备选题集

1. 备选题集 备选题集

2. 1 已知 + y x i i i 车轮作无滑动的滚动 t t sin ( ( ( t ( w w R R + w 1 cos 例 解法 提要 d 轮缘一点 r y P t t ( sin ( w w w i cos R + w 1 R d v a v v R j j j j j 2 2 2 t t t t t t t sin w w w w w w w t t i w w + w w w cos cos R R R d d t t a x O x 2 2 t a a + a R w t sin R x P a w : x y 2 ( sin + ( R t R ( ( ( ( 2 2 y w cos 2 2 ( 2 2 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( t t t t t t t t w R cos w w R R 求 与 轴的夹角 x a a a r r ctg ( tan tan tan ( ， arc arc arc ， 2 sin ( ( ( ( 1 1 w R a a y p p 方向 和 ( ( tan 2 2 tan arc

3. 2 一物体沿X轴作直线运动， 已知 v ( ( ( ( x x 求 x 2 t t v v ( ( ( ( 0 0 k x x ( ( ( ( t t v a t 其加速度 , , v v v v v v v v v v v v v v v v v 例 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d d d d v v x v 称为换元法 a v d d d t x x 解法 得 d d d d v v v v v k d d d t t t a 2 2 2 2 k k k v v v v 提要 d d x x 1 结果 ln ( ( 1 1 t 分离变量 v d ( ( k k v k d d v t t v , 0 x v t 约简并取积分 结果 ( ( ( ( 2 2 d t t x k k 1 1 t k + + 1 + v 0 d x 求积分得 v v x ln k k k k v v v x x x x t t ln 则 x 0 d e x , v v t k k k k ( ( ( ( 1 1 1 + 0 0 0 0 0 1 v d ( ( 结果 e 0 v t 1 1 + +

4. 3 求 前进到 时 x 已知 头顶影子A的移动速率 H 解法 提要 匀速前进 v h 0 A x O x 运动到任何位置，都满足两直角三角形 和 相似 S O A S P Q d d t t H H 即 x S x d d H H x x 等式两边对时间求导数 A h h h h h H H H H H H Q P h v v 结果 0 A A O x x x x A A A

5. 4 y 2 ( ( ( ( t t 20 v i i sin + q cos q t r g 0 小球 ( ( ( ( t t 4.9 4.9 10 10 + t 17.3 q O x i i i j j j j j t 17.3 y 30 x q , 代入上述 式得 y 用 y 10m h 10m v x cos t t t q 解得 4.9 t 0 2.78 s 10 10 v v v v 解法 s s s 0 0 0 0 v y 代入上述 式得 1 x 用 用 2.78 s 2.78 s s sin q 2 提要 48.1m 2.78 17.3 s 求 2 2 2 t t t ( ( + r t ( ( 9.8 + 10 17.3 ( ( ( ( 2 2 t g ( ( t t 落水时刻 代入得 tan tan arc arc s ( ( ( ( 3 3 17.2 17.3 v 落水点平距 s 2 ( 2 ( 24.4 v + 17.2 17.3 ( ( ( ( 4 4 落水时的 ( ( ( ( 1 1 v v 1 1 m m s s 17.2 及大小和方向 44.8 a 17.3

6. 5 重物下落的速率与 点的速率相等 已知 P t 0 y P R q d d P ( ( O O O O 2 2 1 1 2 b t m 解法 v ( t ( t b b b t t 1 1 y d d 2 2 提要 2 2 t b 2 v d d d d t t t t m R R y y 2 2 重物下落运动方程 a j + 2 2 b t 2 ( y ( b + R 轮缘 点的 求 P 2 2 t b 2 t b a a a tan tan n n n arc arc a v v ( ( ( ( ( ( t t t 和 R a a a t t t

7. 6 △ t = 2 T 的 匀速率圆周运动 求 已知 平均速度大小 和 v ︳ ︳ ￣ → ￣ 周期 T v 半径 R 平均速率 平均速度定义 r r r r r r r r r r 1 1 1 1 2 2 2 2 解法 v v v 圆周运动 R 提要 两周期 与 重合, 0 0 0 t t r r , 平均速率定义 v t t t r r r 两周期所走路程 , 2×2πR 2 T r r r s s s 2×2πR 2πR v 2 T T → r O R

8. 7 时刻在1点的速度为 , 水平夹角 t 质点沿抛物线上升, a 已知 时刻在2点的速度方向恰与 垂直. t + 此过程经历的时间 t t t t t t t t t t 求 r r r r r r r r r r 解法 提要 设从1点到顶点T需时 v v v v t + sin sin y 1 g a a 1 1 1 1 1 1 2 设从顶点T 到2点需时 2 2 2 T v v v v v v v v v 1 1 1 1 1 1 1 sin g ( v ( v v v a 2 2 2 2 y y 1 2 1 t ctg ctg a a cos cos cos a a a y + 9 9 0 0 a a + g g 2 2 sin sin sin sin 2 sin a a a a a ( + cos a a cos ( ( ( + g g g

9. 8 t 时刻船的 u 已知 匀速率 拉绳 求 t=0 , 速度 v l t , O 加速度 h h a 例 l x O O X X x 任意时刻 解法 2 斜长 2 2 2 t ( h l h ( ( ( x 的 缩短 率 l 提要 t ( d ( l x u u 0 v d t l 2 d 2 1 1 1 2 2 2 ( ( h u d t 2 h 2 u d v a t l 2 3 2 d t 2 ( d ( t h u d l 0 l 设 h = 20m, u = 3m/s, l0= 40m, t= 5s 0 10.7 m/s2 5 m/s 得 a v t t t t l l l l l u u u u 0 0 0 0 同沿X轴负方向。船运动加快。 a v 、

10. 9 此后 反 方向， 时刻船速 t 已知 a v v 求 关机 时 船停时位置 v 且 t k x 0 a v 停 0 为常量 k v v 例 解法 提要 a a 停 停 x x k k v t t 即 v 得 e e d v a k v v v v v v v 船停位置对应的船速为零。要找出 与 v 0 0 0 0 0 0 v x 分离变量 d d d x v v d v v v 的函数关系，可用高数中的换元法： d d x x d x d v k 0 X v d v 取积分及上下限 d d d d d t t t t t t 得 v d v v k k v 0 分离变量并取积分 d v 0 求积分得 k x d 0 v t ln k 求积得 k x 停

11. 10 2 d 由 v v 已知 , R 一 质 点 作 2 v d 题意 v 例 变 速 圆 周 运 动 R 分离变量并取积分 初速率为 t d v v 1 v 0 切向加速度的大小 切向加速度的大小 圆半径为 解法 R R 0 v 0 t 1 1 求积 + 提要 R v v v v v v v v v 0 0 0 0 0 0 0 0 2 v R R 得 t ( ( v R a t a d d d d d d t t t t t t 由 得 t v d v s 求 a 速率的时变规律 t t n d s t t ( ( ( ( R R v t t t t ( ( ( ( d d ( ( ( ( t v v 0 0 R s s 0 路程的时变规律 a R n 得 ln R s s s s t R

12. 11 式中 A B 跳伞运动员下落加速度大小的变化规律为 , 已知 均为大于零的常量 A v v v B 及 时 a - t 0 0 v 例 解法 提要 任一时刻运动员下落速度大小的表达式 求 1 d v - v ( ( d v a 注意到 B d t 0 t t t t ( ( ( ( ( ( ( ( 0 由 d v v 1 得 A v a B t - ln ( ( d t - B 0 对本题的一维情况有 A v B ln - t t t B B B - - - A B 分离变量求积分 e 1 v - A d d v v A A A A A v v v v v B B B B B - - - - - d t t v A e ( ( 1 - 0 0 B

13. 12 已知 求 q q （ （ （ （ （ （ v v （ （ v v 例 图中质点 寻找 ~ g q cos d d d v v s d s 0 0 9 9 d q t v 0 d d 0 s s ， v d d d d v v v v q g q v cos l q q q q d d d d s l l d q g g g g g 解法提要： q q l l l l l v cos cos q v v 0 0 a a a q 2 1 sin sin q q t t t v 2 2 g 最大 g 常数： l 2 d d t t ， 0

14. 13 a τ 若由 v , 关键是设法求 线速率 2 v 例 已知 t v ( ( a R 2 τ 一质点作圆周运动 若由 R R w , 半径R= 0.1 m 关键是设法求 角速率 t ( ( 解法 w 本题很易求 w 其运动学方程为 d d d 3 提要 ( ( 4 2 t w + d d w w d t θ = 2 + 4 t 3(SI) d d t t 12 t d d t t 48 (rad·s-1) 2 t = 2 t = 2 a a a n n n 求 a 12 t d w 2 ( ( b τ d t t= 2 s 时， 质点的 q 24 t 48 (rad·s-2) a 切向加速度 n a 4.8 ( m · s-2 ) τ d R b R 法向加速度 d t 230.4 ( m · s-2 ) 2 R w

15. 14 由运动学方程 投影式 消去 t ( ) 2 x x ( ( 2 9 t 1 y - 例 2 已知 2 , s I 2 表示 得轨迹方程 x 运动学方程投影式 9 1 y t - 2 2 由 运动学方程 坐标式 x 解法 国际单位制 ( ( x y + 2 I S t 2 9 1 y - r i i i i i i i i j j j j j j j j j t t t 提要 ( ( ( ( ( ( r r 长度：米 2 t ) 2 m 9 1 ( t ( ( 2 + 位矢 - 1 1 4 + t ( ( 2 m s 求 时间：秒 ( ) d s y v 质点的轨迹方程 ； + d d r t d x t d t d 1 8 4 ( t ( ( 第 2 秒 末的位矢； ( + m s - - t 2 2 2 d y d 2 2 d r 2 x 第 2 秒 末的速度 a + 2 2 d d 2 t t d t 和加速度 。 2 ( ( m 4 4 0 s - -

16. 15 足球运动轨迹最高点处 已知 求 ρ v0 = 20 m/s 的曲率半径 例 30º 2 2 解法 v v a a a a 由法向加速度大小 n n n n r 提要 cos30º v v v v 最高点处 0 g 3 2 20× ( ( 2 v 2 30.6(m) 得 r 9.8 g

17. 16 已知 5 某人骑车向北 m , v v v 人 人 人 来自 人测得 风速 0 1 v m , 例 解法 提要 0 求实际风速 西偏北 4 5 v 风 。 。 地： 系 s 三种等效表达 合理选参考系 v v v v v v 人： 1 1 s 系 s s s s + 牵 相 绝 , v v + （ （ 风对地： 风 风 人对地 风对人 风对地 （ （ 风对人： v v 测 测 + （ （ 人对地： v v v 牵 绝 相 应用时必须注意这是矢量关系式,并画出相应的矢量图。

18. 17 已知 5 某人骑车向北 m , 随堂练习 v v v v v 人 人 人 人 人 来自 人测得 风速 0 1 v m , 解法 提要 0 求实际风速 西偏北 4 5 v 风 。 。 地： 系 s 三种等效表达 + 合理选参考系 v 风 Y 北 v v v v v v 人： 1 1 s 系 s s s s s s ( 2 2 ( 0 0 1 1 5 j j + + 牵 i 5 i 相 绝 , （牵） 2 2 7.07 2.07 v v v i + （ （ 风对地： 风 风 风 2 10 2 45° 45° 人对地 风对人 风对地 X 7.07 西 （ （ 2.07 α 7.07 大小 ： 风对人： v v v v 2 v 2 风 + 测 测 测 测 ( m s ) ( m s ) 0 + 7.37 -2.07 （ （ 人对地： 10 方向 ： （绝） 2.07 v v v 牵 arctg 1 1 绝 相 16.32 0 a 7.07 2 应用时必须注意这是矢量关系式,并画出相应的矢量图。 16.32 -10 即来自西偏北（吹向东偏南） （相） 0 2 7.37

19. 18 激流的实际方向及流速 求 北 问题实质是求 v v v v 解法 提要 东 水对地 水对地 水对地 水对地 + 60º 保持 即 v v v v v v v v v 船对水 船对水 船对地 船对地 船对水 船对水 船对水 船对地 船对地 若也 =5 m/s （突遇激流） 30º =5 m/s 60º =5 m/s 60º 来自北偏西 （静水） 30º 指向东偏南

20. 19 A 海船 航速： 10 km /h 航向：北偏西 30º 海船 航速： 20 km /h 航向：正西 B 例 是否需要采取措施避免相碰？ 问 分析 A、B之间的相对速度是否会导致相碰 问题实质： 30º B 60º 30º B-A v 北 + A 30º 东 西 B ？ B-地 B-地 A-地 B-地 B-A A-地 A-地 B-A v v v v v v v v A 南 某时刻： A发现B位于 北偏东60º 的方向上。 相对速度满足一定条件时就会相碰。

21. 20 20 km /h 10 km /h 若按已知条件算得 始终保持30º，则会发生相碰。 已知速率： B v A b 海船 航速： 10 km /h 航向：北偏西 30º A v / h km 60º 10 3 2 B A 2 海船 航速： 20 km /h 航向：正西 v B v v A B v v 2 A B + cos - 60º 60º b 某时刻： A发现B位于 北偏东60º 的方向上。 例 v v A A 60º 60º sin b v A B sin v A B 是否需要采取措施避免相碰？ sin 问 30º sin b b ( ( 2 1 分析 A、B之间的相对速度是否会导致相碰 问题实质： , 30º 30º 30º B 60º 30º B-A v 北 + A 30º 东 西 B ？ A-地 B-A B-地 B-A B-地 B-地 A-地 B-地 B-A A-地 A-地 v v v v v v v v v v v A 南 相对速度满足一定条件时就会相碰。 即在A 船上看B 船始终对着A 船航行，势必相碰。可改变航向或航速来避免。