正方形判定的方法

1. 正方形判定的方法 许河乡第一初级中学 王志强

2. 正方形的定义可知：正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它们的包含关系如图(1)：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　矩形、菱形、正方形都是有特殊条件的平行四边形。正方形的定义可知：正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它们的包含关系如图(1)：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　矩形、菱形、正方形都是有特殊条件的平行四边形。 从图(1)中可以知道，平行四边形包含了矩形、菱形、正方形、而正方形又被包含在矩形和菱形中，因而要判定一个四边形是正方形，可以从两个方面来着手， 一：先判定四边形是矩形，再一步菱形；二：先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形。

3. 例1：已知：如图(2)，点A‘、B’、C‘、D’分别是正方形ABCD 的边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形A'B'C'D'是正方形。 分析（1）你能证明四边形是矩形吗？ （2）你能证明四边形是菱形吗？ （3）你能证明四边形是正方形吗？？

4. 证明：∵四边形ABCD是正方形∴AD＝AB＝BC， ∠A＝∠B＝90°又∵D’,A ’,B ’是 DA、AB、BC的中点∴AD’＝AA’＝A’B＝BB’∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45° ∴∠D’A’B’＝180°－∠1－∠3＝90°同理：∠A’B’C’＝90°　∠B’C’D’＝90°∴四边形A’B’C’D’是矩形（ ①） 在△D’AA’和△A’BB’中 AD’=AB’,∠A=∠B,AA’=BB’ 学习如逆水行舟不进则退 ∴△D‘AA’≌△A‘BB’(SAS)∴A‘D’＝A‘B’∴四边形A‘B’C‘D’是正方形( ②)

5. 已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证： 四边形CFDE是正方形． 证明：∵ CD平分∠ACB， DE⊥BC， DF⊥AC， ∴ DE＝DF（①）． 又∵ ∠DEC＝∠ECF＝∠CFD＝90°， ∴ 四边形CFDE是矩形（②）， ∴ 四边形CFDE是正方形（③）．

6. 练习：求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。练习：求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。 请大家先根据题意，画出图形然后写出已知，求证， 已知：如图(3)，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD。　 求证：四边形ABCD是正方形。

7. 求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。 已知：AC、BD相交于点O，且AC＝BD，AO＝CO， BO＝DO，AC⊥BD。求证：四边形ABCD是正方形。 证明： ∵AO＝CO,BO＝DO ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AC＝BD∴平行四边形ABCD是矩形(①)∵AC⊥BD∴平行四边形ABCD是菱形 (②) ∴四边形ABCD是正方形(③)

8. 1、请大家说出正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系？1、请大家说出正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系？ 2、平行四边形它包含了矩形、菱形、正方形；而正方形又包含在矩形和 菱形中。 掌握正方形的判定的方法。 正方形中，课本上没有给出明显的判定定理，它只告诉我们，要判定一个四边形是正方形，有两种方法： 法一：先判定四边形是矩形，再 判定这个矩形又是菱形； 法二：先判定四边形是菱形，再判定这个菱形又是矩形，即可判定它是正方形。

9. 练习： 1．四个内角都相等的四边形一定是：A．正方形　 B．菱形　 C．矩形　 D．平行四边形 2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是：A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDB．AD∥BC ∠A＝∠CC．AO＝COBO＝DOAB＝BC D．AC＝BD 3 ．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：A．正方形　 B．菱形　 C．矩形　 D．平行四边形

10. 1． 把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ 2． 判断下列命题是否正确． （1） 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． （2） 对角线互相垂直的矩形是正方形． （3） 对角线相等的菱形是正方形． （4） 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．

11. 1． 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB， DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别E、F，试证明四边形CFDE为正方形. 2． 已知： 如图，点A′、 B′、 C′、 D′分别是正方形ABCD四条边上的点,并且AA′=BB′=CC′=DD′.求证： 四边形A′B′C′D′是正方形. 3． 如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证： CE＝DF．

12. 同学们再见