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图 论. (Ⅵ). 刘晓华. V 1. V 1. V 1. V 4. V 4. V 4. V 3. V 2. V 2. V 2. V 3. V 3. 第四章 平面图与图的着色 4.1 平面图 1. 某些实际问题中涉及到图的平面性的研究,譬如印刷电路板的设计、大规模集成电路的布局布线等问题。 定义 :若能把图 G 改画在一个平面上 ( 同构 ) ,使新图 G’ 的任何两条边都不相交,就称 G 可嵌入平面 、是 可平面图 ,称 G’ 是 G 的一个 平面嵌入 , G’ 是一个 平面图 。. f 3. f 3. f 1.

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Presentation Transcript
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图 论

(Ⅵ)

刘晓华

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第四章 平面图与图的着色

4.1 平面图

1.某些实际问题中涉及到图的平面性的研究,譬如印刷电路板的设计、大规模集成电路的布局布线等问题。

定义:若能把图G 改画在一个平面上(同构),使新图G’的任何两条边都不相交,就称G可嵌入平面、是可平面图,称G’是G的一个平面嵌入,G’是一个平面图。

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  • 平面图的域(面) 内部域、无限域

一个域的边界

  • 在平面图G中,边e为两个域的公共边界当且仅当e不是G的割边
  • 测地变换(见p.69图):实现平面图G与球面图G’的转换,其中G的无限域对应G’的北极N所在的内部域
  • 平面图G1 总可以改画为新一平面图G2,使G1的无限域对应于G2 的一个内部域
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2. 欧拉公式

定理:设G是平面连通图,则G的域的个数为 d=m-n+2 . (域数=边数-结点数+2)

证:因G为连通图,故有支撑树T。

  对于T,仅有一个域(n-1条边)。每新加入G-T的一条边,域即恰好增加一个。这样的边共m-(n-1)条,故最终得到G时域数为m-n+2.

d = 6-4+2 = 4

d = 8-5+2 = 5

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推论1 若平面图G有k个连通分支,则

d=m-n+k+1.

证:将k个连通分支由左到右顺序排列,相邻两分支间加入一条新边相联(共加入k-1边),则所得新图与原图域数相同。

 应用欧拉公式有

d=(m+k-1)-n+2=m-n+k+1.

 推论2 对平面图G,有

n-m+d≥2.

证:由推论1立得。

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推论3 设平面连通图G 没有割边,且每个域的边界数至少为t, 则m≤t(n-2)/(t-2) 。

证明:设G有d个域,每个域的边界数至少为t,则d个域的边界数和的≥td。

由于G没有割边,故每条边都是某两个域的边界,因此上面计算所有域边界数之和时,每条边均被计数过两次。

  故 2m≥td, 代入 d=m-n+2, 可得

m≤t(n-2)/(t-2) .

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4.2 极大平面图

1. 定义:设G是结点数n≥3的简单平面图,若在任意两个不相邻结点vi,vj之间,加入边(vi,vj)就会破坏图的平面性,则称G为一个极大平面图。

  • 极大平面图的边数和域数在图的现有结点数的限制下已达到了极限,再多一条边即会破坏其平面性。
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2. 极大平面图的性质

1)G是连通的

2)G不存在割边

3)G的每个域的边界数都是3。

证:由于简单图不存在自环与重边(边界数为1,2的域),故域的边界数≥3。若边界数>3,则在此域中至少可加一条边,而不会破坏其平面性,矛盾。

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4)3d=2m(d为域数, m为边数)

证:d个域的边界数之和为3d(每域有3条边)。

由于极大平面图没有割边,故每条边均是两个域的边。求边界数总和时每条边均恰好计数了两次,故边界数之和为边数的两倍,即2m,从而 3d=2m 。

定理极大平面图G的边数和域数完全由结点数决定。具体有 m=3n-6,d=2n-4。

证:对G有3d=2m, 代入欧拉公式d=m-n+2 ,即证。

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3. 简单平面图的一个必要条件

定理 若简单图G为一个平面图,则必有:

m≤3n-6,d≤2n-4.

证:d个域的边界数之和≥3d(每域至少有3条边)。

求边界数总和时,每条非割边恰好计数了两次,每条割边只计数了一次,故边界数之和不超过边数的两倍,即≤2m,从而 3d≤2m 。代入欧拉公式d=m-n+2 ,即证。

  • 证明一个简单图为非平面的,可通过证明它不满足平面图的必要条件来实现。这可以用Euler公式或以上定理验证。但域数有时难以确定,故常用验证m≤3n-6不成立来证明 。
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例1某个简单平面图边数为12, 结点数为6, 则每个域的边界数为3。

证:域数d=12-6+2=8。

因为简单平面图每个域的边界数至少为3,若至少有一个域的边界数超过3,则 各域的边界数之和>3*8=24。

由于求边界数总和时,每条边最多计数两次,故边界数之和不超过边数的两倍,即≤2*12,从而 24<24,矛盾。

故每个域的边界数不会超过3,即恰好等于3。

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例2若简单平面图G中不含有K3子图,则边数m≤2n-4。例2若简单平面图G中不含有K3子图,则边数m≤2n-4。

证明:G不含K3子图(三角形子图),故不含边界数为3的域,因此每个域的边界数至少为4,从而各域的边界数之和≥4d。

另一方面,由于每条边最多计数两次,故边界数之和不超过边数的两倍,即≤2m,所以 4d≤2m.

将d=m-n+2代入不等式,即可证得

m≤2n-4 .

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例3简单平面图G中存在度数小于6的结点。

证明:若每个点的度数不小于6,则所有结点的度数之和≥6n.

由于所有结点的度数之和为边数的2倍,所以 2m≥6n, 故m≥3n。

这与简单平面图满足的性质m≤3n-6相矛盾,故G中必有度数小于6的结点。

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例4若简单平面图G中的结点数n≤11,则其中一定存在度数<5的结点。例4若简单平面图G中的结点数n≤11,则其中一定存在度数<5的结点。

证:假设每个结点的度数≥5,则所有结点的度数之和≥5n。

由于所有结点的度数之和为边数的2倍,所以 2m≥5n, 故m≥5n/2。

另一方面,对于简单平面图有m≤3n-6,故5n/2≤3n-6 ,由此可得n≥12,这与题设矛盾。

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4.3 非平面图

1. 定义:如果一个图无论如何调整边的画法,均无法避免相交则称为非平面图。

例1完全图K1,K2,K3,K4是可平面图。

例2设e是完全图K5的任意一边, 则K5-e是可平面图。

问题: K5还是可平面图吗?

定理1 K5是非平面图。

证:若K5是平面图,则应满足m≤3n-6. 但K5中m=10, n=5, 不满足此不等式,故它不可能是平面图。

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定理2 完全二分图K3,3是非平面图。

证:若K3,3是平面图(m=9, n=6),则域数d= m-n+2=5.

由于K3,3中不含K3子图(三角形子图),因此每个域的边界数至少为4,从而各域的边界数之和≥4*5=20 ,于是有2m≤20, 从而m≤10 ,与题设矛盾。

所以, K3,3不可能是平面图。

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2. 图可平面嵌入的充要条件

记K(1)= K5, K(2)=K3,3。

K型图——K(1)或K(2)的若干边上增加若干结点(度为2)所得的图。

  • 增减度数为2的结点不影响图的平面性。

Kuratowski定理:G是平面图的充要条件是G中不存在K型子图。

证:必要性. 因为平面图的任意子图必是平面图,故G中不会含K型子图,否则K型子图就是平面图了,矛盾。

充分性略。

  • Kuratowski定理理论价值高,但实际应用困难
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4.4 图的平面性检测

1. 一般简易判断过程:

1)若G是非连通的,则分别检测每一个连通支。仅当所有连通支都是可平面的,G就是平面的;

2)若G存在割点,则从割点处分离,考虑每块的平面性;

(割点v : 若G-v比G的连通分支多;

块:无割点的连通分支)

3)移去自环、重边和度为2的结点。

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重复3),最后作出判断:

a) 当n<5或m<9时是可平面图;

(是Kn(n<5)或K5-e 的子图)

b) 若m>3n-6,则是非平面图。

c) 不是a)或b),则要用DMP算法进一步判断。

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(1)

可平面(因为n<5)

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(2)

可平面(m<9)

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2. 一般情形的平面性检测算法——DMP算法

DMP算法可用来解决疑难情形时的平面性判断。

定义 设H是G的可平面子图. H的一个片是指:

(1) 两端点在H内, 但边不属于H的一条边的子图;

(2) G-H内的一个连通分支S, S加上与S相邻的所有H的结点及边所得的子图S’。

例 下图中H为回路(v1,v2,v3,v4),则H的片共有三个。

H的片

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H的每个片与H的公共结点称为此片的附着点。若片B的全部附着点均在H的同一个域F的边界上,则说片B可嵌入(填入)域F中。H的每个片与H的公共结点称为此片的附着点。若片B的全部附着点均在H的同一个域F的边界上,则说片B可嵌入(填入)域F中。

  • DMP算法
  • 1) 任意选定G的一个回路H;
  • 2)求出H的所有片以及每个片可嵌入的域;
  • 3)选定可嵌入域数最少的一个片,从片中任取一条从附着点开始到附着点结束的道路加入H中,新图仍记为H,转2);
  • 反复执行2)、3),如果中途发现有片没有可嵌入的域,则G为非平面图;否则可将全部边填完,最后的图为G的平面嵌入图。
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 例 用DMP算法判断图4.11(a)和图4.12是否为可平面图。 例 用DMP算法判断图4.11(a)和图4.12是否为可平面图。

 计算过程见p.77,其中表中各项的含义为:

Gi: 相当于H;

f: H已有的域数;

  片B: 相对于当前H的所有片;

F(B,Gi): 各片可填入的H的所有域;

B: 本轮选定的填入片;

F: 拟填入的域;

Pi: 具体填入的路径。