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概率 论与数理 统计 第七讲 数学期望和方差

概率 论与数理 统计 第七讲 数学期望和方差. 第四章 随机变量的数字特征. 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差和相关系数 4.4 矩、协方差矩阵. p(x). f ( x ). o. o. x. x. 前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量 X 的概率分布，那么 X 的全部概率特征也就知道了. 　　但在实际问题中，概率分布一般是较难确定的 . 而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征 就够了. 4.1 数学期望.

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概率 论与数理 统计 第七讲 数学期望和方差

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Presentation Transcript

  1. 概率论与数理统计第七讲 数学期望和方差

  2. 第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差和相关系数 4.4 矩、协方差矩阵

  3. p(x) f (x) o o x x 前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X 的概率分布，那么X 的全部概率特征也就知道了. 　　但在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.

  4. 4.1 数学期望 例如，评定一批灯泡的质量,主要应看这批灯泡的平均寿命和灯泡寿命相对于平均寿命的偏差．平均寿命越长,灯泡的质量就越好,灯泡寿命相对于平均寿命的偏差越小,灯泡的质量就越稳定． 随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一. 它的定义来自习惯上的平均值概念.

  5. 一.数学期望的定义 例1将一枚骰子掷100次，各点数出现的次数与频率如下,求每次投掷的平均点数．

  6. 每次投掷的平均点数 平均值＝以频率 为权的加权平均 频率和 概率的关系 以概率为权 的加权平均 抽象出 试验次数很大时, 频率会接近于概率pk 离散型变量数学期望的定义

  7. 数学期望——描述随机变量取值的平均特征

  8. 几点说明: (2) 数学期望E(X)是一个常数,而非变量．它既不是随机变量所有可能取值的算术平均值，也不是随机变量的有限次观测值的算术平均值．它是一种以概率为权的加权平均值,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值，具有重要的统计意义． 假设 随机变量 X 的算术平均值为 X 的期望为

  9. 例2谁的技术比较好? 甲射手 乙射手 试问哪个射手技术较好? 解 故甲射手的技术比较好.

  10. 小面积近似为 f (x) x x1x2…xk… X pk f (x1)x1 f (x2)x2…f (xk)xk… 设X 是连续型随机变量,其密度为 f (x), 在数轴上任取很密的分点 x1<x2<x3< …,则 X 落在小区间[xk , xk+xk)内的概率是 由于 xk 与 xk+xk 很接近, 区间[xk , xk+xk )中的值可以用xk 来近似代替. 因此 X ≈取值xk、概率为 的离散型随机变量, 它的数学期望是 这启发我们引出如下连续型随机变量的数学期望定义：

  11. 定义

  12. 例3.若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为例3.若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为 试求E(X). 解

  13. 二.几个重要随机变量的期望 1.0-1分布的数学期望 E(X)=p*1+(1-p)*0=p

  14. 2. 二项分布B(n, p)

  15. 3.泊松分布

  16. 4. 均匀分布U(a, b)

  17. 5.指数分布

  18. 6. 正态分布N(, 2)

  19. -1 0 1 X Pk 三.随机变量函数的期望 例4：设随机变量X的分布律为 求随机变量Y=X2的数学期望 1 0 解: Y Pk

  20. 设已知随机变量X 的分布 如何计算X的某个函数g(X)的期望 ？ 　一种方法是: g(X)也是随机变量,它的分布可以由已知的X 的分布求出来 .一旦知道了g(X) 的分布, 就可以按照期望定义把 E[g(X)] 计算出来 . 　是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？ 下面的定理指出答案是肯定的.

  21. 定理1若 X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则Y=g(X)的期望E(g(X))为 推论:若 (X,Y)P{X=xi ,Y=yj,}=pij, i,j=1,2, … , 则Z= g(X，Y)的期望

  22. 例5设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY) 解:

  23. 例6：设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量例6：设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量 Y=aX+b的数学期望(其中a>0) 解： Y=ax+b关于x严单，反函数为 Y的概率密度为

  24. 定理2若X~f(x), -<x<, 则Y=g(X)的期望 推论 若(X, Y) ~f (x, y), -<x<, -<y<, 则Z=g(X, Y)的期望

  25. 例7长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间例7长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间 解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则 =10分25秒

  26. 例8设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)

  27. 四.数学期望的性质 1. E(c)=c,c为常数; 2. E(cX)=cE(X), c为常数; 3. E(X+Y)=E(X)+E(Y); 4. 若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).

  28. 3. E(X+Y)=E(X)+E(Y); 证明:设(X,Y)~f(x,y)

  29. 4. 若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y). 注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y独立 证明:设(X,Y)~f(x,y)

  30. 例9. 设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每100个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数 解:设Xj为第j组的化验次数， X为1000人的化验次数，则 Xj 1 101 Pj

  31. 例10.若X~B(n,p),求E(X) 解:设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则

  32. 4.2 方差 甲仪器测量结果 较好 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图： 测量结果的均值都是 a 乙仪器测量结果 你认为哪台仪器好一些呢？ 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近

  33. 中心 中心 乙炮 又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 乙炮射击结果 甲炮射击结果 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .

  34. 一. 定义与性质 1.定义 若E(X2)存在，则称 E{[X-E(X)]2 } 为随机变量 X的方差，记为D(X), 或σ2. 称 为随机变量X的标准差 可见

  35. 2. 推论D(X)=E(X2)-[E(X)]2. 证明: D(X)=E{[X-E(X)]2 }

  36. 说明(1) 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 ，方差越小，X的取值集中在均值的附近；方差越大，X的取值越分散． (2) 由于标准差与X具有相同的度量单位，在实 际问题中经常使用. 方差是衡量随机变量取值波动程度的一个数字特征。

  37. 例1：设随机变量X的概率密度为 求D(X),D(X2)

  38. 3. 方差的性质 (1) 若C是常数，则有D(C)=0, 反之，若D(X)=0，则存在常数C，使 P{X=C}=1, 且C=E(X); (2) D(aX)=a2D(X), D(a+X)=D(X), a为常数； 证明:

  39. (3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y); 证明: X与Y独立

  40. 二.几个重要随机变量的方差 1. 二项分布B(n, p)：

  41. 解法二: 设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则

  42. 2. 泊松分布π()： 由于 或 两边对求导得 或

  43. 3. 均匀分布U(a, b)：

  44. 4.指数分布：

  45. 5. 正态分布N(, 2)：

  46. 三.切比雪夫不等式 若随机变量X的期望和方差存在，则对任意0，有 这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。 它有以下等价的形式：

  47. 切比雪夫不等式证明： 若随机变量X的期望和方差存在，则对任意0，有

  48. 例2.已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。例2.已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。 解:由切比雪夫不等式 令

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