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3.2 Runge-Kutta 积分法. 基本 思想： 用几个点上的 的一阶导函数值的线性组合来近似代替 在某一点的各阶导数，用 Taylor 级数展开式确定线性组合中各加权系数。 既可避免计算高阶导数，又可提高数值积分的精度，这就是 Runge-Kutta 法的基本思想。. 3.2.1 Runge-Kutta 数值积分公式的推导. 考虑如下一阶微分方程 假定 是 (3.12) 式的解析解。将 展成 Taylor 级数 其中. 于是 其中
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3.2 Runge-Kutta 积分法 基本思想：用几个点上的 的一阶导函数值的线性组合来近似代替 在某一点的各阶导数，用Taylor级数展开式确定线性组合中各加权系数。 既可避免计算高阶导数，又可提高数值积分的精度，这就是Runge-Kutta法的基本思想。
3.2.1 Runge-Kutta 数值积分公式的推导 考虑如下一阶微分方程 假定 是(3.12)式的解析解。将 展成Taylor级数 其中
于是 其中 为了避免计算 等导数项，将 写成 如下线性组合形式 其中 称为阶数， 待定系数， 由下式决定 且定义
下面针对 r的取值进行讨论。 (1) , 此时 ,式(3.15)成为 取 即得一阶RK公式，它就是Euler公式。换句话说，Euler公式是RK公式的特例 。
(2) 由(3.16)知 将 在点 展成Taylor级数
将(3.19)代入到(3,18)，然后再将(3.18)代入(3.15)，得将(3.19)代入到(3,18)，然后再将(3.18)代入(3.15)，得
将(3.20)与(3.14)逐项进行比较，令其对应项系数相等，可得将(3.20)与(3.14)逐项进行比较，令其对应项系数相等，可得 (3.21)是一个不定方程组，它有无穷多个解。
取 , 可得 取 可得
取 可得 式(3.24)正好是改进Euler公式。
(3) 按前面的推导方法可得常用的3阶Runge-Kutta公式
(4) 可得4阶Rung-Kutta公式(简称RK4公式)如下 称 为第 个Runge-Kutta系数。
RK法的特点： 1 需要存储的数据少，占用的存储空间少； 2 只需知道初值，即可启动递推公式进行计算，可自启动； • 容易实现变步长运算。 4 每积分一步需要计算多次右函数，计算量大。
3.2.2 四阶Runge-Kutta法的向量公式 对于高阶系统： 用向量形式表示 阶动力学系统的微分方程或状态方程。 其中 是 维状态向量； 是维向量函数， 而
四阶Ruung-Kutta的向量表示为 其中 是微分方程组中的第 个方程的第 个RK系数。
为了应用上的方便，将(3.28)具体列写如下： 其中 为系统阶数， 为递推下标。
例 3.2已知系统方程 取步长 ，计算 时的 的值 解：状态方程 （1） 所有变量（方程）的第一个RK系数
