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第 5 章 时域离散系统的基本网络结构 与状态变量分析法

第 5 章 时域离散系统的基本网络结构 与状态变量分析法. 本章主要内容 引言 用信号流图表示网络结构 无限长脉冲响应基本网络结构 有限长脉冲响应基本网络结构. i. i. i=1. 5.1 引言. 时域离散系统或网络的描述方法： 差分方程 ：描述时域离散系统输入输出之间的关系。 单位脉冲响应 ：系统对  (n) 的零状态响应。 系统函数 ： 系统单位脉冲响应 h(n) 的 Z 变换 如果系统输入输出服从 N 阶差分方程，即： 其系统函数 H(z) 为：.

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第 5 章 时域离散系统的基本网络结构 与状态变量分析法

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  1. 第5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法 本章主要内容 • 引言 • 用信号流图表示网络结构 • 无限长脉冲响应基本网络结构 • 有限长脉冲响应基本网络结构

  2. i i i=1 5.1 引言 时域离散系统或网络的描述方法： • 差分方程：描述时域离散系统输入输出之间的关系。 • 单位脉冲响应：系统对(n)的零状态响应。 • 系统函数：系统单位脉冲响应h(n)的Z变换 如果系统输入输出服从N阶差分方程，即： 其系统函数H(z)为： 对输入信号的直接算法，已知x(n)、ai、bi和n时刻以前的y(n-i)，可以递推出y(n)

  3. 5.1 引言 为了用计算机或专用硬件对输入信号的处理，必须把上式变换成一种算法，按照这种算法对输入信号进行运算。 如果给定一个差分方程，对应不同的算法有很多种，例如： 因此研究实现信号的算法是一个很重要的问题，可用网络结构表示具体的算法，因此，网络结构实际表示的是一种运算结构。本章重点介绍数字系统的基本网络结构 H1(z)=H2(z)=H3(z) 不同的系统函数对应不同的算法，不同的算法直接影响系统运算误差，运算速度以及系统的复杂程度和成本

  4. 《信号与系统》的方框图表示法 DSP中三种基本运算流图 Z1 z -1 x(n) x(n-1) x(n) x(n-1) 延时单元 x1(n)+x2(n) 加法单元 x1(n) x1(n) x2(n) x2(n) 乘法单元 x(n) ax(n) a x(n) ax(n) a 5.2 用信号流图表示网络结构 1、数字信号处理中的三种基本算法：乘法、加法和单位延迟 x1(n)+ x2(n) Z1和a为支路增益，箭头表示信号流动方向，两个变量相加，用一圆点表示。信号流图的的圆点()表示节点，有输入(x(n))、输出(y(n))、中间节点。每个节点处的信号称为节点变量，节点间连线称为支路。所以信号流图由连接节点的一些有方向性的支路构成。

  5. 5.2 用信号流图表示网络结构 2.基本信号流图 不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有多种信号流图相对应。从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图。 • 信号流图中所有支路的增益是常数或者是z-1； • 流图环路中必须存在延时支路； • 节点和支路的数目是有限的。

  6. H(z) x(n) y(n) y(n) x(n) 图1 -b 图2 5.2 用信号流图表示网络结构 [例]：判断下列两图是否为基本信号流图。 基本信号流图对应一种具体的运算方法，非基本信号流图不能用一种具体的运算方法来实现。网络结构可以通过基本信号流图来描述。 a 以上两图都不满足基本信号流图的条件，图1支路的增益不是常数或Z-1，图2的流图环路中没有延时支路。

  7. b0 b1 W2’(n) z-1 x(n) y(n) z-1 b2 W2(n) W1(n) -a1 -a2 5.2 用信号流图表示网络结构 3.由基本信号流图求系统函数H(z) 根据给定的信号流图，设置中间节点变量，节点变量w(n)等于该节点的所有输入支路变量之和。代入中间节点变量，就可以最终确定流图的输入与输出关系，并根据输入、输出关系求出系统函数H(z)。 [例]：已知基本信号流图如下，求其系统函数H(z)。 解:(1)首先在信号流图中，设置中间节点变量w2'(n)、w2(n) 、w1(n)，列出节点变量状态方程；并对各方程求Z变换。

  8. w1(n)=w2(n-1); w2(n)=w2’(n-1); w2’(n)=x(n)-a1w2(n)-a2w1(n); y(n)=b2w1(n)+b1w2(n)+b0w2’(n); W1(z)=W2(z)z-1; W2(z)=W2’(z) z-1; W2’(z)=X(z)-a1W2(z)-a2W1(z); Y(z)=b2W1(z)+b1W2(z)+b0W2’(z); 5.2 用信号流图表示网络结构 (2)求解状态变量的Z变换方程，用X(z)和常数，Z-m表示Y(z),根据H(z)=Y(z)/X(z)，求出系统函数H(z)。

  9. + 其它n 5.2 用信号流图表示网络结构 4.网络结构分类 描述系统的差分方程为： 一般将网络结构分成两类 • 有限长脉冲响应网络(FIR) 特点:(1) 单位脉冲响应h(n)有限长； (2)网络结构中不存在输出对输入的反馈支路； 其差分方程可表示为： • 无限长脉冲响应网络(IIR)： (1)网络的单位脉冲响应h(n)是无限长的； (2) 网络结构中存在输出对输入的反馈支路，即:信号流图中存在环路。

  10. 5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构 IIR基本网络结构有三种：直接型、级联型和并联型 一、直接型：(直接Ⅰ型、Ⅱ型) 对N阶差分方程重写如下： 1、直接Ⅰ型： 从差分方程出发，用基本运算单元直接画出网络流图，第一部分(输入)对应 ，第二部分(反馈)对应 设：M=N=2，根据差分方程直接画出网络结构

  11. W1 W2 5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构 直接I型 优点：结构简单、清晰； 缺点：所用运算单元多，延时支路较多； ak、bk常数对滤波器的性能控制作用不明显； 零、极点关系不明显，调整困难

  12. 5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构 • 直接Ⅱ型 ： 由于系统函数 H(z) = H1(z)H2(z) = H2(z)H1(z)，上图中两部分交换位置，由于节点变量W2=W2，前后两部分延时支路可以合并。 • 优点： • 结构简单、清晰，延时支路比直接I型减少一半； • 缺点： • ak、bk常数对滤波器的性能控制作用不明显； • 零、极点关系不明显，调整困难。 • 系数量化效应敏感度高

  13. 5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构 [例]：已知IIR数字滤波器的系统函数，画出该滤波器的直接型结构。 解：由H(z)写出差分方程如下： 也可以按照系统函数表达式直接画出直接II型网络结构。

  14. 5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构 二、级联型 对于系统函数 分子分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数，现将分子分母多项式分别进行因式分解，得到 将共轭成对的零点(极点)放在一起，形成一个二阶多项式，系数仍为实数，将分子、分母均为实数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶网络。 式中，A是常数，Cr，dr分别表示零点、极点，为实数或共轭成对的复数

  15. 0j 0i x(n) y(n) x(n) y(n) z-1 z-1 1j 1j 1i 1i z-1 2i 2i 直接型一阶网络结构图 直接型二阶网络结构 5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构 一阶网络系统函数为： 式中：β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均为实数。这样，H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式： H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z) ：级联型结构不是唯一的 式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构表示。 二阶网络系统函数为：

  16. x(n) y(n) H1(z) H2(z) Hk(z) 5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构 IIR的级联型网络结构：H(z)= H1(z)H2(z)Hk(z)，级联型示意图： 优点: • 所需存储器最少，系统结构组成灵活； • 每个一阶网络决定一个零点、一个极点，每个二阶网络决定一对零点、一对极点。调整一阶网络和二阶网络系数可以改变零极点位置，所以零、极点调整方便，便于调整频响； 缺点： • 存在误差积累、级联结构中后面的网络输出不会传送到前面，所以运算误差的积累相对于直接型要小； • 零、极点配合关系着网络最优化的问题，而最佳配合关系不易确定。

  17. y(n) x(n) 2 z-1 4 0.37 0.25 1.24 z-1 z-1 -0.5 5.26 5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构 例:已知IIR数字滤波器的系统函数，画出该滤波器的级联型结构。 为了减少单位延迟的数量，将一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络，二阶的分子、分母多项式组成一个二阶网络。 解: 将H(z)的分子、分母进行因式分解，得 则 H(z)的级联型结构为：

  18. x(n) a y(n) H1(z) H2(z) Hk(z) 5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构 3、并联型 将H(z)展成部分分式形式得到IIR并联型结构，即： 式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为： 式中，β0i、β1i、α1i和α2i都是实数。如果a2i=0则构成一阶网络。 其输出Y(z)表示为： Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z) 表明：将x(n)送入每个二阶(或一阶)网络后，将所有输出相加得到输出y(n)

  19. 5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构 优点： • 所需存储器最小； • 无误差积累，各级误差互不影响，仅极点调整方便。所以，在要求准确传输极点的场合，宜采用这种结构; 缺点: • 零点调整不方便，当H(z)有多阶极点时，部分分式展开不易。

  20. + + 2 H ( z ) z 2 z 1 = - = = B ( z 0 . 25 ) - 25 = = . . z 0 25 z 0 25 - z z ( z 0 . 5 ) + + 2 H ( z ) z 2 z 1 = = = C z 8 = = z 0 z 0 - - z ( z 0 . 5 )( z 0 . 25 ) + + 2 H ( z ) z 2 z 1 = - = = A ( z 0 . 5 ) 18 = = z 0 . 5 z 0 . 5 - z z ( z 0 . 25 ) 5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构 例:若系统函数 ，求H(z)的并联型结构。 解：确定 H(z)极点 z1=0.5，z2=0.25均为一阶极点；并将 H(z)表示成 Zn 正幂等式， 对H(z)展开成部分分式

  21. 8 y(n) x(n) 18 0.5 Z-1 －25 0.25 Z-1 5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构 将上式每一部分用直接型结构实现，其并联型结构如下图：

  22. x(n) z-1 z-1 z-1 z-1 h(0) h(1) h(2) h(N-2) h(N－1) y(n) FIR 直接型网络结构 5.4 有限长冲激响应(FIR)基本网络结构 FIR网络结构特点 没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程为: 一、直接型(或称卷积型、横截型、横向型) 直接按H(z)或者差分方程画出没有反馈支路的结构图。

  23. x(n) 01 02 0L y(n) z-1 z-1 z-1 11 12 1L z-1 z-1 22 z-1 21 2L FIR级联型网络结构示意图 5.4 有限长冲激响应(FIR)基本网络结构 二、级联型 H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶网络，形式如下： 优点：调整零点位置比直接型方便。 缺点：所需乘法器较多，H(z)阶次较高时，因式分解不容易。 FIR网络结构中还有线性相位型，将在第七章介绍。 β0i、β1i、β2都是实数。如果β2i=0则为一阶网络。

  24. z-1 z-1 z-1 x(n) 1. 5 0.96 2 2.8 y(n) x(n) 0.6 y(n) 1.6 z-1 z-1 2 0.5 z-1 3 5.4 有限长冲激响应(FIR)基本网络结构 例:已知FIR网络系统函数H(z)=0.96+2Z-1+2.8Z-2+1.5Z-3，分别画出H(z)直接型与级联型结构。 解：1. 根据H(z)直接画出FIR直接型结构 2. 对H(z)进行因式分解，H(z)=(0.6+0.5Z-1) (1.6+2Z-1+3Z-2)，画出级联结构。

  25. k=0,1,2,…N-1 5.4 有限长冲激响应(FIR)基本网络结构 三. 频率采样结构 频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号时域混叠，此时原序列的z变换H(z)与频域采样值H(k)满足下面关系式： 要求：频率域采样点数N≥M，上式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。

  26. 5.4 有限长冲激响应(FIR)基本网络结构 H(z)是由一梳状滤波器Hc(Z)和N个一阶网络Hk(z)的并联结构进行级联而成。 对H(z)的内插公式写成下式： 根据H(z)的表达式，网络结构中有反馈支路，是由Hk(z)产生的，其极点为Zk=WN-k，即单位圆上有等间隔分布的N个极点，由于Hc(Z)为梳状滤波器，其零点为： 零点也是等间隔分布在单位圆上，极点和零点相互抵消，保证了网络的稳定性。

  27. 5.4 有限长冲激响应(FIR)基本网络结构 FIR滤波器频率采样结构 优点： • 频响特性调整方便，在频率采样点ωk，H(ejωk)=H(k)，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k))，可有效地调整频响特性。 • 易于标准化、模块化：只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便于标准化、模块化。

  28. 5.4 有限长冲激响应(FIR)基本网络结构 频率采样结构两个缺点： • 系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的，由于寄存器的长度有限，有限字长效应可能使零极点不能完全抵消，影响系统的稳定性。 • 由于H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。 为了克服以上缺点，采取下面修正措施 • 将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径r<1且r1，这样，以z/r代替原H(z)表示式中z。

  29. a0k 令：a0k=2Re[H(k)]， a1k=2Re[rH(k)WNk]， z-1 a1k z-1 k=0,1,…,N/2-1； -r2 FIR频率采样修正型子网络结构 5.4 有限长冲激响应(FIR)基本网络结构 • 若h(n)是实序列，根据其DFT变换对称性，H(k)=H*(N-k)，旋转因子(WN-k)*= WN-(N-k)，将Hk(z)和H(N-k)(Z)合并为一个二阶网络，并记为Hk(z)

  30. 5.4 有限长冲激响应(FIR)基本网络结构 • 当N为偶数时，H(0)和H(N/2)为实数，H(Z)可表示为： • 当N为奇数时，只有H(0)为实数，H(Z)可表示为： 可见，当采样点数N很大时，网络结构很复杂，需要的乘法器和延时单元很多，对于窄带滤波器，大部分采样值为零，使二级网络个数大大减小，所以频率采样结构适合窄带滤波器的设计。

  31. 5.4 有限长冲激响应(FIR)基本网络结构 本章作业 第1题 第2题 第5题: (b)、(c) 第6题: (b)、(f)

  32. 5.4 有限长冲激响应(FIR)基本网络结构 1、在IIR基本网络结构中，哪种网络结构的误差积累最小 【 】 ① 直接型 ② 级联型 ③ 并联型 ④ 无法比较 2.在IIR基本网络结构中，零、极点调整均方便的网络结构是 【 】 ① 直接型 ② 级联型 ③ 并联型 ④ 无法比较 ③ ②

  33. 5.4 有限长冲激响应(FIR)基本网络结构 一线性时不变因果系统由差分方程 描述，判断该系统属于FIR和IIR中的哪一类？并确定系统函数H(z)。

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