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一、二阶线性微分方程解的结构

第四模块 微积分学的应用. 第十三节  二阶常系数线性微分方程. 一、二阶线性微分方程解的结构. 二、二阶常系数线性微分方程的解法. 三、应用举例. 一、二阶线性微分方程解的结构. 二阶微分方程的如下形式. y  + p ( x ) y  + q ( x ) y = f ( x ). f ( x ) 称为 自由项 , 当 f ( x ) 0 时 , 称为 二阶线性非齐次微分方程 ,. 称为二阶线性微分方程 , 简称 二阶线性方程. 简称 二阶线性非齐次方程. 当 f ( x ) 恒为 0 时 , 称为 二阶线性齐次微分方程 ,.

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  1. 第四模块 微积分学的应用 第十三节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶线性微分方程解的结构 二、二阶常系数线性微分方程的解法 三、应用举例

  2. 一、二阶线性微分方程解的结构 二阶微分方程的如下形式 y + p(x)y + q(x)y = f (x) f(x) 称为自由项,当f (x) 0 时,称为二阶线性非齐次微分方程, 称为二阶线性微分方程,简称二阶线性方程. 简称二阶线性非齐次方程. 当f (x) 恒为0 时,称为二阶线性齐次微分方程, 简称二阶线性齐次方程. 方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都是自变量的已知连续函数. 这类方程的特点是:右边是已知函数或零,左边每一项含 y或 y或 y, 且每项均为 y或 y或 y 的一次项, 例如 y+xy +y = x2就是二阶线性非齐次方程. 而 y+x(y)2+y = x2 就不是二阶线性方程.

  3.   定理1如果函数 y1与 y2是线性齐次方程的两个解, 则函数 y = C1 y1 + C2 y2 仍为该方程的解, 其中C1,C2 是任意常数. 证 因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个解, 所以有 与

  4. 于是有 y + p(x)y + q(x)y = 0 所以 y = C1y1 + C2y2 是 y + p(x)y + q(x)y =0 的解.

  5. 定义 设函数 y1(x) 和 y2(x)是定义在某区间 I上的两个函数, 使 如果存在两个不全为 0 的常数 k1和 k2, k1 y1(x) +k2 y2(x)= 0          则称函数 y1(x) 与 y2(x) 在区间 上是线性相关的,否则称为线性无关. 在区间 I上恒成立. 我们往往采用另一种简单易行的方法,即看它们的比是否为常数, 考察两个函数是否线性相关, 事实上,当 y1(x) 与 y2(x) 线性相关时,有 k1 y1 +k2 y2 = 0, 其中 k1, k2 不全为 0, 不失一般性,

  6. 即 y1与 y2之比为常数. 反之,若y1与 y2之比为常数, 所以 y1与 y2线性相关. 则 y1 = l y2,即 y1 -l y2 = 0. 因此,如果两个函数的比是常数,则它们线性相关;                     例如函数y1 = ex,y2 = e -x, 如果不是常数,则它们线性无关.                 所以,它们是线性无关的.

  7.   定理2 如果函数 y1与 y2是二阶线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解, 则 y = C1 y1 + C2 y2 是该方程的通解, 其中 C1, C2为任意常数. 证 因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解, 所以,由定理 1 知 y = C1 y1 + C2 y2 也是该方程的解. 又因为 y1 与 y2 线性无关,即 y1 与 y2 之比不为常数, 所以它们中任一个都不能用另一个 (形如 y1 =ky2 或 y2 =k1 y)来表示. 故C1 与C2不能合并为一个任意常数, 因此y = C1 y1 + C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解.

  8.   定理3 如果函数 y*是线性非齐次方程的一个特解, Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解, 则 y = Y + y*, 是线性非齐次方程的通解. 证 因为 y*与 Y 分别是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 和线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y =0 的解, 所以有 y* + p(x)y* + q(x)y*= f (x), Y + p(x)Y + q(x)Y =0 .

  9. 又因为 y =Y +y*, 所以 y = Y +y*, y + p(x)y + q(x)y = (Y +y* ) + p(x)(Y +y* ) + q(x)(Y +y*) = (Y + p(x)Y + q(x)Y) + ( y*  + p(x) y*+ q(x)y*) = f (x).

  10. 这说明函数 y = Y + y*是线性非齐次方程的解, 又 Y 是二阶线性齐次方程的通解,它含有两个任意常数, 即 y = Y + y* 是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x)的通解. 故 y = Y + y* 中含有两个任意常数. 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为: (1)求线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的线性无关的两个特解 y1 与 y2, 得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2. (2)求线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的一个特解 y*. 那么,线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*.

  11. 是方程 ① 的特解. 定理4 设二阶线性非齐次方程为 y + p(x)y + q(x)y = f1(x) + f2(x), ① ② y + p(x)y + q(x)y = f1(x), 和 y + p(x)y + q(x)y = f2(x) ③ 的特解,

  12. 证 因为 y1*与 y2*分别是② 与 ③ 的特解, 所以有 y1* + p(x)y1* + q(x)y1*= f 1(x), y2* + p(x)y2* + q(x)y2*= f 2(x) . 与 于是有 = [y1* + p(x)y1* + q(x)y1*] + [y2* + p(x)y2* + q(x)y2*] = f 1(x) +f 2(x) , 即 y1* + y2*满足方程 ①,

  13. 二、二阶常系数线性微分方程的解法 如果二阶线性微分方程为 y + py + qy = f(x) , 则称该方程为二阶常系数线性微分方程. 其中 p、 q 均为常数,

  14. 1.二阶常系数线性齐次方程的解法 设二阶常系数线性齐次方程为 y + py + qy =0 . ④ 我们可以猜想该方程具有 y = erx 形式的解,其中 r为待定常数. 考虑到左边 p,q 均为常数,  将 y = rerx, y = r2erx及 y = erx 代入上式, 得 erx (r2 + pr + q) = 0 . 由于erx 0,因此,只要 r满足方程 r2 + pr + q = 0, ⑤ y = erx 就是④式的解. 即 r是上述一元二次方程的根时,                   特征方程根称为特征根. 方程⑤称为方程④的特征方程.

  15. 1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2, 即 r1r2. 都是 ④的解, 那么,这时函数 所以 y1与 y2线性无关, 因而它的通解为 2 特征方程具有两个相等的实根, 这时,由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解 y1 = erx. 还需再找一个与 y1 线性无关的特解 y2, 为此,设 y2 = u(x)y1, 将 y2及其一阶、二阶导数 y2 = (uerx) = erx(u(x) + ru(x)), 其中 u(x)为待定函数. y2 = erx (u(x) + 2ru(x) + r2u(x)), 代入方程 y+ py + qy = 0 中,得

  16. 注意到 是特征方程的重根, 所以有 r2 +pr +q = 0 及 2r+p = 0. 且 erx 0, 因此只要 u(x) 满足 为简便起见,取方程 u(x) = 0 的一个解 u = x, 则 y2 = uerx就是 ④式的解, 于是得到方程 ④且与 y1 = erx线性无关的解 y2 = xerx.  因此,④式的通解为

  17. 3 特征方程具有一对共轭复根 r1 = a + ib 与 r2 = a – ib . 这时有两个线性无关的特解 y1 = e(a + ib )x 与 y2 = e(a - ib )x. 为了便于在实数范围内讨论问题, 这是两个复数解, 我们再找两个线性无关的实数解. 由欧拉公式 (这公式我们将在无穷级数章中补证),可得

  18. 于是有 由定理 1 知,以上两个函数 eaxcosbx 与 eax sinbx均为 ④ 式的解,  因此,这时方程的通解为 且它们线性无关.

  19. 上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法,其步骤是:上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法,其步骤是: (1)写出所给方程的特征方程; (2)求出特征根; (3)根据特征根的三种不同情况,写出对应的特解,并写出其通解.

  20. 例1求方程 y - 2y - 3y = 0的通解. 解该方程的特征方程为 r2- 2r – 3 = 0, 它有两个不等的实根 r1 = - 1, r2 = 3, 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e-x与 y2 = e3x, 所以方程的通解为

  21. 例2求方程 y - 4y + 4y = 0的满足初始条件 y(0) = 1, y(0) = 4 的特解. 它有重根 r = 2. 解该方程的特征方程为 r2- 4r+ 4 = 0, 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x与 y2 = xe2x, 所以通解为 求得 将 y(0) = 1,y(0) = 4 代入上两式,得 C1 = 1,C2 = 2, 因此,所求特解为 y =(1 + 2x)e2x.

  22. 例3求方程 2y + 2y + 3y = 0的通解. 解该方程的特征方程为 2r2+ 2r+ 3 = 0,它有共轭复根 对应的两个线性无关的解为 所以方程的通解为

  23. 例4求方程 y + 4y = 0的通解. 解该方程的特征方程为 r2+ 4 = 0,它有共轭复根 r1,2 =  2i. 即a = 0,b = 2.  对应的两个线性无关的解y1 = cos 2x. y2 = sin 2x. 所以方程的通解为

  24. 2.二阶常系数线性非齐次方程的解法 1 自由项f (x) 为多项式 Pn(x). 设二阶常系数线性非齐次方程为 y +py +qy = Pn(x), ⑥ 因为方程中 p、q 均为常数且多项式的导数仍为多项式, 其中 Pn(x) 为 x的 n次多项式. 所以可设 ⑥ 式的特解为 当原方程 ⑥中y项的系数 q 0 时, k取0; 其中 Qn(x) 与 Pn(x) 是同次多项式, 当 q= 0,但p 0 时, k取1; 当 p= 0, q= 0 时,k 取 2.

  25. 例5求方程 y - 2y + y= x2的一个特解. 解因为自由项 f (x)= x2是 x 的二次多项式, 且 y的系数 q = 1  0,取 k = 0 . 所以设特解为 则 代入原方程后,有

  26. 比较两端 x同次幂的系数,有 解得 A = 1,B = 4,C = 6. 故所求特解为

  27. 例6求方程 y +y = x3 – x +1 的一个特解. 解因为自由项 f (x)= x3 – x +1 是一个 x 的三次多项式, 且 y的系数 q = 0, p = 1  0,取 k = 1. 所以设方程的特解为 则 代入原方程后,有

  28. 比较两端 x同次幂的系数: 解得 故所求特解为

  29. 2 自由项f (x) 为 Aeax型 设二阶常系数线性非齐次方程为 y +py +qy = Aeax, ⑦ 其中 a,A均为常数.   由于 p,q为常数,且指数函数的导数仍为指数函数, 因此,我们可以设 ⑦ 的特解 当a不是 ⑦式所对应的线性齐次方程的特征方程r2 + pr + q = 0 的根时,取k = 0; 其中 B 为待定常数, 当 是其特征方程重根时,取k = 2. 当a是其特征方程单根时,取k = 1;

  30. 2 = B . 7 例7求方程 y +y + y= 2e2x的通解. 解a = 2 它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根,取 k = 0, 所以,设特解为 则 代入方程,得 故原方程的特解为

  31. 1 = B , 4 例8求方程 y + 2y - 3y= ex的特解. 解a = 1 是特征方程 r2 + 2r- 3 = 0 的单根,取 k = 1, 所以,设特解为 则 故原方程的特解为 代入方程,得

  32. 3 自由项f (x) 为 eax(Acos wx + Bsin wx)型 设二阶常系数线性非齐次方程为 ⑧ y +py +qy = eax (Acos wx + Bsin wx), 其中 a,A,B均为常数.   由于 p,q为常数,且指数函数的各阶导数仍为指数函数, 正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数, 因此, 我们可以设 ⑧有特解 其中 C,D为待定常数. 当a + wi不是⑧式所对应的齐次方程的特征方程的根时, 是根时, 取k = 0, 取k = 1, 代入⑧ 式,求得 C及 D.

  33. 例 9求方程 y + 3y -y= ex cos 2x的一个特解. 解自由项 f (x) = ex cos 2x为 eax(Acoswx + Bsinwx)型的函数, 且 a+wi=1 + 2i,它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程 r2+ 3r – 1 = 0 的根, 取 k = 0,所以设特解为 则

  34. 代入原方程,得 比较两端 cos 2x 与 sin 2x 的系数,得 解此方程组,得 故所求特解为

  35. 例10求方程 y +y= sin x的一个特解. 解自由项 f (x)= sin x为 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函数,且 a=0,w = 1, 且 a+wi=i是特征方程 r2 + 1 = 0 的根, 取 k = 1,所以,设特解为 则 代入原方程,得

  36. 比较两端 sinx与 cosx的系数,得 故原方程的特解为 而对应齐次方程 y +y = 0 的通解为 Y = C1cosx + C2sinx. 故原方程的通解为

  37. 例 11方程 y + 4y= x +1 + sinx的通解. 解自由项 f (x)= x +1 + sinx可以看成 f1(x)= x +1 和 f2(x)= sin x之和, 所以分别求方程 ⑨ y + 4y= x +1, ⑩ 和 y + 4y= sin x . 的特解. 方程 ⑨的特解易求得, 设方程⑩的特解为

  38. 代入⑩,得 3Asin x = sin x. 所以 得原方程的特解

  39.   原方程所对应的线性齐次方程为y + 4y= 0,其通解为 Y = C1cos 2x + C2sin 2x, 故原方程的通解为

  40. O 三、应用举例 例12弹簧振动问题   设有一个弹簧上端固定,下端挂着一个质量为 m 的物体,     当弹簧处于平衡位置时,物体所受的重力与弹性恢复力大小相等,方向相反, 设给物体一个初始位移 x0初速度 v0, 则物体便在其平衡位置附近上下振动. 已知阻力与其速度成正比, 试求振动过程中位移 x的变化规律.

  41. 解 建立坐标系,平衡位置为原点, 铅垂方向为 x 轴的正向,则物体位移 x是时间 t的函数 x = x(t). 物体在振动过程中,受到两个力的作用: 弹性恢复力 f1 与阻力 f2, 由胡克定律知, f1= -kx, 其中 k为弹性系数大于 0, 负号表示弹性恢复力与位移 x方向相反; 阻力 f2与速度 v成正比, f2= -mv, 其中 m 为比例系数大于 0 (或称阻尼系数 ), 负号表示阻力 f2与速度 v方向相反, 根据牛顿第二定律 F = ma,知 ma = -kx – mv, 其中 a为加速度, v为速度,

  42. 那么,上式变为                     则上式方程可表示为 这里 n,w为正常数, 称为振动的微分方程, 是一个二阶常系数线性齐次方程, 其根为 它的特征方程为 r2 + 2nr + w2 = 0,

  43. 由题意列出初始条件 于是,上述问题化为初值问题:

  44. 下面分三种情况来讨论 1 大阻尼情形,即 n > w . 是两个不相等的实根. 所以方程的通解为 2 临界阻尼情形,即 n = w. 这时,特征根 r1 = r2 = - n,所以方程的通解为

  45. 3 小阻尼情形,即 n < w . 这时,特征根为共轭复数 所以方程的通解为 上式也可写成

  46. 对于 1, 2 情形,x(t) 都不是振荡函数, 即物体随时间 t 的增大而趋于平衡位置. 且当 t +  时, x(t)  0,  对于 3 的情形,虽然物体的运动是振荡的,  但它仍随时间 t的增大而趋于平衡位置,  总之,这一类振动问题均会因阻尼的作用而停止,            称为弹簧的阻尼自由振动.

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