Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

1. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI • část první

3. Teorie pravděpodobnosti • je matematická disciplína, popisující zákonitosti týkající se jevů, které (přinejmenším z hlediska pozorovatele) mohou a nemusí nastat, resp. jejichž výsledná hodnota není předem jistá. • Příkladem může být výsledek hodu kostkou ještě předtím, než hodíme, anebo venkovní teplota zítra v poledne.

4. Rozvoj teorie pravděpodobnosti probíhal od 17. století, zpočátku inspirován hlavně hazardními hrami.

5. Základní pojmy • Náhodný pokus • Náhodný jev • Množina všech možných výsledků pokusů

6. Pokus • Každá opakovatelná činnost ve vědě, výzkumu, ale i v praktickém životě. • Rozlišujeme pokusy: • deterministické • náhodné

7. Deterministické pokusy • Pokusy, které při dodržení předepsaných podmínek vedou vždy k témuž, předem očekávanému výsledku. • Například: Fyzikální zákon o změně skupenství vody zahřáté na 100 °C při tlaku 100 kPa.

8. Náhodné pokusy (NP) • Pokusy, které při dodržení předepsaných podmínek vedou k různým výsledkům, tzn. výsledky pokusů se od jednoho provedení k druhému mohou měnit. • Pokusy, jejichž výsledky závisí nejen na předepsaných podmínkách, ale také na náhodě. • Častěji se vyskytující v praktické činnosti.

9. Náhoda a úkol pravděpodobnosti • Náhoda (jako soubor drobných příčin) má svá pravidla a své zákonitosti. • Studium a formulace těchto zákonitostí i jejich využívání je úkolem počtu pravděpodobnosti.

10. Náhodné pokusy důležité • účinek nového léku na pokusných zvířatech, • stanovení přesné hodnoty nějaké fyzikální konstanty (např. rychlosti světla ve vakuu), • odhad výnosu nové zemědělské plodiny, …

11. Náhodné pokusy klasické • slosování loterie, tahy sportky, • hody hrací kostkou, mincí, • míchání karet, … Přes důležitost prvně jmenovaných se v hodinách matematiky zaměříme na příklady z oblasti klasických náhodných pokusů pro jejich jednoduchost a názornost.

12. Náhodný jev (NJ), ozn. A, B, C, ... • Jakékoliv tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o kterém lze (po provedení pokusu) rozhodnout, zda je pravdivé. • Každý jev, o kterém nejsme schopni předem rozhodnout, zda nastane. • Zjednodušeně: Každý výsledek nebo skupina výsledků náhodného pokusu (NP).

13. Řešený příklad 1: Odlište u následujících situací náhodné pokusy (NP) od náhodných jevů (NJ). Dojdete-li k závěru, že jde o NP, vyslovte NJ a naopak: • vylosování čísla • vypěstování rostliny • vybrání losu s číslem 5 • hod kostkou • vyrobení výrobku 1. jakosti • padnutí šestky při hodu kostkou • narození chlapce • (NP) • (NP) • (NJ) • (NP) • (NJ) • (NJ) • (NJ)

14. Množina možných výsledků pokusů • Množinu označujeme Ω (její prvky ω) • Předpokládáme, že se jedná o množinu výsledků náhodného pokusu takových, že jsme schopni je všechny předem vyjmenovat (tzn. ve středoškolské matematice vždy konečná), se navzájem vylučují (tzn. nastane-li jeden, nemůže nastat druhý), jeden z nich nastane vždy (tzn. nemůže nastat žádný jiný než jeden z jmenovaných), každý výsledek má stejnou možnost, aby nastal.

15. Řešený příklad 2: V daném tvrzení rozpoznejte pojmy: náhodný pokus (NP), náhodný jev (NJ). Zapište množinu všech možných výsledků. V pořadí NP, , NJ. a) Při hodu kostkou vyhraješ, když padne pětka. NP: hod kostkou Ω = {1, 2 ,3, 4, 5, 6} NJ: A = {5}

16. b) Při hodu kostkou vyhraješ, když padne liché číslo. NP: hod kostkou Ω = {1, 2 ,3, 4, 5, 6} NJ: B = {1; 3; 5}

17. c) Při zkoušce pevnosti určitého vlákna v tahu se vlákno nepřetrhlo. NP: zkouška pevnosti vlákna Ω = {přetrhne, nepřetrhne} NJ: C = {nepřetrhne}

18. d) Pokud padne na minci orel, získám pro své mužstvo míč. NP: hod mincí Ω = {orel, panna} NJ: D = {orel}

19. NJ: E= e) Při hře dvěma kostkami vyhrajeme, padne-li šestka alespoň na jedné z nich. NP: hod dvěma kostkami

20. NP: hod dvěma kostkami Záleží na pořadí příslušného hodu, proto jsou kostky rozlišeny barevně:[Modrá; Žlutá]. = E NJ: výhra ... E

21. Závěr: • Ve 2. příkladu jsme názorně předvedli, že sledovaný jev je podmnožinou všech možných výsledků, které v dané situaci mohou nastat. • Pro jevy platí totéž co pro množiny a podmnožiny, jen se vžilo jiné názvosloví.

22. Jevy jako množiny • Důvod, proč je označujeme velkými písmeny. • Popisujeme je nějakou jistou vlastností, společnou všem prvkům daného jevu: • Například asi zřejmě neřekneme: „Padla mi šestka a jednička.“, ale spíš použijeme: „Vyhrála jsem!“ (viz Př. 2e).

23. Jev jistý a nemožný • V daném pokusu rozeznáváme tolik jevů, kolik je podmnožin množiny všech možných výsledků (Ω) a mezi ně počítáme také: • celou množinu: A = Ω ... jev jistý(každá množina je sama sobě podmnožinou), • prázdnou množinu: A = Ø ... jev nemožný (množina prázdná je podmnožinou každé množiny).

24. Náhodné jevy a vztahy mezi nimi      je výsledek množiny všech možných výsledků   A   je výsledek příznivý jevu A A  B jev A je podjevem jevu B A  B  jev, který nastává právě tehdy, když nastane aspoň jeden z jevů A nebo B (sjednocení jevů A, B)

25. A  B jev, který nastává právě tehdy, když nastanou oba jevy A, B současně (průnik jevů A, B) A  B = Øprůnik jevů A, B je jev nemožný, tzn. jevy A, B se navzájem vylučují a říkáme, že A, B jsou jevy disjunktní A´  jev opačný k jevu A, tzn. jev, který nastane právě tehdy, když jev A nenastane (negace jevu A)

26. Znegujte dané věty: A:Vyber lístky, které nebudou mít stejnou barvu. A´: Vyber lístky, které budou mít stejnou barvu. B:Vyber skupinu, ve které nebudou pouze dívky. B´: Vyber skupinu, ve které budou pouze dívky. C:... budou alespoň tři kuličky červené. C´:... budou nejvýše dvě kuličky červené. D:... budou maximálně čtyři dívky. D´:... bude minimálně pět dívek. E: ... nebudou alespoň tři žáci připraveni. E´:... budou alespoň tři žáci připraveni.

27. JEDNODUCHÁ PRAVDĚPODOBNOST

28. Pravděpodobnost náhodného jevu V pokusu, jehož všechny možné výsledky jsou stejně pravděpodobné, je pravděpodobnost (ozn. P) sledovaného jevu (např. A) rovna podílu počtu příznivých výsledků danému jevu A (ozn. mA) a počtu všech možných výsledků, které v daném pokusu mohou nastat (ozn. n).

29. Z definice plyne, že pravděpodobnost jevu nemožného se rovná nule: jevu jistého se rovná jedné: jevu libovolného je v rozmezí hodnot od nuly do jedné:

30. Výsledek pravděpodobnosti • se uvádí • ve tvaru zlomku, který vnímáme jako poměr, • ve tvaru desetinného čísla, které ale daleko častěji převádíme na procenta.

31. Řešený příklad 3: Házejme 3 mincemi, které umíme rozlišit, např. pětikorunou, desetikorunou a dvacetikorunou českou. Na každé minci může padnout líc (L) nebo rub (R). Určete prvky množiny všech možných výsledků: Ω, vypočtěte jejich počet: n.

32. … stará dobrá kombinatorika …

33. Kombinatorika – přehled vzorců

34. Na pořadí prvků ve skupině záleží nezáleží KOMBINACE VARIACE PERMUTACE

35. Při stanovení prvků množiny všech možných výsledků Ωje určitá libovůle podle toho, jak podrobné (jemné) chceme výsledky pokusů rozlišovat.

36. Řešený příklad 4: Ze třídy o 28 žácích určete losem 4 žáky, kteří se podrobí zkoušení. Určete počet n všech možných losování, neboli počet prvků množiny všech možných výsledků Ω, jestliže ...

37. jestliže určujeme pouze čtveřici žáků, kteří budou zkoušeni, aniž by nás zajímalo pořadí. Použijeme: KOMBINACE

38. určujeme čtveřici žáků, kdy chceme zajistit pevné pořadí zkoušených, například od nejslabšího po nejúspěšnějšího. Použijeme: VARIACE

39. Řešený příklad 5: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne šestka? n = 6, protože Ω = {1, 2 ,3, 4, 5, 6} mA = 1, protože A = {6}

40. Řešený příklad 6: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne liché číslo? n = 6, protože Ω = {1, 2 ,3, 4, 5, 6} mA = 3, protože A = {1, 3, 5}

41. Řešený příklad 7: Jaká je pravděpodobnost, jestliže je v osudí prvních 10 přirozených čísel že, a) vytáhnu prvočíslo, b) nevytáhnu prvočíslo? n = 10, protože Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} a) mA = 4, protože A = {2, 3, 5, 7} b) mB = 6, protože B = {1, 4, 6, 8, 9, 10}

42. Řešený příklad 8: Jaká je pravděpodobnost, jestliže je v osudí prvních 10 přirozených čísel že, vytáhnu číslo dělitelné dvojkou nebo trojkou? n = 10, protože Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} mA = 7, protože A = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}

43. Řešený příklad 9: Jaká je pravděpodobnost, jestliže je v osudí prvních 10 přirozených čísel že, vytáhnu číslo dělitelné dvojkou i trojkou? n = 10, protože Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} mA = 1, protože A = {6}

44. Řešený příklad 10: Jaká je pravděpodobnost, že z pěti obránců půjde do hry společně zrovna Petr s Pavlem? n = C2(5) = 10 mA = 1, protože A = {1dvojice: [Petr, Pavel]}

45. Řešený příklad 11: Jaká je pravděpodobnost, že ze všech přirozených trojciferných čísel kamarád napíše zrovna číslo 123? n = V3´(10) – V2´(10) = 900 mA = 1, protože A = {jedno číslo:123}

46. Řešený příklad 12: Ve třídě je 5 chlapců a 13 dívek. Jaká je pravděpodobnost, že ve čtyřčlenné skupině žáků této třídy budou a) tři chlapci a jedna dívka, b) právě dva chlapci?

47. výběr: 4 členná skupina  n = C4(18) = 3 060 a) jedna skupina: 3 CH, 1 D mA = C3(5).C1(13) = 10.13 = 130

48. výběr: 4 členná skupina  n = C4(18) = 3 060 b) právě (přesně) dva chlapci, tzn. musíme dobrat do skupiny ještě 2 dívky: 2 CH, 2 D mB = C2(5).C2(13) = 10.78 = 780

49. PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ • Jednoduchá pravděpodobnost

50. 13.Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne a) číslo 3, b) číslo sudé, c) dělitelné třemi, d) dělitelné dvěma i třemi? 14.Jaká je pravděpodobnost, napíšeme-li libovolné přirozené číslo od 1 do 15, že to a) bude prvočíslo, b) nebude prvočíslo? [1/6; 1/2; 1/3; 1/6] [6/15; 9/15]