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离散数学 DISCRETE MATHEMATICS

离散数学 DISCRETE MATHEMATICS. 教师 : 石兵 Email:shibing@cs.scu.edu.cn. 二零一三. 第七节 环和域. 一、环的概念 1 、定义: 设  R , + ,* 是含两个二元运算 的代数系统,如果 ①  R , +  是加群 ( 交换群 ) ; ②  R ,* 是半群; ③ 运算“*”对于“ +” 可分配,即  a 、 b 、 cR ,.

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  1. 离散数学 DISCRETE MATHEMATICS 教师:石兵 Email:shibing@cs.scu.edu.cn 二零一三

  2. 第七节 环和域 一、环的概念 1、定义: 设 R,+,* 是含两个二元运算 的代数系统,如果 ①  R,+ 是加群(交换群); ②  R,* 是半群; ③ 运算“*”对于“+”可分配,即  a、b 、cR,

  3. a* ( b+ c) = (a* b) + (a* c), ( b+ c)* a = (b*a) + (c * a ), 则称 R,+,* 是环。 2、常见环的例子 ① 整数集合 I上 的代数系统  I,+,   是环, 称为整数环。 ② 有理数集合Q上 的代数系统 Q,+,  是 环,称为有理数环。

  4. ③ 实数集合R上 的代数系统  R,+,   是 环,称为实数环。 ④ 整数集模 n剩余类代数系统 In ,, 是 环,称为 模n剩余类环。 3、环中运算 • 在环R,+,*中,加群R,+的幺元记为, 元素 a的加法逆元记为–a,并把a+(–b)简记为 a–b。因此在环中a–a= ,a–b=c  a=b+ c。(移项法则)

  5. 在环 R,+,* 中,如果半群 R,* 存在 幺元,则记为 e;如果元素 a存在逆元,则 记为 a–1 。 定理 在环 R,+,* 中,运算“+”的幺元 是运算“*”的零元。 证明要点  a R,因为  + = , a* =a*(+)= a* + a* ,即a* =  。

  6. 定理 在环 R,+,*中,下述关系式成立: ① a*(–b) =(–a)*b= – a*b , ② a*(b–c) =a*b – a*c。 证明要点:对于①,只要证明a*(–b)和(–a)*b 都是a*b的“+”运算逆就行了。例如 a*b+ a*(–b)=a*(b–b)= a* =  。 对于②, a*(b–c) = a*b+a*(–c) = a*b – a*c.

  7. 4、环中零因子 定义:如果环 R,+,* 中非零元a、b满足 a*b= ,则称 a和 b是R中的零因子。 例:在模6剩余类环  I6 ,, 中,[0]是 零元,因为[2][3]=[0]、[4][3]=[0],因此 [2]、[3]、[4]都是环中的零因子。

  8. 二、整环 定义:如果环 R,+, * 中运算“* ”可交 换、有幺元e、且无零因子,则称该环为整环。 • 按定义,意味着整环是含幺环、交换环、和 无零因子环。 例:整数环 I,+,   是整环。因为整数的乘 法运算“”满足可交换、有幺元1,并且两个 整数之积 i j=0时,必然 i=0或 j=0。

  9. 类似可证明,有理数环、实数环都是整环。 • 整数环是无限整环的代表。 例:素数模 p剩余类环 Ip,,是整环。 因为首先运算可换、有幺元[1]。其次, 无零因子。如果[a][b]=[0]、那么ab是p的 倍数,从而要么[a]=[0],要么[b]=[0]。 • 素数模 p剩余类环是有限整环的代表。

  10. 三、域 1、定义:如果 R,+,*是整环,并且 R –{}中每元关于运算“* ”有逆元, 则称该环为域。 • 注意,R,+,*是域也就意味着半群 R –{} ,*也是交换群。 例:I7,,是域。因为首先它是整环,

  11. 有幺元[1], 并且在 I7 –{[0]}中关于运算, 剩 余类[1]和[6]的逆元都是自身,[2]与[4]互为逆 元,[3]与[5]互为逆元。 实际上,素数模 p剩余类环 Ip,,就是域。 也是最具代表性的有限域。 至于无限域,最熟知的包括有理数域Q,+, 和实数域 R,+,   。

  12. 注意,整数环I,+, 是整环,但不是域。 2、定理:有限整环 R,+, * 必是域。 证明要点:设 R –{} ={a1,a2,...,an}, b是 R –{}中任一元素。(思考…..) a) b*R=R b)b*ai = e c) b , ai互相成为逆元

  13. 习题 十六 3 作业:16.2 1 旧书:习题11.7 1 附加题: I,,是整数集上的代数系统, 其中两个运算定义为:  a、bI, a b=a+b –1, a b = a+b– ab, 证明 I,,是含幺元的、交换环。

  14. 第十二章 格 一、格的概念 1、格的代数定义:如果代数系统  L,, 满足 ① 封闭性 :  a、bL, a  b L ,a  b L ② 结合性 : a、b、cL

  15. (a  b)  c = a  (b  c) , (a  b)  c = a  (b  c) ③ 交换性: a、bL , a  b = b  a ,a  b = b  a ④ 吸收性 :  a、bL , a  (a  b) = a ,a  ( a  b) = a 则称  L,, 是格。

  16. 代数格的例子 ① 设A是已知集合,则  2A, ,   是格,称 为幂集格。因为集合运算“”和“ ”满足 这4条性质。 ② 正整数集合I+上定义最大公约数运算gcd和最 小公倍数运算lcm ,则 I+ ,lcm,gcd 是格。 因为gcd和lcm满足封闭性、结合性及交换性 是明显的。

  17. 至于吸收律,首先注意 a、b I+ , a  b=gcd(a, b) lcm(a,b), 因此 lcm(a, gcd(a, b))=a gcd(a, b)/gcd(a,b)=a, gcd(a, lcm(a, b)) = a lcm(a, b)/lcm(a,b)=a。 ③整数集合I上定义求两个数的最大值运算max 和最小值运算min,则 I,max,min 是格。

  18. 因为 max和 min满足封闭性、结合性及交换 性是明显的。 至于吸收律,不管a和 b谁大谁小,都能得出 max(a, min(a, b))=a= min(a, max(a, b) )。 • 注意 由代数格的定义容易得到  L,, 还 满足幂等律,即 a L, a  a=a, a  a = a。 这可利用吸收律得到 :

  19. a  a = a  (a  (a  b )) =a a  a = a  ( a  (a  b )) = a。 2、格的偏序定义:如果偏序集 L,   满足  a、bL,存在最小上界 lub(a, b)和最大 下界 glb(a, b),则称 L,   为偏序格。 • 偏序格的 Hasse 图特点: 例:根据下述偏序集的Hasse图判断是否格?

  20. a c b d e g f 图1 图3 图2

  21. 偏序格的例子 ① 设A是已知集合,则偏序集 2A,   是格, 称为幂集格。因为 X、Y 2A, lub(X, Y) = X  Y, glb(X, Y) = X  Y。 ② 在正整数集合I+上定义偏序 “| ” ,则偏序集  I+ ,|  是格。因为 a、b I+ , lub(a, b) = lcm(a,b), glb(a, b) = gcd(a, b) 。

  22. ③ 整数集合 I上定义偏序 “” (即小于等于关 系),则偏序集 I,   是格。 因为 a、b I,lub(a, b) = max (a, b), glb(a, b) = min(a, b) 。 3、偏序格与代数格的等价性 ① 如果 L,   是偏序格,则可定义代数格  L,, 如下: a、b L,令 a  b= lub(a, b) , a  b= glb(a,b)。

  23. ② 如果 L,, 是代数格,则可定义偏序格  L,   如下: a、b L,令 a  b 当且仅当a  b = b或 a  b = a。 证明:(1)  L,   是偏序集 a).自反性: a a = a => a a b).反对称性:a b且b a b=a b (a b) =b a (交换律) =a

  24. c)传递性: a b 且 b c (=>a c) a c =a (b c) (b c ) =(a b) c (结合律) =b c (a b ) =c (b c ) 2.证明对任意 x,y L=>lub(x,y),glb(x,y) L x (xy) = x (吸收律) y (xy) = y 因此: (xy) 是{x,y}的下界. 设,c是{x,y}的下界,即c x且c y c (x y)= c 因此 x y是{x,y}的最大下界

  25. 二、格的几个式子 设 L,,是格,“”是对应的偏序。利用代数运算和偏序间的转化式,可以证明下述关系式。

  26. 1、如果a  b,则 a  c  b  c, a  c  b  c。 证明要点 因为a  b  a  b = b  a  b = a, 由 (a  c)  ( b  c) = (a  b)  c = b  c , 即 得 a  c  b  c; 由 (a  c)  ( b  c) = (a  b)  c = a  c , 即 得 a  c  b  c。

  27. 2、如果a  b,c  d,则 a  c  b  d, a  c  b  d。 证明要点 由 (a  c)  ( b  d) = (a  b)  (c  d) = b  d , 即得 a  c  b  d;由 (a  c)  ( b  d) = (a  b)  (c  d) = a  c , 即得 a  c  b  d。

  28. 3、如果a  c,b  c,则 a  b  c。 证明要点 因为 (a  b)  c = (a  c)  ( b  c) = c  c = c。 4、如果a  b,a  d,则 a  b  d。 证明要点 因为 a  ( b  d) = (a  b)  (a  d) = a  a = a 。 5、准分配性

  29. ① a  ( b  c)  (a  b)  (a  c), ② (a  b)  (a  c)  a  ( b  c) 。 证明要点 对于①,首先a  (a  b)  (a  c), 其次 ,由 b  a  b及 c  a  c可得到 b  c  (a  b)  (a  c), 两者结合即可。 对于②,由 a  b  a  ( b  c) 和 a  c  a  (b  c) 两者结合即可。

  30. 三、分配格 1、定义: 如果格 L,, 满足 , ① a  ( b  c) = (a  b)  (a  c), ② a  ( b  c) = (a  b)  (a  c) 。 则称 L为分配格。 2、分配格的例子 ① 幂集格 2A, ,   是分配格,因为集 合运算“”和“ ”间满足分配性。

  31. ② 设Dn是由正整数 n的正因子构成的集合, 则因子格 Dn ,lcm,gcd 是分配格。 因为 gcd和 lcm间满足分配性,即 lcm(a, gcd(b, c))=gcd(lcm(a, b), lcm(a, c)) 及 gcd(a, lcm(b, c))=lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))。

  32. ③ 格 I,max,min 是分配格。因为 max(a, min(b, c))=min(max(a, b), max(a, c)) 及 min(a, max(b, c))=max(min(a, b), min(a, c))。 3、非分配格的例子 下面的两个5点格都是典型的非分配格。

  33. 左图中c(b d)=ca=c, (cb) (cd)=e d=d, 右图中b (cd)=be=b, (b c)(b d)=aa=a, 两者均不满足分配律. a a c b c d b d e e 两个5阶禁格

  34. 4、定理 分配格中消去律成立,即当 a  b = a  c, a  b = a  c 时, b = c。 证明b = b  (a  b ) = b  (a  c ) = (b  a)(b  c) = (a  c)(b  c) = c  (a  b) = c  (a  c)= c。

  35. 1、有界格 如果格 L,  存在最大元和 最小元,则称之为有界格。 有限格必是有界格。 有界格的最大元一般用1表示,最小元 用0表示。 例: ① 幂集格 2A, ,   是有界格。 其最大元是A,最小元是。 四、有界格和有补格

  36. ② 因子格  Dn ,lcm,gcd 是有界格,其最大 元是 n,最小元是1。 ③ 两个5点格是有界格。 ④ 格  I,max,min 不是有界格。它既无最 大元,也无最小元。 2、有界格中元素的补元:设格 L,   的最大 元是1,最小元是0。 a L,如果存在b L, 使a  b= 1,a  b= 0 ,则说 b是a 的补元。

  37. 例:幂集格 2{a,b,c}, ,   的补元情况。 {a,b,c} 和 互补; {a,b} 和 {c}互补; {a,c} 和 {b}互补; {b,c} 和 {a}互补. {a,b,c} {a,c} {a,b} {b,c} {a} {c} {b} 

  38. 例:下面 是 5点格的补元情况。 左图中:a和e互补,d和c同与b互补; 右图中:a和e互补,b、c和d都互补。 a a c b c d b d e e 两个5阶禁格

  39. 例:下面是因子格 D12 ,lcm,gcd 中补元情况。 1的补元是12;12的补元是1;3的补元是4; 4的补元是3;2和6都没有补元。 12 6 4 3 2 1

  40. 例:下面是全序格 {1,2,3,4,5},   的 补元情况。 1的补元是5,5的补元是1。 2、3、4无补元。 5 4 3 2 1

  41. 元素a 的补元记为 a,元素的补元可能不唯一。 3、有补格:每个元素都有补元的有界格。 例:幂集格 2{a,b,c}, ,   和 5点格都是 有补格;而因子格 D12 ,lcm,gcd 和全序格  {1,2,3,4,5),   都不是有补格。 可见,格中的分配性和有补性是相互独立的。 4、有补分配格:满足分配性和有补性的格。

  42. 有补分配格又称为布尔代数, 并记为  B,,,¯, 0, 1  。 例: 幂集格 2A, ,   是有补分配格。 ① 定理 有补分配格中每个元素的补元唯一。 证明要点 如果元素 a有两个补元 b和 c, 由补元定义a b= a  c ,a b= a  c。再根 据分配性中的消去律,即得到 b = c。

  43. ② 定理 有补分配格中DeMorgan律成立。即 a b= a  b, a  b = a b。 证明要点:因为 (a b)  (a  b) = (a  b  a) (a  b  b) = 1 , (a b)  (a  b) = (a  a  b) ( b  a  b) = 0。 根据补元的唯一性, a b= a  b。 同理可证另一式。

  44. ③ 定理 任何有限布尔代数都同构于某个 幂集格 2A, ,   。 证明要点 略。 作业:习题十七 2,5,8,10,15,17(1) 作业:17.1 2,5 17.2 3 17.3 1,6,8(1) 旧书: 习题12.1 2、5 习题12.2 2 习题12.3 1、6、8(1)

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