任务 3 曲线拟合

任务3曲线拟合 关联函数的选择和线性化线性最小二乘法曲线拟合采用Excel曲线拟合采用自编软件曲线拟合单元1 数据处理

任务3 曲线拟合 ☆将离散的数据描述成数学表达式的方法称曲线拟合，或者说经验建模。一、关联函数的选择和线性化实测数据关联成数学模型的方法一般有以下几种: ①具有一定的理论依据,可直接根据机理选择关联函数的形式。 ☆反应动力学方程: ☆反应速率常数方程(Arrhenius方程): ②尚无任何理论依据,但已有一些经验公式可选择。 ☆ 热容的经验公式:cp=a+bT+cT2+dT3 ③没有任何经验可循的情况对于此类情况，通常只能将实验数据画出图形与已知函数图形进行比较，选择图形接近的函数形式作拟合模型。单元1 数据处理

任务3 曲线拟合 ☆将离散的数据描述成数学表达式的方法称曲线拟合，或者说经验建模。一、关联函数的选择和线性化实测数据关联成数学模型的方法一般有以下几种: ①具有一定的理论依据,可直接根据机理选择关联函数的形式。 ②尚无任何理论依据,但已有一些经验公式可选择。 ③没有任何经验可循的情况对于此类情况，通常只能将实验数据画出图形与已知函数图形进行比较，选择图形接近的函数形式作拟合模型。 ☆对于一些非线性模型，应事先将其变换成线性形式，即线性化处理 ; ☆表1-9列出了化工中常用的几种函数类型及线性化的方法。此表中所列均为单变量问题，经线性化处理后的线性模型均可统一用式(1-4)表示,即: Y=A+BX（1-4）单元1 数据处理

任务3 曲线拟合 ☆表1-9 常用函数线性化方法单元1 数据处理

任务3 曲线拟合 ☆常用函数线性化举例幂函数:y=axb 两边取对数:lgy=lga+blgx 令: Y=lgy , X=lgx ,A=lga , B=b 则Y=A+BX 指数函数:y=aebx 两边取对数:lny=lna+bx 令: Y=lny, X=x,A=lna , B=b 则: Y=A+BX 返回单元1 数据处理

荷重xi(kg) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 长度yi(cm) 30.00 31.25 32.58 33.71 35.01 36.20 37.31 38.79 40.04 任务3 曲线拟合二、线性最小二乘法 (一)一元线性模型中待定系数的确定 ☆弹簧在弹性限度内荷重与长度之间的关系遵循胡克定律 y=a+bx (1-8) ☆实验测定弹簧在弹性限度内荷重与长度之间的数据由实验数据作图可得一组直线,如图1-16 ☆要解决的问题:如何使拟合的函数式(1-8)计算值与实验值一致!即对任一点i而言,使:i =yi－yi= yi－(a+bxi)称“残差”最小! ☆最佳效果:每点i =0,不可能, i =0? 可能出现“+”,“－”相抵,解决措施? i=0,但数学上不太好处理,解决方法 ☆最小二乘原理就是使残差的平方和最小! 单元1 数据处理

任务3 曲线拟合 二、线性最小二乘法思考:一元函数如何求其极值如:现有一长度为Lm的绳子,请设计一种最佳的围法使其绕一固定的墙壁围得最大的面积？如：L=8m时，Smax=8m2 单元1 数据处理

任务3 曲线拟合 二、线性最小二乘法 (一)一元线性模型中待定系数的确定单元1 数据处理

任务3 曲线拟合 二、线性最小二乘法 (一)一元线性模型中待定系数的确定称xi的离差,平方和称yi的离差,平方和两离差乘积表1-11数据计算举例单元1 数据处理

任务3 曲线拟合 二、线性最小二乘法 (一)一元线性模型中待定系数的确定——表1-11数据计算举例单元1 数据处理

任务3 曲线拟合 二、线性最小二乘法 (二)线性相关系数与显著性检验 ☆两个变量大致呈线性关系时才适宜直线模型去拟合数据; ☆线性最小二乘法只适宜处理变量x与y具有相关的问题,这样关联的函数才有意义! ①相关系数(r):描述两个变量线性关系的密切程度的指标。 r=1所有数据都在回归直线上,x与y完全相关时存在确定的线性函数关系。如图1-20中的（D）。单元1 数据处理

任务3 曲线拟合 二、线性最小二乘法 (二)线性相关系数与显著性检验 ☆ r只表示x与y的线性关系的密切程度,当r很小或为零时,并不表示x与y不存在其他关系。如图1-20中的(E),x,y呈某种曲线关系; ②对于非线性模型拟合的效果常用另一指标——相关指数来衡量，记作R2 R21,R2值越接近于1，拟合曲线效果越好，当R2=l时，说明yi与yi趋于—致，实测点完全落在拟合曲线上。 ③对于一个具体问题,只有当r大到一定程度时方可用回归直线来近似表示x与y之间关系。表1-15给出了r的起码值,它与观测次数n及显著性水平有关,当r大于表中相应的值时,所回归的直线才有意义。如:当n－2=3时,即用5个数据来回归直线时,相关系数r至少为0.878,所得直线方程的置信度为95%。单元1 数据处理

n－2 =5% =1% n－2 =5% =1% n－2 =5% =1% 1 0.997 1.000 14 0.497 0.623 27 0.367 0.470 2 0.950 0.990 15 0.482 0.606 28 0.361 0.463 3 0.878 0.959 16 0.468 0.590 29 0.355 0.456 4 0.811 0.917 17 0.456 0.575 30 0.349 0.449 5 0.754 0.874 18 0.444 0.561 40 0.304 0.393 6 0.707 0.834 19 0.433 0.549 50 0.273 0.354 7 0.666 0.798 20 0.423 0.537 60 0.250 0.325 任务3 曲线拟合二、线性最小二乘法 (二)线性相关系数与显著性检验 ☆表1-15 相关系数r与显著性水平的关系 ☆置信度:也称可靠度,置信水平,置信系数,是指正确的概率; ☆显著性水平:是指犯错的概率。两者关系:置信度=1-  单元1 数据处理

任务3 曲线拟合 二、线性最小二乘法 (二)线性相关系数与显著性检验例1-5某化学反应的速度常数k与绝对温度T的实验数据如表1-12第一、二列所示，试用线性最小二乘法进行关联。解:反应速度常数与绝对温度的关系一般服从Arrhenius方程,即: k=k0exp(－E/RT)的形式为非线性函数,需进行线性化处理返回单元1 数据处理

任务3 曲线拟合 三、采用Excel曲线拟合 (1)单元格驱动计算拟合——例1-5、1-6、1-7 (2) Excel自带的功能主要步骤: 步骤1:打开Excel，将数据按列依次输入; 步骤2:选中表中数据区,选择“插入\图表”“XY散点图”,按照图表向导的步骤添加图的标题、x轴、y轴等,再将所生成的散点图放在同一电子表格内。步骤3:右击图中数据点,选择“添加趋势曲线”,在“类型”中选择,如“线性”,在“选项”中选择“显示公式”、“显示R平方项”,按“确定”,得其结果。返回单元1 数据处理

任务3 曲线拟合 四、采用Delphi自编软件曲线拟合 (1) 曲线拟合软件的构成 (2) 曲线拟合软件具体应用举例返回单元1 数据处理

任务3 曲线拟合 课堂小练习: (1) 利用附录P218水蒸气表采用线性内插和Lagrange内插计算134.5℃时水的饱和蒸气压? (2)利用附录P222水蒸气表,采用线性内插法计算6.25MPa,425℃时水的焓值? (3)利用水蒸气表(P218表1-12-1)10,20,30,40,50,60℃水的焓值数据,将其拟合成h~t方程返回单元1 数据处理

任务 3 曲线拟合

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