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广义相对论课堂 19 测地线方程对称性求解

广义相对论课堂 19 测地线方程对称性求解. 201 1 . 11 . 18. 课程安排. 复习内容： 测地线方程 新内容： 测地线方程求解 下次课：续、Schwarzschild情况 调查表. 复习、回顾、总结 重点. 为什么3个重复指标是错误的？. 对照. 学习内容. 测地线内容. 第零：测地线的意义是什么？ 第一：怎么得到测地线方程？ 第二：如何求解测地线方程？ 第三：得到后如何利用测地线解？. 第一点（不要求掌握） 怎么得到测地线方程？. 第1种：局域直线 第2种：弧长稳定值. 第2种途径：变分原理. 示范：运用指标法则书写公式. 仿射参数.

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广义相对论课堂 19 测地线方程对称性求解

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Presentation Transcript

  1. 广义相对论课堂19测地线方程对称性求解 2011.11.18

  2. 课程安排 复习内容：测地线方程 新内容：测地线方程求解 下次课：续、Schwarzschild情况 调查表

  3. 复习、回顾、总结重点

  4. 为什么3个重复指标是错误的？ • 对照

  5. 学习内容

  6. 测地线内容 • 第零：测地线的意义是什么？ • 第一：怎么得到测地线方程？ • 第二：如何求解测地线方程？ • 第三：得到后如何利用测地线解？

  7. 第一点（不要求掌握）怎么得到测地线方程？ 第1种：局域直线 第2种：弧长稳定值

  8. 第2种途径：变分原理 示范：运用指标法则书写公式

  9. 仿射参数 • 拉氏量=常数，但对路径x(τ)依赖 • 路径参数τ • 要利用到常数这一点！——仿射参数！ • 若不是仿射参数

  10. 第二点：测地线方程协变形式

  11. 第三点：测地线方程逆变形式 目标：类似三维牛顿方程

  12. 第四点：仿射联络or克氏符 名称由来 LIF条件2 对称性 曲线坐标

  13. LIF的第二个条件的运动学意义 • LIF中，度规的一阶导数＝0，＝》LIF中，所有克氏符号＝0，＝》自由粒子运动方程为平直时空中的

  14. 反省3问题 • 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用的是什么？ • 如果不是，请问哪些你没学到？ • 如果不确定，请解释原因。 • 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？ • 3、不清楚的原因是 • 讲课不够清楚？ • 缺少提问的机会？ • 你事先没有准备？ • 缺乏课堂讨论？ • 其他？

  15. 第五点：测地线方程求解初始条件

  16. 测地线方程 • 二阶常微分方程，对比牛顿和狭义相对论惯性运动方程 • 一组4个，相互耦合，二阶常微分方程组， 求解出4个x(tau)函数 • 初始条件：初始位置和初始四速度，定解

  17. 第六点：测地线方程求解降阶

  18. 求解测地线方程－对称性和守恒律 • 任意度规下都有一个天然的初积分－－四速度归一化，即线元 • 自由度 • 习题8.6 • 类似牛顿力学，守恒律给出运动方程的初积分（运动常数），降阶到一阶常微分

  19. 第7点：测地线方程求解循环坐标

  20. 第8点：对称性=变换不变性

  21. 第9点：对称性=》守恒律守恒量、运动常数

  22. 第10点：用Killing矢量表达时空对称性

  23. 对称性给出守恒律 • 度规中不出现的坐标－循环坐标（可遗ignorable）－拉氏量中不出现的坐标， • 平移变换x->x+Const不改变度规 • Killing矢量，在任一方程！ • 不依赖坐标系——矢量表征对称性 • 一个对称性意味着沿着一条测地线有一个守恒量，由拉格朗日方程，计算直接由测地线方程也可 • 常常写成为动量形式

  24. 第11点：利用运动常数

  25. 零测地线 • 5.5节，平直时空运动方程t=r, • 四速度定义 • 仿射参数定义，常常就是t，at+b也是,但是t的非线性函数不是 • 仿射变换：线性＋平移 • 零测地线－弯曲时空u*u=0，一个方程不足以确定四个未知函数 • 1。等效原理：在LIF中应该是平直时空的零测地线方程 • 2。在任意坐标系中成立 • 因此，弯曲时空零测地线方程用仿射参数（此即仿射参数定义）表达，类似于类时测地线方程，类空测地线方程tau->s • t是仿射参数，则at+b也是

  26. 利用测地线构造LIF的坐标系 • 1.在时空中任意一点P！ • 2.选取一组标准正交基，例如某个观者在P处的实验室的标准正交基，这样就保证了LIF条件一 • 3.取从P点出发的某个方向上一个单位矢量n，在n的方向发出一条测地线，类空x=sn,类时x=tn,类零x=lambda*n • 4.在P点处的所有方向上重复3 • 5.这个坐标系唯一地标记了距离P点足够近(测地线没有交叉，否则同一点有不同坐标值)的这些时空点

  27. 黎曼法坐标 • 黎曼法坐标：标准正交基＋测地线 • 构成了P点处的一个LIF • 1. 因为是标准正交基，在P点处 • 2. 由测地线方程，在P点处 • 对所有单位矢量n成立，由克氏符号与度规关系 • 例8.8

  28. 自由下落系FFF • 更进一步，在足够短时间内，一个足够小的自由下落实验室内，惯性运动 • 最接近牛顿和狭义相对论力学的惯性系 • 例如太空站、无拖曳卫星、矿井 • 沿一条测地线上所有点的克氏符号＝0 • =沿一条测地线上所有点的一个LIF • 但是仅在定义FFF的测地线上克氏符号为零

  29. 构造自由下落系 • 和牛顿和狭义相对论中惯性系的构造类似 • 1.选择沿某一条测地线运动的自由测试粒子 • 2.沿着测地线的固有时为时间坐标，测试粒子的位置为空间坐标的原点(像构造黎曼法坐标一样，以这个粒子（观者）的标准坐标基为坐标基，沿这条测地线方向的单位矢量n=(1,0,0,0)=u,t=tau*n) • 3.在某个固有时时刻，定位三个陀螺仪在三个正交方向上 • 4.在以后的时刻，用陀螺仪确定的方向构造空间坐标，三个空间坐标标架不转动，像构造黎曼法坐标一样赋予坐标x^i=s*n^i，

  30. 反省3问题 • 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用的是什么？ • 如果不是，请问哪些你没学到？ • 如果不确定，请解释原因。 • 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？ • 3、不清楚的原因是 • 讲课不够清楚？ • 缺少提问的机会？ • 你事先没有准备？ • 缺乏课堂讨论？ • 其他？

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