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导入 新课. . . . . 椭 圆. 抛物线. 双曲线. 观察与分析. 在生活中存在着各式各样的抛物线，你能说出抛物线存在哪些几何性质吗？. 下面让我们一起学习和研究抛物线的简单几何性质 ……. 圆锥曲线与方程. 2.3.2 抛物线的简单几何性质. 教学目标. 知识与能力：. 了解用方程的方法研究图形的对称性；. 理解抛物线的范围、对称性及顶点、离心率的概念；. 掌握抛物线的标准方程、会用抛物线的定义解决实际问题. 过程与方法：. 情感态度与价值观：. 注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重培养学生的能力；.

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Presentation Transcript

  1. 导入新课     椭 圆 抛物线 双曲线

  2. 观察与分析 在生活中存在着各式各样的抛物线，你能说出抛物线存在哪些几何性质吗？

  3. 下面让我们一起学习和研究抛物线的简单几何性质……下面让我们一起学习和研究抛物线的简单几何性质……

  4. 圆锥曲线与方程

  5. 2.3.2 抛物线的简单几何性质

  6. 教学目标 知识与能力： 了解用方程的方法研究图形的对称性； 理解抛物线的范围、对称性及顶点、离心率的概念； 掌握抛物线的标准方程、会用抛物线的定义解决实际问题.

  7. 过程与方法： 情感态度与价值观： 注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重培养学生的能力； 注重探索能力的培养. 在合作、互动的教学氛围中，培养学生科学探索精神，激励学生创新； 让学生参与利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣.

  8. 教学重难点 重点： 难点： 认识生活中的抛物线及其特点. 掌握抛物线的简单几何性质.

  9. 前面我们已经学习了椭圆,双曲线的性质,你能说出抛物线的性质与它们的性质有什么区别吗？前面我们已经学习了椭圆,双曲线的性质,你能说出抛物线的性质与它们的性质有什么区别吗？ 分析:经过上面的学习我们知道,抛物线只有一个焦点、一个顶点一条对称轴、一条准线;它没有中心.通常抛物线称为无心圆锥曲线，而椭圆和双曲线称为有心圆锥曲线.

  10. 抛物线y2=2px(p>0)与椭圆、双曲线一样同样有许多重要的性质,在这里我们一起研究它的几个简单几何性质.抛物线y2=2px(p>0)与椭圆、双曲线一样同样有许多重要的性质,在这里我们一起研究它的几个简单几何性质. 一.范围： 因为p>0,由y2=2px(p>0)可知，对于此抛物线上的点M (x , y), x≥0,所以这条抛物线在y轴的右侧,开口方向与x轴正向相同;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.

  11. 二. 对称性： 以-y代y,方程y2=2px(p>0)不变,所以这条抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 三. 顶点： 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y2=2px(p>0)中,当y=0时,x=0,因此抛物线y2=2px(p>0)的坐标的顶点就是坐标的原点.

  12. 四.离心率： 抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示.由定义可知,e=-1.

  13. 例1： 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M（2，-2 ）,求它的标准方程. 解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点,并且经过点M（2,-2 ）,所以,可以设它的标准方程为 y2=2px（p>0） 因为点M在抛物线上，所以（-2 ）2=2p·2， 即 p=2. 因此,所求的抛物线的标准方程为y2=4x

  14. y M x O F 例2： 如图,M是抛物线有y2=4x上一点,F是抛物线的焦点,以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM=60°,求|FM|. 解：因为∠xFM=60°,所以线段FM所在直线的斜率为k=tan 60°= ,因此，直线FM的方程为y= （x-1）. ｛ y= （x-1）,① 与抛物线y2=4x联立，得 y2=4x. ②

  15. y 继续解答 M x O F 把①代入②得 3x2-10x+3=0， 解得 x1= , x2=3. 把x1= ，x2=3分别代入①得 y1= ，y2=2 . 由图可知（ ， ）不符合题意，所以M点的坐标为（3，2 ）. 因此，|FM|= = 4.

  16. B y x ● O F 例3： A 如图,直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A,B两点,求证:OA⊥OB. 证明：将y=x-2代入y2=2x中，得 （x-2）2=2x. 化简得 x2-6x+4=0， 解得 x=3± ， 则 y=3± -2=1± .

  17. 继续解答 因为kOB= ，kOA= ， 所以kOB · kOA= × = =-1 所以OA⊥OB.

  18. 解题技巧的小小总结： 一. 已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x(或y)则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向. 二. 由已知条件求抛物线标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p.

  19. 课堂小结 一.与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质如下： 1.抛物线只位于半个坐标平面内，它可以无限延伸,但没有渐近线. 2.抛物线只有1条对称轴，无对称中心. 3.抛物线只有1个顶点、1个焦点、1条准线. 4.抛物线的离心率是确定的，其值为1．

  20. 二. 简单的定义： 1.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的对称轴. 2.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 3.抛物线上的动点M到焦点的距离和它到准线的距离比，叫做抛物线的离心率.

  21. 三. 当抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)时，它具有如下几何性质： 1.它的范围为向右上方和右下方无限延伸. 2.它关于x轴对称. 3.它的顶点就是坐标原点. 4.它的离心率e=1.

  22. 高考链接 1.(2008广东文、理)设b>0,椭圆方程为 ，抛物线方程为x2=8（y-b）.如图4所示,过点F(0,b+2)作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经 过椭圆的右焦点F1.

  23. (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.

  24. 得 解：解方程组 所以点G的坐标为G(4,b+2), 由x2=8（y-b）,得y= x2+b，求导数得 yˊ= x， 于是,抛物线y= x2+b在点G的切线l的斜率为 又椭圆 中 , 即c=b,所以椭圆的右焦点为F1（b,0）由切线l过点F1,可知 ，解得b=1.

  25. 继续解答 所以满足条件的椭圆方程和 抛物线方程分别为 和 （2）在抛物线上存在点P,使得△ABP为直角三角形.且这样的点有4个. 证明：分别过点A、B做y轴的平行线,交抛物线于M,N点,则∠MAB=90°,∠NBA=90°, 显然M,N在抛物线上,且使得△ABM,△ABN为直角三角形.

  26. 若以∠APB为直角,设点P坐标为 ,A、B两点的坐标分别为 和 , . 关于x2的二次方程有一大于零的解， ∴x有两解,即以∠APB为直角Rt△APB的有两个, 综上所述, 满足条件的点共有4个.

  27. 2. (2008陕西文、理)已知抛物线:y=2x2,直线y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N． （Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行; （Ⅱ）是否存在实数k使 ,若存在,求k的值;若不存在,说明理由．

  28. 继续解答 y A M 2 B 1 N O x 1 解:（Ⅰ）如图，设A(x1,2x12)，B(x2,2x22)，把y=kx+2代入y=2x2得2x2-kx-2=0， 由韦达定理得,x1+x2= , x1x2=-1, ∴ ∴ N的点坐标为 ， 将y=2x2代入上式得，

  29. ∵直线l与抛物线C相切, ∴m=k,即l//AB. （Ⅱ）假设存在实数k ,则NA⊥NB, 又∵ M是AB的中点, 由（Ⅰ）知

  30. ∵MN ⊥ x轴, 又 ,解得 k=±2. 即存在k=±2，使

  31. 随堂练习 1.填空题： （1） 抛物线y2=4x的焦点F,准线l交x轴于R,过抛物线上一点P（4，4）作于PQ ⊥ l于Q,则S梯PQRF=____________. 14 （2）若抛物线y2=2x上两点 A（x1，y1）,B（x2,y2）关于直线y=x+m对称,则 ,则m= ________.

  32. 2.选择题： （1）抛物线上有A、B、C三点横坐标依次为1, 2 ,3在轴一点D纵坐标为6,则四边形ABCD为（ ） A. 正方形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 任意四边形 C （2）已知A、B是抛物线y2=2px（p>0）上两点,O为原点,若|OA|=|OB|且△OAB的重心恰为抛物线的焦点,则AB的直线方程为（ ） A. x=p B. x=3p C. x= p D. x= p D

  33. 3.解答题： （1）抛物线y2=4x上两定点A、B（A在轴上方,B在轴下方）F为焦点,|AF|=2,|BF|=5,P为抛物线AOB这一段上一点,求S△PAB面积最大值. 解：由已知F（1,0）准线x=-1，|AF|=2 ∴xA+1=2 ∴A（1,2） |BF|=5,xB+1=5 ∴B（4，-4） AB=3 l AB：2x+y-4=0 y0∈（-4，2）

  34. 继续解答 ∴y0=-1 dMAX= ∴

  35. （2）设抛物线的顶点为O,经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线与B,C两点,经过抛物线上的一点P且垂直于轴的直线与轴交于点Q.求证:|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项.（2）设抛物线的顶点为O,经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线与B,C两点,经过抛物线上的一点P且垂直于轴的直线与轴交于点Q.求证:|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项. 证明：设抛物线方程为y2=2px,则点B的坐标为（ ,p）,点C的坐标为（ ,-p）,设点P的坐标为（x,y）,则点Q的坐标为（x,0）. 因为|PQ|=|y|= ,|BC|=2p,|OQ|=x,所以|PQ|2=|BC||OQ|,即|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项.

  36. （3）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2px（p>0）的焦点,另外两个顶点在抛物线上,求这个等边三角形的边长.（3）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2px（p>0）的焦点,另外两个顶点在抛物线上,求这个等边三角形的边长. 解：设等边三角形的另外两个顶点分别是A,B,其中点A在x轴上方.直线FA的方程为 与y2=2px联立,消去x,得 y2-2 py-p2=0. 解方程,得y1=( +2)p，y2=( -2)p.

  37. 继续解答 x1= 把y1=( +2)p代入 ,得 x2= 把y2=( -2)p代入 ,得 所以，满足条件的点A有两个：A1( ,( +2)p), A2( ,( -2)p). 根据图形的对称性，可得满足条件的点B也有两个：B1( ,-( +2)p), B2( ,-( -2)p). 所以，等边三角形的边长是|A1B1|=2( +2)p，或者|A2B2|=2(2- )p.

  38. 习题解答 y y2=4x y2=2x y2=x y2= x x 1.（1）y2= x; （2）x2=20y; （3）y2=-16x; （4）x2=-32y. 2.图形右图,x的系数越大,抛物线的开口越大.

  39. 3. 解：过点M(2,0)且斜率为1的直线l的方程为y=x-2， 与抛物线的方程y2=4x联立 ｛ y=x-2, y2=4x. x2=4-2 ， ｛ ｛ x1=4+2 ， 解得 y2=2-2 . y1=2+2 ； 设A（x1，y1），B（x2，y2），则 |AB|=

  40. 4. 解:设直线AB的方程为x=a（a>0）.将x=a代入抛物线方程y2=4x,得 y2=4a, 即y=±2 . 因为|AB|=2|y|=2×2 =4 =4 , 所以a=3. 因此，直线AB的方程为x=3.

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