 為對稱軸的鏡射變換,

試求A.

  • 解:
    • 由二倍角公式得

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例6

隨堂6

slide71
隨堂練習6

請看課本p.177

試設矩陣A表示以直線L: 為對稱軸的鏡射\

變換, 試求A.

設矩陣A表示以直線L: 為對稱軸的鏡射變換,

試求A.

  • 解:
    • 所以

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例6

隨堂6

slide72
丁、推移變換

請看課本p.177

  • 若平面上的一變換是將每一點P(x, y)對應到
  • Q(x, rx+y), 即x坐標不變, 而將y坐標變為x坐標乘以r倍與原y坐標之和, 則
  • 當rx>0, 則Q(x, rx+y)在點P(x, y)的上方rx單位處, 也就是此變換將點P(x, y)向上平移rx單位.
  • 當rx<0, 則Q(x, rx+y)在點P(x, y)的下方│rx│單 位處, 也就是此變換將點P(x, y)向下平移│rx│ 單位.

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例7

隨堂7

slide73
丁、推移變換

請看課本p.177

  • 故稱此變換為鉛直方向的推移變換.

圖3-9

圖3-10

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例7

隨堂7

slide74
丁、推移變換

請看課本p.178

  • 若以矩陣來表示其對應關係可寫成
  • 同理, 若A= , 則矩陣A所對應的變換將點
  • P(x, y)向左或向右方向平移│ry│單位, 故

矩陣 表示沿鉛直方向平移x坐標的r倍的推

移變換.

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例7

隨堂7

slide75
丁、推移變換

請看課本p.178

矩陣 表示沿水平方向平移y坐標的r倍的

變換, 稱為水平方向的推移變換.

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例7

隨堂7

slide76
例題7

請看課本p.178

設坐標平面上一正方形OPQR, 其中O(0,0), P(2, 0),

Q(2, 2), R(0, 2),試作此正方形OPQR對A= 作推移變換所得

之新圖形.試求中之新圖形的面積並指出與正方形OPQR面

積之關係.

  • 解:
    • 設P'(x1, y1), Q'(x2, y2), R'(x3, y3)分別為P,Q , R經推移變換A所對應的點, 則

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例7

隨堂7

slide77
例題7

請看課本p.178

試作此正方形OPQR對A= 作推移變換所得

之新圖形.

  • 解:
    • 所以P', Q', R'三點之坐標分別為(2, 4), (2, 6) 及 (0, 2), 而原點O經推移變換A所對應的點仍 為原點O.

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例7

隨堂7

slide78
例題7

請看課本p.178

試作此正方形OPQR對A= 作推移變換所得

之新圖形.

  • 解:
    • 另外線段 上的點(t, 0), 其中 ,經推移變換A所對應的點為(t, 2t), 所以線段 經推移變換A所對應之圖形為線段 ,
    • 同理可知線段 , 與 經推移變換A所對 應的圖形分別為 , 及 ,
    • 故知正方形OPQR經推移變換A所得之新圖形 為四邊形OP'Q'R'(如圖所示為一平行四邊形).

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例7

隨堂7

slide79
例題7

請看課本p.178

試作此正方形OPQR對A= 作推移變換所得

之新圖形.

  • 解:

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例7

隨堂7

slide80
例題7

請看課本p.179

試求中之新圖形的面積並指出與正方形OPQR面

積之關係.

  • 解:
    • 由知OP'Q'R'為一平行四邊形, 其底 = 2, 高為2, 所以新圖形的面積為2×2=4,又正方形 OPQR之邊長為2, 所以其面積為22=4,
    • 所以正方形OPQR經推移變換A所得之新圖形 平行四邊形OP'Q'R'的面積與為原正方形 OPQR之面積相等.

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例7

隨堂7

slide81

設坐標平面上一正方形 , 其中,

試作此正方形對

A= 作推移變換所得之新圖形, 並求其面積.

隨堂練習7

請看課本p.179

  • 解:
    • (1) 設 (x1, y1), (x2, y2),(x3, y3),(x4, y4)分別 為P, Q, R, S經推移變換A所對應的點, 則

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例7

隨堂7

slide82

設坐標平面上一正方形 , 其中,

試作此正方形 對

A= 作推移變換所得之新圖形, 並求其面積.

隨堂練習7

請看課本p.179

  • 解:
    • 所以 , , , 四點之坐標分別為(4, 1), (2, 1),
    • (–4, –1), (–2, –1).
    • 另外線段 上的點 , 其中 ,
    • 經推移變換A所對應的點為 , 其中
    • 所以線段 經推移變換A所得之圖形為線段
    • 同理可知線段 , 與 經推移變換A所對應的

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例7

隨堂7

slide83

設坐標平面上一正方形 , 其中,

試作此正方形 對

A= 作推移變換所得之新圖形, 並求其面積.

隨堂練習7

請看課本p.179

  • 解:
    • 圖形分別為 , 及 ,
    • 故知正方形 經推移變換所得之新圖形為 四邊形 (如圖所示為一平行四邊形).

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例7

隨堂7

slide84

設坐標平面上一正方形 , 其中,

試作此正方形 對

A= 作推移變換所得之新圖形, 並求其面積.

隨堂練習7

請看課本p.179

  • 解:
    • (2)正方形 經推移變換A = 所得之 新圖形為一平行四邊形
    • 其底 , 高為2, 所以面積為

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例7

隨堂7

slide85

請看課本p.179

  • 綜合前述, 將常見的四種變換(伸縮、旋轉、鏡射與推移)所對應的矩陣表示整理如下:

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例7

隨堂7

slide86

請看課本p.179

  • 註: 我們知道從實數對應到實數的一次函數 f(x)=ax+b, ( ),
  • 當b=0時(即函數f(x)=ax), 具有下列特殊性質:
  • (1)f(x1+x2)=f(x1)+f(x2), 其中 .
  • (2) , 其中 .
  • 一般我們將具有上述這兩個性質的函數, 稱為 線性函數.

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例7

隨堂7

slide87

請看課本p.180

  • 對於本節所介紹的二階方陣 所決定的變換
  • T:R2→R2, (x', y')=T(x, y),
  • 其中
  • 也皆具有類似上述之特殊性質(其證明請看附錄一),
  • T((x1, y1)+(x2, y2))=T(x1, y1)+T(x2, y2).
  • 故本節所介紹的二階方陣A所對應的變換都是線性變換

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例7

隨堂7

slide88
戊、線性變換與面積

請看課本p.180

  • 設T:R2→R2, (x', y')=T(x, y)為二階方陣所決定的變換, P'(x'1, y'1)及Q'(x'2, y'2)分別為P(x1, y1)及Q(x2, y2)經矩陣A變換的像, 則T(x1, y1)= (x', y'), T(x2, y2)= (x'2, y'2), 且T為一線性變換.
  • 由於

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例8

隨堂8

slide89
戊、線性變換與面積

請看課本p.180

  • 且對於任意實數t, ,
  • T(x1+(x2-x1)t, y1+(y2-y1)t)
  • =T(tx2+(1-t)x1, ty2+(1-t)y1)=T(t(x2, y2)+(1-t)(x1, y1))
  • =tT(x2, y2)+(1-t)T(x1, y1)=t(x'2, y'2)+ (1-t)(x'1, y'1)
  • =(x'1+(x'2-x'1)t, y'1+(y'2, y'1)t),
  • 所以 經變換A之對應圖形的參數式為
  • 故知 在A的變換下的對應圖形為

前一主題

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例8

隨堂8

slide90
戊、線性變換與面積

請看課本p.180

  • 設平行四邊形之頂點依逆時鐘方向依序為P(x1, y1), Q(x2, y2), R(x3, y3), S(x4, y4), 而其經矩陣A變換的像分別為P'(x'1, y'1), Q'(x'2, y'2), R' (x'3, y'3), S ' (x'4, y'4),
  • 則T(x1, y1)=(x'1, y'1), T(x2, y2)=(x'2, y'2), T(x3, y3)=(x'3, y'3),
  • T(x4, y4)=(x'4, y'4),
  • 由上述知平行四邊形OPQR經矩陣 變換
  • 所得之圖形為四邊形P'Q'R'S',
  • 因為四邊形OPQR為平行四邊形, 所以 ,

前一主題

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例8

隨堂8

slide91
戊、線性變換與面積

請看課本p.181

  • 即(x3-x4, y3-y4)=(x2-x1, y2-y1), 又
  • =( x'3-x'4, y'3, y'4)=( x'3, y'3)-( x'4, y'4)
  • =T(x3, y3)-T(x4, y4)= T((x3, y3)-(x4, y4))
  • =T((x3-x4, y3-y4))=T((x2-x1, y2-y1))
  • =T((x2, y2)- (x1, y1))=T(x2, y2)-T(x1, y1)
  • =(x'2, y'2)-(x'1, y'1)= (x'2-x'1, y'2-y'1)=
  • 所以四邊形P'Q'R'S'亦為平行四邊形, 故知

平行四邊形經矩陣 變換所得之圖形仍為一平行四邊形.

前一主題

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例8

隨堂8

slide92
戊、線性變換與面積

請看課本p.181

另外由二階行列式的幾何意義及矩陣的乘法可得其面積的關係有如下之定理:

  • 證:令 為平行四邊形OPQR,
    • 經矩陣 變換所得之圖形為 平行四邊形P'Q'R'S',

設 為坐標平面上一平行四邊形, 其面積為k ,

則 經矩陣 變換所得的圖形仍為一平行

四邊形, 且面積為| det(A) |× k.

前一主題

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例8

隨堂8

slide93
戊、線性變換與面積

請看課本p.181

  • 因 為
  • 經矩陣 變換的像, 所以

前一主題

下一主題

例8

隨堂8

slide94
戊、線性變換與面積

請看課本p.182

  • 由二階行列式的幾何意義知 之面積為 的
  • 絕對值, 所以 的絕對值為K.

前一主題

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例8

隨堂8

slide95
戊、線性變換與面積

請看課本p.182

  • 又平行四邊形P'Q'R'S'之面積為 的絕對值,
  • 即為| det(A) |× k.

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例8

隨堂8

slide96
例題8

請看課本p.182

設矩陣 , 平行四邊形OPQR之頂點

P(-1, 0), Q(2, 4), R(3, -2),及S(0, -6), 經A之變換分別為P', Q', R', S', 試求平行四邊形P'Q'R'S'的面積.

  • 解:
    • 由已知得 =(3, 4), =(4, -2),
    • 所以平行四邊形PQRS的面積= 的絕對值=22,
    • 又| det(A) | = 2
    • 所以平行四邊形P'Q'R'S'的面積=22×2=44

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例8

隨堂8

slide97
隨堂練習8

請看課本p.182

已知矩陣 , 平面上三點

經A之變換分別為 試求 的面積.

  • 解:
    • 由已知得 = (–9, 10), = (–15, 7) ,
    • 所以 的面積= 的絕對值

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例8

隨堂8

slide98
隨堂練習8

請看課本p.182

已知矩陣 , 平面上三點

經A之變換分別為 試求 的面積.

  • 解:
    • 所以 的面積=

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例8

隨堂8

slide100
一﹑觀念題

請看課本p.183

  • 對的在題號前打「」, 錯的在題號前打「」
  • 1. 可視為向x軸作正射影的變換.
  • 2. 可視為對x軸作鏡射的變換.
  • 可視為對直線x = y作鏡射的變換.
  • 解:
    • 1.○ 2.○ 3.○
slide101
一﹑觀念題

請看課本p.183

  • 4. 可視為以原點為中心依順時鐘方向旋轉90°
  • 的變換.
  • 可視為向上推移1單位的變換.
  • 解:
    • 4. 5.
  • 解析:
    • 4.應為以原點為中心依逆時鐘方向旋轉90°的變換.
    • 5.應為鉛直方向上推移y坐標的變換.
slide102
一﹑觀念題

請看課本p.183

6. 可視為先沿水平方向伸張2倍, 再對y軸作鏡

射的變換.

  • 解:
    • 6.○
slide103
二﹑基礎題

請看課本p.183

1.設A = , 試求:

P(4, –1)經過A的變換後的像.

y軸經過A的變換後的像.

  • 解:
    • 所以P(4, –1)經過A之變換後的像為
    • 因y軸上的點之坐標為 , 其中 R,
slide104
二﹑基礎題

請看課本p.183

1.設A = , 試求:

P(4, –1)經過A的變換後的像.

y軸經過A的變換後的像.

  • 解:
    • 而點 (其中 R)之圖形為一直線
    • 所以y軸經A之變換後的像為直線
slide105
二﹑基礎題

請看課本p.183

2.設A = , 試求一點P經過A的變換後的像為

Q(1, –7).

  • 解:
    • 設 , 則
    • 所以點P坐標為
slide106
二﹑基礎題

請看課本p.183

3.設A = , 試說明A變換的幾何意義.

  • 解:
    • 所以A變換的幾何意義為將點 沿鉛直方向投射到直線 上.
slide107
二﹑基礎題

請看課本p.184

4.試求一矩陣A, 使A的變換將P(2, 3)變為Q(10, 6),

將 (–1, 2)變為 (9, 4).

  • 解:
    • 由題意知
    • 所以
slide108
二﹑基礎題

請看課本p.184

5.試求點P(3, 2)經過旋轉135°後的像.

  • 解:
    • 旋轉135°所對應的矩陣為
slide109
二﹑基礎題

請看課本p.184

5.試求點P(3, 2)經過旋轉135°後的像.

  • 解:
    • 所以點P(3, 2)經旋轉135°後的像為
slide110

6.設△ABC之頂點A(0, 1), B(1, 0), C(2, 2), 試問在經過

變換S = 後, 其圖形為何?並計算新圖形與原

三角形之面積比.

二﹑基礎題

請看課本p.184

  • 解:
    • 設 分別為A, B, C經變換S所對應的點, 則
slide111

6.設△ABC之頂點A(0, 1), B(1, 0), C(2, 2), 試問在經過

變換S = 後, 其圖形為何?並計算新圖形與原

三角形之面積比.

二﹑基礎題

請看課本p.184

  • 解:
    • 所以得
    • 因為
slide112

6.設△ABC之頂點A(0, 1), B(1, 0), C(2, 2), 試問在經過

變換S = 後, 其圖形為何?並計算新圖形與原

三角形之面積比.

二﹑基礎題

請看課本p.184

  • 解:
    • 所以 上的點 經 的伸縮變換之像為點
    • 所以 經伸縮變換 之對應圖形的參
    • 數式為
    • 故知 在 的伸縮變換下的對應圖為
slide113

6.設△ABC之頂點A(0, 1), B(1, 0), C(2, 2), 試問在經過

變換S = 後, 其圖形為何?並計算新圖形與原

三角形之面積比.

二﹑基礎題

請看課本p.184

  • 解:
    • 同理可知線段 與 經伸縮變換 所對應的圖
    • 形分別為 與 , 故知△ABC經伸縮變換
    • 所得之新圖形仍為三角形,
    • 即 (如圖所示).
slide114

6.設△ABC之頂點A(0, 1), B(1, 0), C(2, 2), 試問在經過

變換S = 後, 其圖形為何?並計算新圖形與原

三角形之面積比.

二﹑基礎題

請看課本p.184

  • 解:
    • 因 = (3, – 1), = (6, 1), = (1, – 1),
    • = (2, 1),所以 之面積
    • △ABC之面積
slide115

6.設△ABC之頂點A(0, 1), B(1, 0), C(2, 2), 試問在經過

變換S = 後, 其圖形為何?並計算新圖形與原

三角形之面積比.

二﹑基礎題

請看課本p.184

  • 解:
    • 故知新圖形 之面積與原△ABC之面積的
    • 比為3(即 ).
slide116
三﹑進階題

請看課本p.184

1.設△OAB為xy平面上一正三角形, 若O為原點,

且A點坐標為(2, 4), 試求B點坐標.

  • 解:
    • 令B點坐標為(a, b), 因為△OAB為xy平面上一正三
    • 角形, 所以點B為點A繞原點O旋轉60°或 – 60°所得
    • 之點.
    • (1) 當點B為點A繞原點O旋轉60°時, 由旋轉變換
    • 知:
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三﹑進階題

請看課本p.184

1.設△OAB為xy平面上一正三角形, 若O為原點,

且A點坐標為(2, 4), 試求B點坐標.

  • 解:
    • (2)當點B為點A繞原點O旋轉 – 60°時, 由旋轉變換知:
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三﹑進階題

請看課本p.184

1.設△OAB為xy平面上一正三角形, 若O為原點,

且A點坐標為(2, 4), 試求B點坐標.

  • 解:
    • 故B點坐標為( )或( ).
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三﹑進階題

請看課本p.184

2.設A = 將坐標平面上的點都變換到直線

L:y = 5x上, 試問a, b, c, d之間有什麼關係?

  • 解:
    • 又已知A = 將坐標平面上的點都變換到直線L:y = 5x上,
    • 所以
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三﹑進階題

請看課本p.184

2.設A = 將坐標平面上的點都變換到直線

L:y = 5x上, 試問a, b, c, d之間有什麼關係?

  • 解:
    • 所以 , 故a, b, c, d之間的關係為
    • 且 .
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三﹑進階題

請看課本p.184

3.設坐標平面上一正方形OABC, 其中O(0, 0), A(1, –1), B(2, 0), C(1, 1), 試作此正方形OABC對

S = 作變換所得之新圖形, 並求其面積.

  • 解:
    • 設 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)分別為A, B, C經變
    • 換S所對應的點, 則
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三﹑進階題

請看課本p.184

3.設坐標平面上一正方形OABC, 其中O(0, 0), A(1, –1), B(2, 0), C(1, 1), 試作此正方形OABC對

S = 作變換所得之新圖形, 並求其面積.

  • 解:
    • 所以 , , 三點之坐標分別為(1, 2), (2, 6), (1, 4),
    • 而原點O經變換S所對應的點仍為原點O.
    • 另外線段 上的點(t, –t), 其中 ,
    • 經變換S所對應的點為(t, 2t),
    • 所以線段 經變換S所對應之圖形為線段 ,
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三﹑進階題

請看課本p.184

3.設坐標平面上一正方形OABC, 其中O(0, 0), A(1, –1), B(2, 0), C(1, 1), 試作此正方形OABC對

S = 作變換所得之新圖形, 並求其面積.

  • 解:
    • 同理可知線段 , 與
    • 經變換 所對應的圖形分別為
    • 及 ,
    • 故知正方形 經變換
    • 所得之新圖形為一平行四邊形
    • (如圖所示).
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三﹑進階題

請看課本p.184

3.設坐標平面上一正方形OABC, 其中O(0, 0), A(1, –1), B(2, 0), C(1, 1), 試作此正方形OABC對

S = 作變換所得之新圖形, 並求其面積.

  • 解:
    • 又 = (1, 2), = (1, 4),
    • 所以平行四邊形OA'B'C'的面積 =
    • 的絕對值 = 2.

End