第十一章 稳恒磁场

1. 重点： 1．掌握高斯定理、毕奥-萨伐尔定律、安培环路定理。 第十一章 稳恒磁场 2．理解磁感应强度、霍尔效应。 难点： 毕奥-萨伐尔定律、安培环路定理。 磁场也是一种特殊物质，它具有能量，在空间也有一定的分布。磁现象的本质就是电荷的运动。磁现象是电荷运动的的一种特殊形态。

2. 一、磁感应强度 任何运动电荷或电流都会在其周围空间产生磁场。 第一节磁场 磁感应强度 磁场对外部有两条基本特征： 1、磁场对在磁场中运动的其它电荷或载流导体有磁力的作用，但对静止的电荷则没有作用; 2、载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力将对载流导体作功。

3. 磁场的这些表现说明了磁场的物质性。 运动试探电荷（运动电荷）——由于磁场对运动电荷有力的作用，在磁场中放入一个正的运动电荷q0，根据该电荷的受力情况可定义磁场中各点磁感应强度B的大小和方向。 当一定速度的运动电荷q0通过磁场中某点P时，该电荷的受力情况与它的速度υ方向和磁感应强度B方向的夹角有关。

4. （1）零力线：当运动电荷的速度方向与磁感应强度方向一致或相反时，运动电荷所受的力为零；这是一个特定的方向，称为零力线的方向。（1）零力线：当运动电荷的速度方向与磁感应强度方向一致或相反时，运动电荷所受的力为零；这是一个特定的方向，称为零力线的方向。 其规律如下： （2）磁感应强度：当这两个方向相互垂 直时，运动电荷所受的力最大，设为Fm。 则用Fm与乘积q0υ的比值来定义该点的磁感应强度，即

5. 在国际单位制中，磁感应强度B的单位为特斯拉，用符号T表示，在国际单位制中，磁感应强度B的单位为特斯拉，用符号T表示， 1T=1N·C-1·S·m-1=1N·A-1·m-1 1G = 10-4T。 （3）磁感应强度B的方向——运动电荷在磁场中所受的力，总是与运动电荷速度υ的方向和磁感应强度B的方向所组成的平面相垂直，当υ和B相互垂直时，Fm、υ和B三者两两垂直，如图9-1（a）所示。磁感应强度B的方向可用右手螺旋法则来确定，如图9-1（b）所示。

7. 磁感应线——在磁场中画出一系列的曲线，使曲线上每一点的切线方向与该点磁感应强度B的方向一致。磁感应线——在磁场中画出一系列的曲线，使曲线上每一点的切线方向与该点磁感应强度B的方向一致。 二、磁通量 磁场中的高斯定理 为了使磁感应线也能描述磁场的强弱，规定——通过垂直磁场方向的单位面积的磁感应线数目等于该处的磁感应强度B。这样，磁感应线密集的地方磁场就强，稀疏的地方磁场就弱。 磁感应线的方向不是运动试探电荷受力的方向。磁感应线是一些无头无尾的闭合曲线，磁场是一个涡旋场。

8. 1．磁通量—— 通过一给定曲面的磁感应线的总数称为通过该曲面的磁通量，用φ表示。

9. 在国际单位制中，磁通量的单位为韦伯，符号为Wb，1Wb=1T·m2。在国际单位制中，磁通量的单位为韦伯，符号为Wb，1Wb=1T·m2。 通过有限曲面S的磁通量为 2．磁场中的高斯定理 通过任一闭合曲面的总磁通量为零，即： 它反映了磁场是涡旋场的这一重要特性。

10. 一、毕奥-萨伐尔定律 电流元Idl ——是矢量，其方向为dl中的电流强度方向。 第二节电流的磁场 毕奥-萨伐尔定律给出了电流元在空间某点产生的dB，即 在国际单位制,Ｋ=μ0／4π, μ0 =4π×10-7Ｔ·ｍ·Ａ-1。 μ0称为真空磁导率。

11. dB的方向垂直于Idl和r所在的平面，由右手螺旋法则确定 。 将K值代入上式得

12. 1．长直电流的磁场

13. 电流元Idl在ｐ点产生的磁感应强度的大小为 dB的方向垂直于 Idl 和 r 所确定的平面。 该电流在P点所产生的磁感应强度的大小为:

14. l = r0 ctg (π-θ) = - r0 ctgθ 取ｌ的微分，得 由图可知：

15. 式中，θ１、θ２分别是A1，A2端对P点的张角。

16. 若导线为无限长，则θ１＝0，θ２＝π，则 结论：长直电流周围的磁感应强度Ｂ与导线中的电流成正比，与距离成反比。磁感应线是一组围绕导线的同心圆。用右手握住直导线，使拇指的方向与电流方向一致，则四指的环绕方向就是磁感应强度的方向。 对于有限长的直导线，在r0<<ｌ的范围内，上式仍然成立。

17. 2．圆电流的磁场

18. 由于 Idl 垂直于 r，所以θ= 900 , sinθ= 1, 总磁感应强度将沿轴线方向：

19. 总磁感应强度为：

20. 可见，ro愈大，Ｂ愈小，即距圆电流中心处磁场愈弱。可见，ro愈大，Ｂ愈小，即距圆电流中心处磁场愈弱。 Ｂ的方向也可以用右手螺旋定则来判断。 在圆心处，ｒ０＝0，磁感应强度为：

21. 当 r >>Ｒ，ro≈ｒ时，磁感应强度近似为： 3．直螺线管电流的磁场 螺线管——绕成螺线管形的线圈，密绕的载流直螺线管如图9-6(a)所示 。

23. 磁感应强度的方向沿着轴线向右，大小为： 若螺线管为无限长，β1=π，β2= 0，有 B=μ0nI 可见，B的大小与考察点的位置无关，这表明密绕无限长螺线管轴线上磁场是均匀的。理论分析指出，密绕螺线管中磁感应线泄露管外很少，其内部空间的磁场都是均匀的。

24. 在长直螺线管任一端的轴线上，如图9-6(b)中的A1点，β1=π/2，β2= 0代入式(9-12)得 说明在长直螺线管端点轴线上的磁感应强度为管内的一半。 对于有限长螺线管，当R《 l 时，上两式也近似适用。

25. 二、安培环路定律

26. L上任一点Ａ的磁感应强度为：　 而dl cos θ= r · dφ ，所以Ｂ沿闭合曲线Ｌ的线积分为： 积分的结果仅和包围在闭合曲线内的电流有关，而和所选的闭合曲线的形状无关。

27. 如果所取的闭合曲线包含有多个电流，上式可写为：如果所取的闭合曲线包含有多个电流，上式可写为： 在电流周围的磁场中，磁感应强度B沿任何闭合曲线的线积分与通过该闭合曲线内电流强度的代数和成正比。 这一结论称为真空中的安培环路定律。

28. 如果电流的方向与积分回路的绕行方向符合右手螺旋关系时，电流为正，如图9-7(b)中I1；如果电流的方向与积分回路的绕行方向符合右手螺旋关系时，电流为正，如图9-7(b)中I1； 电流的正、负可按下列方法确定： 反之为负，如图9-7(b)中的I2； 如果闭合曲线中不包含电流或包含等值反向电流时，式(9-16)右边为零。

29. （1）安培环路定律表达式中的B矢量是闭合积分曲线L上各点的总磁感应强度。（1）安培环路定律表达式中的B矢量是闭合积分曲线L上各点的总磁感应强度。 说明： （2）此定律只适用于稳恒电流产生的磁场。 （3）因为B矢量沿闭合曲线L的线积分不等于零，所以磁场不是保守场，而是非保守场，也叫涡旋场。

30. 安培环路定律的应用举例 求长直螺线管内的磁场：

31. 对回路abcda应用安培环路定律得： 由于cd在螺线管外，Ｂ＝０，所以

32. bc和da两条线上各对应点上Ｂ相同中， 而积分路径相反，所以： ab在螺线管内，管内为均匀磁场，且B的方向自a 到 b，故θ=０0，cosθ=1，则

33. 一、磁场对运动电荷的作用 洛伦兹力——电荷在磁场中运动时受到的磁场力。 　　第三节磁场对电流的作用 当电荷的运动速度与磁场方向垂直时洛伦兹力最大，与磁场方向平行时洛伦兹力为零。但在一般情况下，电荷的运动速度υ与磁感应强度B之间可以成任意角度，如图9-9所示。

35. 可得出运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的大小为：可得出运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的大小为： F = qυ⊥B = qυB sinθ 洛伦兹力的方向可以由右手螺旋法则来判定，即将右手四指的指向由υ的方向沿着小于π的一侧转向B，则竖直的拇指的指向就是F的方向（υ×B）。 如果是负电荷，洛伦兹力力的方向和上述方向相反。

36. 从图9-9可看出，运动电荷在磁场中所受的洛仑兹力F始终与υ相垂直。因此，F只改变运动电荷的运动方向，而不能使运动电荷的速度发生变化，所以，洛仑兹力F对运动电荷不作功。从图9-9可看出，运动电荷在磁场中所受的洛仑兹力F始终与υ相垂直。因此，F只改变运动电荷的运动方向，而不能使运动电荷的速度发生变化，所以，洛仑兹力F对运动电荷不作功。 由以上讨论可归纳为三点： （1）υ// Ｂ时，θ=0，F=0，q作匀速直线运动。 （2）υ⊥Ｂ 时，θ=π／2，Fm=qυB 最大，B、F、υ三者相互垂直。

37. 此时运动电荷在与磁场垂直的平面内作匀速圆周运动，洛仑兹力F提供了作匀速圆周运动的向心力。此时运动电荷在与磁场垂直的平面内作匀速圆周运动，洛仑兹力F提供了作匀速圆周运动的向心力。 （4）当 υ 与 Ｂ 之间成任意角度θ时，运动电荷q将在磁场中作螺旋运动，运动电荷q受力为： F = q v B sinθ

38. 载流导线——通有电流的导线。 当载流导线处于磁场中时，它所受的磁场力就是导线中所有电子所受的洛伦兹力的总和。 二、磁场对载流导线的作用

39. 设导线的横截面积为Ｓ，单位体积内的电荷数为ｎ，则电流元中电荷的总数为ｎＳｄｌ。因为每个电荷所受的洛伦兹力f=qυBsinθ，则电流元受到的合力大小为dF=nSdl·qυBsinθ，而通过导线的电流强度I=nqυS，所以 安培公式： dF = I B sinθdl dF就是电流元Idl在磁场中所受的力，称为安培力。

40. 安培力的方向也可用右手螺旋法则确定，即右手的四指由电流强度I的方向沿着小于π的一侧向磁感应强度B的方向弯曲，这时拇指的指向就是安培力dF的方向。安培力的方向也可用右手螺旋法则确定，即右手的四指由电流强度I的方向沿着小于π的一侧向磁感应强度B的方向弯曲，这时拇指的指向就是安培力dF的方向。 下图中，dF的方向垂直纸面向外。

42. 长度为ｌ的载流导线在磁场中所受的力，等于各个电流元所受安培力的矢量和，即长度为ｌ的载流导线在磁场中所受的力，等于各个电流元所受安培力的矢量和，即 一、载流线圈所受磁力矩 将一矩形线圈abcd放在匀强磁场B中，已知线圈的两边长分别为l1和l2，其中电流强度为I，线圈平面与B之间的夹角为θ，如图9-11(a)所示。

44. 边长 ab 和 cd 所受的安培力为： 边长bc和da所受的安培力分别为： F2=F2′,其方向相反，但并不作用在同一条直线上，其形成一对力偶。

45. 力臂为l1cosθ，磁场作用在线圈上的 力矩为： 或 M = I BScosθ 式中，S = l1l2 表示线圈平面的面积，M称为载流线圈的磁力矩。 用线圈的法线方向n来描述线圈的取向，它的方向与线圈的环绕方向有关。

46. n与B的夹角用φ表示，显然，φ+θ=π／2，上式可以改写成n与B的夹角用φ表示，显然，φ+θ=π／2，上式可以改写成 M=IBSsinφ

47. 如果线圈有N匝，则 M=NIBSsinφ 或 M=PmBsinφ 式中，Pm=NIS，称为载流线圈的磁矩。 由于磁矩Pm仅由载流线圈本身的条件N、I和S决定，与外磁场的情况无关，因此它是描述载流线圈本身特性的物理量。磁矩是矢量，它的方向就是载流线圈法线的方向。单位是安培·米2(A·m2)。

48. 设Pm、B一定时有： （1）当φ=0时，线圈平面与磁场方向垂直，线圈的磁矩的方向与磁场方向平行，M=0，线圈所受到的磁力矩等于零。此时，线圈处于稳定平衡状态，该位置就是线圈的稳定平衡位置。 （2）当φ=π／2时，线圈平面与磁场方向相互平行，线圈的磁矩方向与磁场方向垂直，M=NIBS，线圈所受到的磁力矩最大。这个磁力矩有使φ角减小的趋势，即有使线圈恢复到平衡位置的趋势。

49. （3）当φ=π时，线圈平面仍与磁场方向垂直，它所受到的磁力矩虽然也等于零，但是Pm的方向却与磁场的方向正好相反，因此，线圈这一平衡状态是不稳定的，所以，此时，线圈处于非稳定平衡状态。只要线圈略微偏离该位置，线圈就会在磁力矩的作用下迅速转到使Pm的方向和B方向一致的位置上来。（3）当φ=π时，线圈平面仍与磁场方向垂直，它所受到的磁力矩虽然也等于零，但是Pm的方向却与磁场的方向正好相反，因此，线圈这一平衡状态是不稳定的，所以，此时，线圈处于非稳定平衡状态。只要线圈略微偏离该位置，线圈就会在磁力矩的作用下迅速转到使Pm的方向和B方向一致的位置上来。 结论：平面载流线圈在均匀磁场中任意位置上所受合力均为零，它仅仅受到磁力矩的作用。因此，在均匀磁场中平面载流线圈只发生转动，而不会发生整体的平动 。

50. 载流线圈在磁场中的表现与电偶极子在电场中的表现非常类似，所以也称它为磁偶极子。载流线圈在磁场中的表现与电偶极子在电场中的表现非常类似，所以也称它为磁偶极子。