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函数单调性的判定

函数单调性的判定. 一、拉格朗日中值定理 二、函数单调性的判定. 则至少存在一点. 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是 f ( a )= f ( b ). 如果能由 f ( x ) 构造一个新函数 使 在 [ a,b ] 上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决. 一、拉格朗日中值定理. 定理 1 设函数 f ( x ) 满足. (1) 在闭区间 [ a,b ] 上连续；.

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函数单调性的判定

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  1. 函数单调性的判定 一、拉格朗日中值定理 二、函数单调性的判定

  2. 则至少存在一点 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决. 一、拉格朗日中值定理 定理1 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；

  3. 弦线的方程为 即可. 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差. 作辅助函数 拉格朗日中值定理的几何意义： 如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.

  4. 由于f(x)在[a,b]上连续，因此 在[a,b]上连续. 由于f(x)在(a,b)内可导，因此 在(a,b)内可导. 又由于 因此 在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少存在一点 ，使 ，即 从而有 ，或表示为 证 令

  5. 上述结论对b<a也成立.

  6. 如果f(x)在(a,b)内可导， 则在以 为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日中值定理，即 其中 为之间的点.也可以记为 或 因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.

  7. 事实上，对于(a,b)内的任意两点 ，由拉格朗日中值定理可得 位于x1， x2之间，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性可知f(x)在(a,b)内恒为某常数. 由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论： 推论1若 在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数.

  8. 事实上，由已知条件及导数运算性质可得 推论2若在(a,b)内恒有　 　，则有 f(x)=g(x)+C, 其中C为某常数. 由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.

  9. 注意罗尔定理的条件有三个: (1)函数y=f(x) 在[a,b]上连续.(2)f(x)在(a,b)内可导.(3)f(a)=f(b). 分析 例1选择题.选出符合题意的选项. 下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的有( ).

  10. 不难发现 ，在[－2,0]上不满足连续的条件，因此应排除A. 对于 ，在[－2,4]上连续，在(－2,4)内可导；f(－2)=36，f(4)=0， ，因此应排除B.

  11. 对于f(x)=|x|，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可导，因此应排除Ｄ.对于f(x)=|x|，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可导，因此应排除Ｄ. 综合之，本例应单选Ｃ.

  12. 例2设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线( ). 由题目中所给的条件可知，函数y=f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，可知至少存在一点 使得 分析 又由导数的几何意义可知曲线y=f(x)在　　　　处的切线斜率为零，即切线平行于x轴.因此本例应选B. B.至少有一条； A.仅有一条； C.不一定存在； D.不存在.

  13. 例3选择题.函数 在区间[－1,3]上满足拉格朗日中值定理的 =( ). 由于 在[－1,3]上连续，在(－1,3)内可导，因此f(x)在[－1,3]上满足拉格朗日中值定理条件. 分析 由拉格朗日定理可知，必定存在 由于f(b)=f(3)=16, f(a)=f(－1)=4,而 因此有

  14. 如果函数f(x)在某区间上单调减少，则它的图形是随x的增大而下降的曲线.如果所给曲线上每点处都存在非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非正，即 . 二、函数单调性的判定 函数的单调性是函数的一个重要特性. 如果函数f(x)在某区间上单调增加，则它的图形是随x的增大而上升的曲线.如果所给曲线上每点处都存在非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非负，即 .

  15. 定理4.8设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.则有定理4.8设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.则有 (1) 如果在(a,b)内 ，那么，函数f(x)在[a,b]上严格单调增加. (2) 如果在(a,b)内 ，那么，函数f(x)在[a,b]上严格单调减少. 证 在[a,b]上任取两点 ，不妨设 . 由定理的条件可知，f(x)在 上连续，在 内可导. 由拉格朗日中值定理可知，至少存在一点 ， 使得

  16. 有必要指出，上述定理中[a,b]为闭区间， 如果换为开区间、半开区间或换为无穷区间仍然有相仿的结论.

  17. 解 例1

  18. 解 由此可知，在 及 内，所给函数严格单调增加， 例2 在(－2,1)内所给的函数严格单调减少.

  19. 解 这三个点x=－1，0，1将y的定义域　　　　分为　　　　　　　　 四个子区间. 为了研究函数的单调性，我们只关心　在上述四个子区间内的符号， 例3

  20. 第二栏标出　在各子区间内的符号.第三栏为函数的增减性.如本例可列表：第二栏标出　在各子区间内的符号.第三栏为函数的增减性.如本例可列表： 可知所给函数严格单调增加区间为　　　　 　. 严格单调减少区间为 . 表中第一栏由小至大标出函数的定义域被三个特殊点划分的四个区间.

  21. 往往可以利用单调性证明不等式.其基本方法是：往往可以利用单调性证明不等式.其基本方法是： F(x)=f(x)－g(x) 如果F(x)满足下面的条件：

  22. 解 例4

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