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以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理 .

以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理. 1. 直线与平面垂直. 2. 直线和平面所成的角. 3. 二面角的有关概念. 4. 平面与平面垂直. [ 思考探究 ] 　　垂直于同一平面的两平面是否平行？. 提示： 垂直于同一平面的两平面可能平行，也可能相交. 1. 直线 a ⊥直线 b ， a ⊥平面 β ，则 b 与 β 的位置关系是 ( ) A. b ⊥ β B. b ∥ β

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以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理 .

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Presentation Transcript

  1. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.

  2. 1. 直线与平面垂直

  3. 2.直线和平面所成的角 3.二面角的有关概念

  4. 4.平面与平面垂直

  5. [思考探究] 　　垂直于同一平面的两平面是否平行？ 提示：垂直于同一平面的两平面可能平行，也可能相交.

  6. 1.直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是 () A.b⊥βB.b∥ β C.b⊂ β D.b⊂β或b∥ β 解析：由垂直和平行的有关性质可知b⊂ β 或b∥ β. 答案：D

  7. 2.(文)已知直线a和两个平面α，β，给出下列四个命题：2.(文)已知直线a和两个平面α，β，给出下列四个命题： ①若a∥α，则α内的任何直线都与a平行； ②若a⊥α，则α内的任何直线都与a垂直； ③若α∥β，则β内的任何直线都与α平行； ④若α⊥β，则β内的任何直都与α垂直. 则其中 () A.②、③为真B.①、②为真 C.①、④为真D.③、④为真

  8. 解析：若a∥α，则α内的无数直线都与a平行，但不是任意一条，即①不正确；若a⊥α，则α内的任何直线都与a垂直，即②正确；若α∥β ，则β内的任何直线都与α平行，即③正确；若α⊥ β ，则β内有无数条直线都与α垂直，但不是任意一条，即④不正确. 综上可得②、③为真，故应选A. 答案：A

  9. (理)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是 () A.15° B.30° C.45° D.60°

  10. 解析：如图所示，连结AC交BD 于O点，易证AC⊥平面DD1B1B， 连结B1O，则∠CB1O即为B1C与 对角面所成的角，设正方体边长为a，则B1C＝ a，CO＝ a，∴sin∠CB1O＝ . ∴∠CB1O＝30°. 答案：B

  11. 3.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：3.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题： ①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m； ③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β. 其中正确的命题是 () A.①与②B.③与④ C.②与④D.①与③

  12. 解析：对①，l⊥α，α∥β ⇒l⊥ β ， 又∵m⊂ β ，∴l⊥m，∴①正确； 对②，α⊥ β ，l⊥α，则l∥β或l⊂ β ，∴l不一定与m平行， ∴②错误； 对③，∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α， 又m⊂ β ，∴α⊥ β ，∴③正确；④错误. 答案：D

  13. 4.在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥ 平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值 为.

  14. 解析：∵PC⊥平面ABC，CM⊂平面ABC， ∴PC⊥CM，∴PM＝ ＝ 要使PM最小，只需CM最小，此时CM⊥AB， ∴CM＝ ＝2 ，∴PM的最小值为2 . 答案：2

  15. 5.如图，平面ABC⊥平面BDC， ∠BAC＝∠BDC＝90°，且 AB＝AC＝a，则AD＝.

  16. 解析：取BC中点E，连结ED、AE， ∵AB＝AC，∴AE⊥BC. ∵平面ABC⊥平面BDC， ∴AE⊥平面BCD. ∴AE⊥ED. 在Rt△ABC和Rt△BCD中， AE＝ED＝ BC＝ a， ∴AD＝ ＝a. 答案：a

  17. 1.证明直线和平面垂直的常用方法： (1)利用判定定理. (2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α). (3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β). (4)利用面面垂直的性质. 当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线， 常用来证明线线垂直.

  18. 2.直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的 判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直 的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线 面平行.

  19. (2009·福建高考改编)如图， 平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°， AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起 到△EBD的位置，使平面EBD⊥平 面ABD. 求证：AB⊥DE.

  20. [思路点拨]

  21. [课堂笔记]　证明：在△ABD中， ∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°， ∴BD＝ ＝2 . ∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD. 又∵平面EBD⊥平面ABD， 平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD， ∴AB⊥平面EBD. ∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.

  22. 本例中，ED与平面ABD垂直吗？ 解：由例1知，AB⊥BD， ∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD. 又∵平面EBD⊥平面ABD，ED⊂平面EBD， ∴ED⊥平面ABD.

  23. 1.证明平面与平面垂直的方法主要有： (1)利用定义证明.只需判定两平面所成的二面角为直二面角 即可. (2)利用判定定理.在审题时，要注意直观判断哪条直线可能 是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边， 勾股定理等结论.

  24. 2.关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆.

  25. (2009·江苏高考)如图，在 三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别 是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上， A1D⊥B1C.求证： (1)EF∥平面ABC； (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.

  26. [思路点拨]

  27. [课堂笔记](1)因为E、F分别是A1B、A1C的中点， 所以EF∥BC， 又EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC. 所以EF∥平面ABC. (2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱， 所以BB1⊥平面A1B1C1， 所以BB1⊥A1D，

  28. 又A1D⊥B1C，B1C∩BB1＝B1. 所以A1D⊥平面BB1C1C， 又A1D⊂平面A1FD， 所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.

  29. 两个平面垂直的性质定理，可以作为直线和平面垂直的判定定理，当条件中有两个平面垂直时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线.

  30. 如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD，如图②.

  31. (1)求证：平面PBC⊥平面PDC； (2)在折叠前的四边形ABCD中，作AE⊥BD于E，过E作EF⊥BC于F，求折起后的图形中∠PFE的正切值.

  32. [思路点拨]

  33. [课堂笔记](1)证明：折叠前，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，[课堂笔记](1)证明：折叠前，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°， 所以△ABD为等腰直角三角形.又因为∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°. 折叠后，因为面PBD⊥面BCD， CD⊥BD，所以CD⊥面PBD. 又因为PB ⊂面PBD，所以CD⊥PB. 又因为PB⊥PD，PD∩CD＝D，所以PB⊥面PDC. 又PB⊂面PBC，故平面PBC⊥平面PDC.

  34. (2)AE⊥BD，EF⊥BC，折叠后的位置关系不变， 所以PE⊥BD. 又面PBD⊥面BCD，所以PE⊥面BCD， 所以PE⊥EF. 设AB＝AD＝a，则BD＝ a，所以PE＝ a＝BE. 在Rt△BEF中， EF＝BE·sin45°＝ a× ＝ a. 在Rt△PFE中，tan∠PFE＝ ＝ ＝ .

  35. 高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一，有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查. 　　求这两种空间角的步骤： 根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)―→认(指) ―→求.

  36. 在客观题中，也可用射影法： 设斜线段AB在平面α内的射影为A′B′，AB与α所成角为θ，则cosθ＝ . 设△ABC在平面α内的射影三角形为△A′B′C′，平面ABC与α所成角为θ，则cosθ＝ .

  37. (2010·安阳模拟)三棱锥P－ ABC中，PC、AC、BC两两垂直， BC＝PC＝1，AC＝2，E、F、G分 别是AB、AC、AP的中点. (1)证明：平面GFE∥平面PCB； (2)求二面角B－AP－C的正切值.

  38. [思路点拨]

  39. [课堂笔记](1)证明：因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，[课堂笔记](1)证明：因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点， 所以EF∥BC，GF∥CP. 因为EF，GF⊄平面PCB. 所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB. 又EF∩GF＝F， 所以平面GFE∥平面PCB.

  40. (2)∵BC⊥PC，BC⊥CA，且PC∩AC＝C， ∴BC⊥平面PAC. 过点C作CH⊥PA于H点， 连结HB，则易证HB⊥PA， ∴∠BHC即为二面角B－AP－C的平面角. 在Rt△ACP中，AP＝ ＝ ，HC＝ ＝ (等积). ∴tan∠BHC＝ ＝ ＝ .

  41. 　 近年来开放型问题不断在高考试题中出现，这说明高考对学生的能力要求越来越高，这也符合新课标的理念，因而在复习过程中要善于对问题进行探究.立体几何中结合垂直关系，设计开放型试题将是新课标高考命题的一个动向.

  42. [考题印证] (2009·浙江高考)(12分)如图， 平面PAC⊥平面ABC，△ABC是 以AC为斜边的等腰直角三角形， E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10. (1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE； (2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA、OB的距离.

  43. 【证明】(1)如图，取PE的 中点为H，连结HG、HF.┄┄(1分) 因为点E，O，G，H分别是PA， AC，OC，PE的中点， ┄┄┄┄(2分) 所以HG∥OE，HF∥EB. 因此平面FGH∥平面BOE. 因为FG在平面FGH内， 所以FG∥平面BOE. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(4分)

  44. (2)在平面OAP内，过点P作 PN⊥OE，交OA于点N，交OE于 点Q.连结BN，过点F作FM∥PN， 交BN于点M.┄┄┄(5分) 下证FM⊥平面BOE. 由题意，得OB⊥平面PAC， 所以OB⊥PN， 又因为PN⊥OE，所以PN⊥平面BOE. 因此FM⊥平面BOE.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(7分)

  45. 在Rt△OAP中， OE＝ PA＝5，PQ＝ ， cos∠NPO＝ ＝ ， ON＝OP·tan∠NPO＝ ＜OA， 所以点N在线段OA上.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(9分) 因为F是PB的中点，所以M是BN的中点.┄┄(10分) 因此点M在△AOB内，点M到OA，OB的距离分别为 OB＝4， ON＝ .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)

  46. [自主体验] 如图所示，已知长方体ABCD－ A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为 线段AD1的中点，F为线段BD1的中点. (1)求证：EF∥平面ABCD； (2)设M为线段C1C的中点，当 的比值为多少时，DF⊥平面D1MB，并说明理由

  47. 解：(1)证明：∵E、F分别是 AD1和BD1的中点， ∴EF∥AB，又EF⊄平面ABCD， AB⊂平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD.

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