§3. 3 泰勒公式

1. §3. 3 泰勒公式 一、泰勒公式 泰勒中值定理 二、麦克劳林公式 首页 上页 返回 下页 结束 

2. 一、泰勒公式 问题的提出： 根据函数的微分，有 f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+o(x-x0) (当|x-x0|很小时)， 略掉o(x-x0)，得到求f(x)的近似公式 f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0) (当|x-x0|很小时)， 其误差为 R(x)=f(x)-f(x0)-f(x0)(x-x0)。 近似公式的不足：精确度不高，误差难于估计。 为了达到一定精确度的要求，可考虑用n次多项式Pn(x)近似f(x)。 下页

3. 一、泰勒公式 多项式Pn(x)的确定： 设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n1)阶导数，我们希望找出一个关于(xx0)的n次多项式 Pn(x)a0a1(xx0) a2(xx0)2 an(xx0)n 来近似表达f(x)，我们自然希望Pn(x)与f(x)在x0的各阶导数(直到(n1)阶导数)相等： f(x0)Pn(x0)，f(x0)=Pn(x0)， f(x0)Pn(x0)，f(x0)Pn(x0)，   f(n)(x0)Pn(n)(x0)。 下页

4. f(x0)Pn(x0) f(x0)=Pn(x0) f(x0)Pn(x0) f(x0)Pn(x0)   f(n)(x0)Pn(n)(x0) 一、泰勒公式 多项式系数的确定： a0， a0 f(x0)， =a1， a1 =f(x0)， 2!a2， 3!a3，   n!an。 Pn(n)(x)n!an。 Pn(x)a0a1(xx0) a2(xx0)2 an(xx0)n Pn(x)2a2 32a3(xx0)n(n1)an(xx0)n2， Pn(x) a12a2(xx0)nan(xx0)n1， Pn(x)3!a3432a4(xx0) n(n1)(n2)an(xx0)n3， 下页

5. 一、泰勒公式 多项式系数的确定： 于是所求多项式为 Pn(x)a0a1(xx0) a2(xx0)2 an(xx0)n 下页

6. 一、泰勒公式 泰勒中值定理： 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a, b)内具有直到(n1)的阶导数，则当x(a, b)时，f(x)可以表示为 称为f(x)按(xx0)的幂展开的n阶泰勒公式， 展开式 而Rn(x)的表达式 称为拉格朗日型余项。 下页

7. 一、泰勒公式 误差估计： 如果在区间(a, b)内，对于某个固定的n，|f(n1)(x)|总不超过一个常数M，则有估计式： 可见，当xx0时，误差|Rn(x)|是比(xx0)n高阶的无穷小， 即 Rn(x)o[(xx0)n]。 首页

8. 当x00时，泰勒公式及其余项 将变成什么形式？ 二、麦克劳林公式 麦克劳林公式： 下页

9. 二、麦克劳林公式 麦克劳林公式： 当x00时，泰勒公式将成为 近似公式： 下页

10. 例1．写出函数f(x)ex的n阶麦克劳林公式。 解：因为 f(x)f(x)f(x)f( n)(x)ex， 所以 f(0)f(0)f(0)f( n)(0)1， 下页

11. 例2．求f(x)sin x的n阶麦克劳林公式。 解：因为 f(x)cos x， f(x)sin x， f(x)cos x， f (0)0，f(0)1，f(0)0，f(0)1， f(4)(0)0，， 下页

12. sin xx， 当m1、2、3时，函数曲线的比较： 结束