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第五节　 直线、平面垂直的判定及其性质

第五节　 直线、平面垂直的判定及其性质. 线线垂直的证明及应用. 如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱 中， AB ＝ BC ， D 、 E 分别为 的中点， 证明： ED 为异面直线 BB 1 与 AC 1 的公垂线．. 分析 证明 ED 和 BB 1 、 AC 1 同时垂直．先由平面几何知识证明 BO ⊥ AC ，再证明 BO ⊥ 平面 ACC 1 A 1 ，即 ED ⊥ 平面 ACC 1 A 1. 证明. 规律总结 线线垂直的证明，可以有许多途径： 其一，利用某一平面上平面几何的关系；其二，利用

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第五节　 直线、平面垂直的判定及其性质

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  1. 第五节　直线、平面垂直的判定及其性质

  2. 线线垂直的证明及应用 如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱 中， AB＝BC，D、E分别为 的中点， 证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线．

  3. 分析证明ED和BB1、AC1同时垂直．先由平面几何知识证明BO⊥AC，再证明BO⊥平面ACC1A1，即ED⊥平面ACC1A1.分析证明ED和BB1、AC1同时垂直．先由平面几何知识证明BO⊥AC，再证明BO⊥平面ACC1A1，即ED⊥平面ACC1A1.

  4. 证明

  5. 规律总结线线垂直的证明，可以有许多途径： 其一，利用某一平面上平面几何的关系；其二，利用 线面垂直的性质；其三，利用面面垂直的性质等．

  6. 变式训练1 如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC＝BD＝a且它们所成的角为30°. (1)求证：EG⊥HF， (2)求四边形EFGH的面积．

  7. 【解析】

  8. 线面垂直的判定与性质 已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：MN⊥CD； (2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

  9. 分析(1)因为M为AB的中点，所以只要证△ANB为等腰三角形，则利用等腰三角形的性质可得MN⊥AB，即MN⊥CD.(2)已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC，易看出△PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MN⊥PC，则可得MN⊥平面PCD.分析(1)因为M为AB的中点，所以只要证△ANB为等腰三角形，则利用等腰三角形的性质可得MN⊥AB，即MN⊥CD.(2)已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC，易看出△PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MN⊥PC，则可得MN⊥平面PCD.

  10. 证明

  11. 规律总结线面垂直问题的证明，其一般规律是“由已知联想性质，由求证联想判定”，即根据已知条件去思考有关线面垂直的性质定理，根据欲证的结论去思考有关线面垂直的判定定理，往往需要将分析与综合进行结合，寻找已知条件和欲证目标间的联系．规律总结线面垂直问题的证明，其一般规律是“由已知联想性质，由求证联想判定”，即根据已知条件去思考有关线面垂直的性质定理，根据欲证的结论去思考有关线面垂直的判定定理，往往需要将分析与综合进行结合，寻找已知条件和欲证目标间的联系．

  12. 变式训练２如图所示，已知△ABD和△ACD都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.变式训练２如图所示，已知△ABD和△ACD都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°. (1)求证：BD⊥平面ADC； (2)若H是△ABC的垂心，求证：H是D在平面ABC内的射影．

  13. 【证明】(1)∵∠ADB＝∠ADC＝90°，DA＝DB＝DC，∴AB＝AC，【证明】(1)∵∠ADB＝∠ADC＝90°，DA＝DB＝DC，∴AB＝AC， 又∵∠BAC＝60°， ∴△ABC为正三角形， ∴AB＝BC＝AC，∴△ABD≌△CBD， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°， ∴BD⊥DC，又BD⊥AD，BD∩AD＝D，∴BD⊥面ADC. (2)∵H为△ABC的垂心， ∴AH⊥BC于M，连接DM，如图所示． ∵AD⊥DB，AD⊥DC，∴AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC， ∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥DH.同理，DH⊥AB. ∴DH⊥面ABC，∴H为D在平面ABC内的射影．　

  14. 面面垂直的判定与性质 如图所示，过S引三条长度相等 但不共面的线段SA、SB、SC， 且∠ASB＝∠ASC＝60°， ∠BSC＝90°， 求证：平面ABC⊥平面BSC.

  15. 分析取BC的中点O，连接AO、SO，既可证明AO⊥平面BSC，又可证明SO⊥平面ABC.或证明二面角的平面角为直角．

  16. 证明

  17. 规律总结面面垂直的证明问题，主要思路有两条：其一，用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；其二，用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．规律总结面面垂直的证明问题，主要思路有两条：其一，用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；其二，用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．

  18. 变式训练３　(2010·辽宁高考) 如图所示，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B. (1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1； (2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．

  19. 【解析】 (1)证明：∵侧面BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1. 又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B， ∴B1C⊥平面A1BC1.又B1C⊂平面AB1C， ∴平面AB1C⊥平面A1BC1. (2)如图，设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线． ∵A1B∥平面B1CD，∴A1B∥DE. 又E是BC1的中点， ∴D是A1C1的中点， 即A1D∶DC1＝1.

  20. 垂直关系的应用 (12分)在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝a，又侧棱PA⊥底面ABCD. (1)当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论； (2)当a＝4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM； (3)若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．

  21. 分析(1)寻求BD⊥平面PAC的条件，即BD垂直平面PAC内两条相交直线，易知BD⊥PA，问题归结为a为何值时，BD⊥AC，从而知ABCD为正方形．分析(1)寻求BD⊥平面PAC的条件，即BD垂直平面PAC内两条相交直线，易知BD⊥PA，问题归结为a为何值时，BD⊥AC，从而知ABCD为正方形． (2)若PM⊥DM，易知DM⊥面PAM，得DM⊥AM，由AB＝2，a＝4知，M为BC的中点时得两个全等的正方形，满足DM⊥AM.

  22. (1)当a＝2时，四边形ABCD为正方形，则BD⊥AC，2分(1)当a＝2时，四边形ABCD为正方形，则BD⊥AC，2分 ∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA， 又∵PA∩AC＝A，3分 ∴BD⊥平面PAC. 故当a＝2时，BD⊥平面PAC.4分 (2)证明：当a＝4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连接AM、DM、MN，如图.5分 ∵四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形，6分 ∴∠AMD＝∠AMN＋∠DMN＝45°＋45°＝90°，7分 即DM⊥AM.又PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥DM，∴DM⊥平面PAM，∴PM⊥DM，9分 故当a＝4时，有BC边的中点M使PM⊥DM. (3)设M是BC边上符合题设的点M， ∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM，11分 ∴M点应是以AD为直径的圆和BC边的交点，则AD≥2AB，即a≥4为所求.12分

  23. 规律总结无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线线垂直．在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的桥梁．

  24. 变式训练４ (2010·济南3月模拟)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱AA1、CC1于E、F两点． (1)求证：A1E＝CF； (2)若E、F分别是棱AA1、CC1的中点，求证：平面EBFD1⊥平面BB1D1D.

  25. 【证明】 (1)由题意知，平面EBFD1与平面BCC1B1交于BF，与平面ADD1A1交于ED1. 又平面BCC1B1∥平面ADD1A1， ∴BF∥ED1，同理BE∥D1F， ∴四边形EBFD1为平行四边形， ∴D1E＝BF. ∵A1D1＝CB，D1E＝BF，∠D1A1E＝∠BCF＝90°， ∴Rt△A1D1E≌Rt△CBF，∴A1E＝CF. (2)AE＝A1E＝FC＝FC1，AB＝BC， ∴Rt△EAB≌Rt△FCB，∴BE＝BF， 又四边形EBFD1是平行四边形， 故四边形EBFD1为菱形． 连接EF、BD1、A1C1，则EF⊥BD1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 有B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，∴B1D1⊥平面A1ACC1. 又EF⊂平面A1ACC1，∴EF⊥B1D1. 又B1D1∩BD1＝D1，∴EF⊥平面BB1D1D. 又EF⊂平面EBFD1，∴平面EBFD1⊥平面BB1D1D.

  26. 1．证明空间线面垂直的思维策略 (1)由已知联想性质，由求证寻找判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路． (2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是常用方法． (3)正确选择判定定理和性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论．

  27. 2．垂直关系的相互转化 线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直． 3．证明或判断线面垂直的常见方法 (1)利用线面垂直的判定定理．此种方法要注意平面内的两条直线必须相交． (2)利用线线平行的性质．两平行线中一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面． (3)利用面面垂直的性质．两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面． (4)利用面面平行的性质．一条直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个平面．

  28. 4．证明或判断面面垂直的常用方法 (1)求证二面角是直二面角． (2)利用面面垂直的判定定理． (3)两个平行平面中，有一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．

  29. 如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的底面为正三角形，侧棱B1B和C1C上分别有点D，E，且EC＝2DB.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的底面为正三角形，侧棱B1B和C1C上分别有点D，E，且EC＝2DB. 求证：平面ADE⊥平面ACC1A1.

  30. 错解

  31. 错解分析在上述证明中，凭空作出DN∥BM，交EA于N，则N为AE的中点，无依据，也没有说明直线DN在平面ADE中，因此，推理基础不够充分，故证明错误．错解分析在上述证明中，凭空作出DN∥BM，交EA于N，则N为AE的中点，无依据，也没有说明直线DN在平面ADE中，因此，推理基础不够充分，故证明错误．

  32. 正解

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