1 / 124

第三章 矩陣

第三章 矩陣. ◎ 3- 4 平面的線性變換與二階方陣. 目錄. 3- 4 平面的線性變換與二階方陣 甲、伸縮變換 乙、旋轉變換 丙、鏡射變換 丁、推移變換 戊、線性變換與面積. 請看課本 p.167. 因為對於坐標平面上的每一點 P ( x , y ), 恰有一位置向量 ( x , y ) 與之對應 , 所以我們也可將行矩陣 看成點 P ( x , y ) 或向量 ( x , y ) 的另一種表示法 . 例如：點 P (2, 1) 或向量 (2, 1) 可以行矩陣表示為. 例 1. 下一主題. 隨堂 1.

maura
Download Presentation

第三章 矩陣

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 第三章 矩陣 ◎3-4平面的線性變換與二階方陣

  2. 目錄 • 3-4平面的線性變換與二階方陣 • 甲、伸縮變換 • 乙、旋轉變換 • 丙、鏡射變換 • 丁、推移變換 • 戊、線性變換與面積

  3. 請看課本p.167 • 因為對於坐標平面上的每一點P(x, y), 恰有一位置向量(x , y)與之對應, • 所以我們也可將行矩陣 看成點P(x, y)或向量 • (x, y) 的另一種表示法. • 例如：點P(2, 1)或向量(2, 1) • 可以行矩陣表示為 例1 下一主題 隨堂1 例2 隨堂2

  4. 請看課本p.167 • 設 為一個二階方陣, 若將平面上點 • 的坐標以行矩陣表示, 則方陣A決定一個由坐標平面對應到坐標平面的函數, 定義如下： 例1 下一主題 隨堂1 例2 隨堂2

  5. 請看課本p.167 • 此式將點P(x , y)變換至點Q(x' , y') , 我們將它稱為二階方陣所對應的坐標平面上的線性變換, 並以A代表此線性變換, 而點Q(x' , y')稱為點P(x , y)經過A之變換後的像. 例1 下一主題 隨堂1 例2 隨堂2

  6. 例題1 請看課本p.167 設  試求點P(1, 2)經過A之變換後的像.試求一點P(x, y), 使得它經過A之變換後的像為Q(－4, 3). • 解： •  • 所以點P(1, 2)經過A之變換後的像為Q(17, 12). 例1 返回 下一主題 隨堂1 例2 隨堂2

  7. 例題1 請看課本p.167 設  試求點P(1, 2)經過A之變換後的像.試求一點P(x, y), 使得它經過A之變換後的像為Q(－4, 3). • 解： •  • 因此得知點P(– 41, 17)經過A之變換後的像 為Q(– 4, 3). 例1 返回 下一主題 隨堂1 例2 隨堂2

  8. 隨堂練習1 請看課本p.168 設  試求點P(2, –1)經過A之變換後的像.試求一點P(x, y), 使得它經過A之變換後的像為Q(7, 8). • 解： • 過 • 所以點P(1, 2)經過A之變換後的像為Q(5, 8). 例1 返回 下一主題 隨堂1 例2 隨堂2

  9. 隨堂練習1 請看課本p.168 設  試求點P(2, –1)經過A之變換後的像.試求一點P(x, y), 使得它經過A之變換後的像為Q(7, 8). • 解： • 過 • 所以 • 因此得知點 經過A之變換後的像為 例1 返回 下一主題 隨堂1 例2 隨堂2

  10. 例題2 請看課本p.168 設平面上的一變換A, 將P(1, 1), Q(–1, –2)分別變換到P'(7, 9), Q'(–6, –17), 試求矩陣A. • 解： • 由已知得 , 且 • 此兩式可合併寫成 • 由矩陣的運算知 例1 返回 下一主題 隨堂1 例2 隨堂2

  11. 隨堂練習2 請看課本p.168 設平面上的一變換A, 將 , 分別變換到 , , 試求矩陣 . • 解： • 由已知得 , 且 • 此兩式可合併寫成 • 由矩陣的運算知 例1 返回 下一主題 隨堂1 例2 隨堂2

  12. 隨堂練習2 請看課本p.168 設平面上的一變換A, 將 , 分別變換到 , , 試求矩陣 . • 解： 例1 返回 下一主題 隨堂1 例2 隨堂2

  13. 請看課本p.168 • 現在我們先來看看幾個簡單的二階方陣 所對應的坐標平面上的變換： • 若 , 則 • 此變換A＝ 把每一點P(x, y)都變成原點O(0, 0). • 若 , 則 A • 此變換A＝ 把每一點P(x, y)變成自身點P(x, y). 前一主題 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  14. 請看課本p.169 • 若A＝ • 此變換A＝ 把每一點 • P(x, y)變成點Q(x, 0), 也就是把 • 每一點正射影到x軸. 同理變換 • B＝ 把每一點正射影到y軸. • 接著我們繼續介紹平面上常見的四種變換：伸縮、旋轉、鏡射與推移. 圖3-1 前一主題 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  15. 甲、伸縮變換 請看課本p.169 • 若平面上的一變換是將每一點P(x , y)對應到 • Q(rx , y) , 即將x坐標乘以r倍（r>0）, 而y坐標不變, 則稱此變換為水平方向的伸縮變換. • 若以矩陣來表示其對應關係可寫成 • 所以矩陣　　　表示水平方向的伸縮變換. • 當r＞1時, 此變換可視為水平方向伸張為r倍. • 當0＜r＜1時, 此變換可視為水平方向壓縮為r倍. • 例如： 前一主題 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  16. 甲、伸縮變換 請看課本p.169 前一主題 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  17. 甲、伸縮變換 請看課本p.170 • 同理, 當s>0時, 矩陣A＝ • 表示鉛直方向的伸縮變換. 例如: • A＝ 將點P(x, y)變換為 • 即將圖形上每一點到x軸 • 的距離在鉛直方向壓縮為 倍, • 變換後圖形為藍色曲線,如圖3-2所示. 圖3-2 前一主題 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  18. 甲、伸縮變換 請看課本p.170 • 合併上述兩種情形, 當r>0且s>0時, 將平面上 • 每一點P(x, y)對應到點Q(rx, sy), 故 矩陣 表示將圖形上每一點沿水平方向伸縮 為r倍, 且鉛直方向伸縮為s倍的變換. 前一主題 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  19. 例題3 請看課本p.170 設 , P(2, 1), Q(3, 3), 試分別求P及Q兩點經伸縮變換A所對應的點P'及Q' 之坐標.試證明 經伸縮變換A之對應圖形為 . • 解： • 設P'及Q'兩點之坐標分別為(x1, y1)及(x2, y2), • 　則 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  20. 例題3 請看課本p.170 設 , P(2, 1), Q(3, 3), 試分別求P及Q兩點經伸縮變換A所對應的點P'及Q' 之坐標. • 解： • 我們可將上兩式合併如下形式： • 所以P'及Q'兩點之坐標分別為(6, 2)及(9, 6). 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  21. 例題3 請看課本p.171 設 , P(2, 1), Q(3, 3), 試證明 經伸縮變換A之對應圖形為 . • 解： • 由知P'(6, 2), Q'(9, 6), • 所以得 • 因為 • 又 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  22. 例題3 請看課本p.171 設 , P(2, 1), Q(3, 3), 試證明 經伸縮變換A之對應圖形為 . • 解： • 即 上的點(2+t, 1+2t) • 經A的伸縮變換之像為點(6+3t, 2+4t), • 所以 經伸縮變換A • 之對應圖形的參數式為 • 故知 在A的伸縮變換下的對應圖形為 . 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  23. 隨堂練習3 請看課本p.171 設 試分別求P及Q兩點經伸縮變換A所對應的點 及 之坐標. 試證明 經伸縮變換A之對應圖形為 . 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  24. 隨堂練習3 請看課本p.171 試分別求P及Q兩點經伸縮變換A所對應的點 及 之坐標. • 解： • 設 及 兩點之坐標分別為 • 　則 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  25. 隨堂練習3 請看課本p.171 試分別求P及Q兩點經伸縮變換A所對應的點 及 之坐標. • 解： • 我們可將上兩式合併如下形式： • 　所以 及 兩點之坐標分別為 及 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  26. 隨堂練習3 請看課本p.171 試分別求P及Q兩點經伸縮變換A所對應的點 及 之坐標. • 解： •  前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  27. 隨堂練習3 請看課本p.171 試證明 經伸縮變換A之對應圖形為 . • 解： • 由知 , 所以得 • 　因為 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  28. 隨堂練習3 請看課本p.171 試證明 經伸縮變換A之對應圖形為 . • 解： • 又 • 即 上的點(6 + 3t, 2 + t)經A的伸縮變換之 • 像為點 • 所以 經伸縮變換A之對應圖形的參數式 為 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  29. 隨堂練習3 請看課本p.171 試證明 經伸縮變換A之對應圖形為 . • 解： •  • 故知 在A的伸縮變換下的對應圖形為 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  30. 請看課本p.171 • 註：事實上, 平面上的伸縮變換將線段 變換為　　線段 , 其中點P'及Q'分別為P及Q兩點經　　此伸縮變換的像. 前一主題 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  31. 例題4 請看課本p.172 設坐標平面上一正方形OPQR, 其中O(0,0), P(2, 0), Q(2, 2), R(0, 2),試作此正方形OPQR對A＝ 作伸縮變換所得 之新圖形. 試求中之新圖形的面積並指出與正方形OPQR面 積之關係. • 解： • 設P'(x1, y1), Q'(x2, y2), R'(x3, y3)分別為P,Q ,R 經伸縮變換A所對應的點, 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  32. 例題4 請看課本p.172 試作此正方形OPQR對A＝ 作伸縮變換所得 之新圖形. • 解： • 則 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  33. 例題4 請看課本p.172 試作此正方形OPQR對A＝ 作伸縮變換所得 之新圖形. • 解： • 所以P', Q', R'三點之坐標分別為 • (4, 0), (4, 6)及 (0, 6), • 又原點O經伸縮變換A所對應的點仍為原點O, • 且平面上的伸縮變換將線段 變換為線段 • 其中點P'及Q'分別為P及Q兩點經此伸縮變換的 像, 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  34. 例題4 請看課本p.172 試作此正方形OPQR對A＝ 作伸縮變換所得 之新圖形. • 解： • 故知正方形OPQR經伸縮變換A 所得之新圖形 為四邊形OP'Q'R' （如圖所示為 一矩形）. 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  35. 例題4 請看課本p.172 試求中之新圖形的面積並指出與正方形OPQR面 積之關係. • 解： • 由知OP'Q'R'為一矩形, 其長為6, 寬為4, 所以新圖形的面積為6×4=24, • 又正方形OPQR之邊長為2, 所以其面積為 22=4, • 所以正方形OPQR經伸縮變換A所得之新圖形 (矩形)OP'Q'R'的面積為原正方形OPQR之面 積的6倍, • 即水平方向伸縮之倍數2與鉛直方向伸縮之 倍數3的乘積. 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  36. 隨堂練習4 請看課本p.172 設坐標平面上一矩形OPQR, 其中O(0, 0), , Q(3, 2), , 試作此矩形OPQR對 作伸縮變換所得之 新圖形. 試求中之新圖形的面積並指出與矩形OPQR面積 之關係. 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  37. 隨堂練習4 請看課本p.172 試作此矩形OPQR對 作伸縮變換所得之 新圖形. • 解： • 設 分別為P, Q, R • 經伸縮變換A所對應的點, • 則 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  38. 隨堂練習4 請看課本p.172 試作此矩形OPQR對 作伸縮變換所得之 新圖形. • 解： •  • 所以 , , 三點之坐標分別為(1, 0), (1, 1) 及(0, 1), 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  39. 隨堂練習4 請看課本p.172 試作此矩形OPQR對 作伸縮變換所得之 新圖形. • 解： • 又原點O經伸縮變換A所對應的點仍為原點O,且平面上的伸縮變換將線段 變換為線段 • 其中點 及 分別為P及Q兩點經此伸縮變換 的像, 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  40. 隨堂練習4 請看課本p.172 試作此矩形OPQR對 作伸縮變換所得之 新圖形. • 解： • 故知矩形 經伸縮變換A所得之 新圖形為四邊形 （如圖所示）. 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  41. 隨堂練習4 請看課本p.172 試求中之新圖形的面積並指出與矩形OPQR面積 之關係. • 解： • 由知 為一正方形, 邊長為1, 所以新 圖形的面積為1 × 1 = 1, • 又矩形 的長為3, 寬為2, • 所以其面積為3 × 2 = 6, 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  42. 隨堂練習4 請看課本p.172 試求中之新圖形的面積並指出與矩形OPQR面積 之關係. • 解： 所以矩形OPQR經伸縮變換A所得之新圖形正 方形 的面積為原矩形OPQR之面積的 倍, • 即水平方向伸縮之倍數 與鉛直方向伸縮之 倍數 的乘積. 前一主題 返回 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  43. 請看課本p.172 • 註:事實上, 若平行四邊形經伸縮變換 • 所得之圖形仍為一平行四邊形, 且其面積為原 平行四邊形面積的 倍.（請參考本節重點戊 （線性變換與面積）之說明） 前一主題 下一主題 例3 隨堂3 隨堂4 例4

  44. 乙、旋轉變換 請看課本p.173 • 底下我們介紹以原點為中心旋轉θ角的變換（θ大於0時, 表逆時鐘方向旋轉, θ小於0時表順時鐘方向旋轉）.設以原點O為中心, 將點P(a, b)繞原點O旋轉θ角, 所得之點為P'(a', b'), • 當P(a, b)不為原點O時, • 令以 為終邊的標準位置角為 , • 則 • 如圖3-3所示. 圖3-3 前一主題 下一主題 例5 隨堂5

  45. 乙、旋轉變換 請看課本p.173 • 由旋轉的意義知, • 且以 為終邊的標準位置角為 • 所以 • 如圖3-4所示. 圖3-4 前一主題 下一主題 例5 隨堂5

  46. 乙、旋轉變換 請看課本p.173 • 當P(a, b)為原點O時(即a=b=0時), • 由旋轉的意義知P'(a', b')亦為原點, 所以a'=b'=0, • 亦可得 • 由知每一點P(a, b)繞原點旋轉θ角所得之點 為P'(acosθ－bsinθ, asinθ+bcosθ), • 若以矩陣來表示其對應關係可寫成 前一主題 下一主題 例5 隨堂5

  47. 乙、旋轉變換 請看課本p.173 • 矩陣 表示以原點O為中心, 繞原點 • 旋轉θ角的旋轉變換. 前一主題 下一主題 例5 隨堂5

  48. 例題5 請看課本p.174 設坐標平面上一正方形OPQR, 其中O(0,0), P(2, 0), Q(2, 2), R(0, 2),試求對應於繞原點旋轉30°角的旋轉變換之矩陣A.試作此正方形OPQR經矩陣A作旋轉變換所得之新圖形. • 解： • 旋轉30°所對應的矩陣為 前一主題 返回 下一主題 例5 隨堂5

  49. 例題5 請看課本p.174 試作此正方形OPQR經矩陣A作旋轉變換所得之新圖形. • 解： • 設P'(x1, y1), Q'(x2, y2), R'(x3, y3)分別為P, Q, R 經旋轉變換A所對應的點, 則 前一主題 返回 下一主題 例5 隨堂5

  50. 例題5 請看課本p.174 試作此正方形OPQR經矩陣A作旋轉變換所得之新圖形. • 解： • 所以P', Q', R'三點之坐標分別為 • 而原點O經旋轉變換A所對應的點仍為原點O. • 另外線段 上的點(t, 0), 其中 , • 經旋轉變換A所對應的點為 • 所以線段 經旋轉變換A所得之圖形為線段 前一主題 返回 下一主題 例5 隨堂5

More Related