关注初中学生数学能力发展的考试评价

1. 关注初中学生数学能力发展的考试评价 省 普 教 室 张 弘 shulao@126.com

2. 教育质量监测反应的情况： 福清、晋江、仓山、新罗、闽清、漳浦 四年级、八年级的数学 四年级数学成绩优秀学生比例比全国均值多较多，八年级多很少，且平均成绩比全国均值高，但第95百分位数却比全国均值还低，说明初中数学优秀生培养应引起重视 基础知识掌握较好，但探究能力方面位于全国平均线下

3. 福建省教育质量监测已经开始 教育质量的评价不是只有中考一个标准 评价内容、评价方式的改变 未雨绸缪——我们的准备：提高学生数学能力

4. 培养数学能力的重要性 课标：数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。 1. 提高学生的数学思维能力，是数学教育的基本目标之一 2. 培养学生的应用意识，符合社会的需要 3. 发展学生的创新意识，是培养创造性人才的需要

5. 义务教育新课程标准（2011版） 十个核心概念 数感 符号意识 空间观念 几何直观 数据分析观念 运算能力 推理能力 模型思想 应用意识 创新意识

6. 福建省初中数学学业考试对学生能力评价的要求福建省初中数学学业考试对学生能力评价的要求 福建省初中学业考试命题规范细目表（数学） 统计——试题量、总分值、得分率 分析——各能力评价试题得失情况 评价——各能力发展水平 建议

7. 运算能力 抽象概括能力 推理能力 空间观念 统计观念 应用意识和创新意识 初 中 重视数学能力的评价 提高学生的数学能力 做好初高中衔接 空间想象能力 抽象概括能力 推理论证能力 运算求解能力 数据处理能力 应用意识和创新意识 高 中

8. 运算能力 抽象概括能力 推理能力 空间想象能力（空间观念、几何直观） 数据分析观念 应用意识和创新意识 义教课标 2011版

9. 注重能力立意，重点考查数学学习能力 近几年各设区市中考数学试卷体现了共同特点：突出以知识为载体对学生的运算能力、推理能力、抽象概括能力、空间观念、统计观念、应用意识、创新意识等数学思考目标达成进行考查.

12. 各设区市初中数学试卷能力考查分布统计 图5

13. 运算能力： 会根据法则和运算律进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算.

14. 重视算理与算法，考查运算能力 初中数学运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子恒等变形，对特殊几何图形简单几何量的计算等，近年学生的运算能力普遍有下滑的趋势，为扭转这一局面，我省各设区市中考开始强化运算能力的考查，平均题量占14.1题，分值占总分的45.13%，达67.7分，除专门设置运算求值、解方程与不等式等传统运算题型外，还注重结合函数、解直角三角形、几何图形等问题的解题过程考查运算能力．在题目的设计上，命题者抛弃了繁难的运算过程，不堆砌运算技巧，改而关注运算方法的合理性和简捷性，在考查运算能力的同时，也对学生的思维能力和思维品质进行考查．

15. 数感、符号意识 运算能力的主要特征：正确、灵活、合理、简洁 运算的正确 运算的算理 估算的作用 培养运算能力 适度性 层次性 阶段性 计算器的使用

16. 算理：运算律、运算法则 算法：运算程序 步步有理 心中有据

17. 给出算法，然后求解是否更好？

18. 【评析】本题以函数为载体，通过定义一个“邻近点”的概念，考查考生对代数计算过程的算理理解，以及有条理的思维过程．试题中两个看似相关性不大的条件，其连接点是“纵坐标”，思路清晰，用“数”的形式求“形”的问题，如果对算理理解不够，没有根据“邻近点”的定义，对其两个条件进行验证，则解题受阻．代数试题的推理要求，使得试题区分度好，具有良有好的导向作用.【评析】本题以函数为载体，通过定义一个“邻近点”的概念，考查考生对代数计算过程的算理理解，以及有条理的思维过程．试题中两个看似相关性不大的条件，其连接点是“纵坐标”，思路清晰，用“数”的形式求“形”的问题，如果对算理理解不够，没有根据“邻近点”的定义，对其两个条件进行验证，则解题受阻．代数试题的推理要求，使得试题区分度好，具有良有好的导向作用.

20. 【评析】本道试题通过图形的旋转、平移，把观察、操作、探究、计算融合在一起，梯度设置合理流畅，进入易，深入难，需综合运用核心知识去灵活地解决问题. 试题通过结合具体的解题过程，让学生在分析、比较中，合理选择运算方法，减少运算量，提高准确率，考查学生的运算能力、思维能力以及思维品质.

22. 【评析】本题以二次函数为背景，通过探究动点在运动过程中与定点形成特定图形时的位置，把函数、相似、全等、面积等内容与观察、分析、探究和运算等进行有机结合，考查了学生的运算、推理、探究和创新等数学能力．试题设计由简到难，梯度设置适当，既有直接的求二次函数解析式的简单运算，又有对思维能力和数学思想要求较高的动定求解问题．试题所提供的解决问题的方法多样，不同的解题策略所反映思维品质不同，求解问题时所需要的运算方法和运算量也有差异，通过学生在分析和比较中对解题策略和运算方法合理选择，能很好地反映学生对数学运算基本算法和算理的的理解程度．

23. 推理能力： 能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据。抽象概括能力：对具体、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质，从给定的大量信息中，概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断.

24. 设置论证与推断猜测类试题，考查推理能力 推理能力既包括合情推理又包括演绎推理. 合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比、猜想是合情推理的常见方法；而演绎推理是从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则进行证明和计算．我省各设区市中考试题，在设计时也特别强调“合情推理”与“演绎推理”的相互渗透，通过设置图形变换的方式，或者展示图形变化过程中某些特定位置时的情况等，考查了学生归纳、类比、推理、论证等数学思维能力．

25. 考查学生基本推理能力的几何基础题。

27. 【评析】本题借助学生熟悉的“三角板”创设探究情境，引导学生在运动变化过程中发现规律，既有定性分析两三角形的边与边之间的位置关系，又有定量分析旋转角α的大小，体现了数学研究从数、形两方面入手，采用定性与定量分析相结合的研究策略．填空题命题形式，淡化逻辑推理与证明，更突显考查操作、探究与发现的命题立意．本题具有明显的探究性试题的特征，是数学中考命题中，考查课题学习的良好尝试．

28. 新定义 阅读理解能力 合情推理能力 背景新颖 符合学生的认知水平

29. 【评价】本题首先定义了一个“差倒数”新的数学概念，在两个示例的基础上要求学生能运用这个概念解决相应的问题.一方面考查学生阅读理解能力，另一方面考查学生对一组数据变化规律的合情推理能力。在这个相对新颖的问题情景中，学生无法套用旧模式解题，只能通过自己的阅读领悟、独立思考、合情推理达到对问题的规律性、本质性的理解与认识. 这种设置是考查学生数学学习能力的有效方式。

31. 【评析】本题以空间与图形中的核心知识（三角形相似的判定及性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理等）为基础，通过直角尺的旋转，设置由一般到特殊，再由特殊到一般的问题，由浅入深，层层递进．学生通过动手操作、观察作出合理的猜想，再进一步验证得出结论,合情推理与演绎推理缺一不可．问题设置梯度合理、流畅，重在考查学生的思维、推理能力，避免繁琐的运算，把操作、观察、探究融合在一起，考查了学生的思维能力和思维品质，具有良好区分度．

32. 阅读理解—模型探究—拓展应用 特殊——一般——特殊

33. 【评价】本题通过“阅读理解—模型探究—拓展应用”三环节问题设置，实际上向学生展示了一个研究具有一般性问题的较完整的过程：先从这个一般性问题的“特殊”（图1为直角情形）入手，到“一般”（图2为非直角情形）；再从“一般”（问题（2）①）上升到新背景中的“特殊”（问题（2）②），使学生经历了“特殊—一般—特殊”由浅入深、归纳与演绎交替变化的思维过程.试题在第一环节中提供了 “易证, △ABP∽△PCD”的启示，学生在解破“易证”中的具有广泛意义的思考或研究方法（即所谓“一般性方法”）后，就能类比解决后续的各个问题.考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力.本题的价值不仅在于环环相扣、层层推进的精彩设置，更在于其本身突出地展示着“一般性方法”的深刻含义和普遍适用性，能掌握并善于运用一般性方法，就显示出较高的数学学习能力.

35. 【评析】本题以空间与图形中的核心知识为基础，通过动点P不同位置设置，让在观察、操作、测量基础上作出合理的猜想，再从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则进行验证和计算．问题设置由浅入深、从特殊到一般，梯度合理、流畅，重在考查学生的探究和推理能力，把操作、测量、观测、探究猜想、推理验证融合在一起，渗透了特殊到一般，化归与转化等重要的数学思想．试题的考核与过程性目标相一致，数学思考和解决问题的能力得到了提高，培养学生创造意识和创新精神．本题解法多样，为考生今后继续做好有力的铺垫．体现了“二考合一”中的选拔功能，具有良好的区分度．【评析】本题以空间与图形中的核心知识为基础，通过动点P不同位置设置，让在观察、操作、测量基础上作出合理的猜想，再从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则进行验证和计算．问题设置由浅入深、从特殊到一般，梯度合理、流畅，重在考查学生的探究和推理能力，把操作、测量、观测、探究猜想、推理验证融合在一起，渗透了特殊到一般，化归与转化等重要的数学思想．试题的考核与过程性目标相一致，数学思考和解决问题的能力得到了提高，培养学生创造意识和创新精神．本题解法多样，为考生今后继续做好有力的铺垫．体现了“二考合一”中的选拔功能，具有良好的区分度．

36. 【漳州24】

37. 抽象概括能力： 对具体、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质，从给定的大量信息中，概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断.

38. 设置规律探索题，考查抽象概括能力 高度的抽象性是数学的一个显著特点,它决定了数学思维的本质是抽象概括的思维，数学能力的本质是抽象概括的能力．因此各设区市试题重视对数学抽象概括能力的考查，通过提供丰富的感性材料，设置规律探索题和综合应用题型，让学生从图形、关系、运算等结构中抽取其本质特征,考查学生观察、分析、类比、推断、抽象的能力和数学建模能力．

40. 【评析】本道试题以观察并抽象概括数阵排列规律为载体，考查抽象概括能力. 解答本题学生需观察、分析并概括数阵的纵向、横向排列规律，再归纳猜想所求结果. 从实测结果0.82的难度系数和0.67的区分度显示，本题具有较好的区分度. 同时也反映出学生的两极分化非常明显，说明学生在抽象概括能力的培养与发展方面仍有待进一步提高.

42. 【评析】缠绕绳子是考生熟知常见的基本生活经验，试题将平面直角坐标系等基础知识融入细线缠绕背景之中，考查空间观念和推理能力，渗透数形结合思想．不同层次的考生，可以通过不同的次数（时间）的缠绕体验并从中抽象概括出数学的规律与本质，让考生深切的体验到生活之中有数学，用数学知识理性地观察分析生活中现象和经验，倡导学数学、用数学的应用意识和实践能力．【评析】缠绕绳子是考生熟知常见的基本生活经验，试题将平面直角坐标系等基础知识融入细线缠绕背景之中，考查空间观念和推理能力，渗透数形结合思想．不同层次的考生，可以通过不同的次数（时间）的缠绕体验并从中抽象概括出数学的规律与本质，让考生深切的体验到生活之中有数学，用数学知识理性地观察分析生活中现象和经验，倡导学数学、用数学的应用意识和实践能力．

44. D A O 100º 32 cm C B 图8-1 图8-2 〖宁德卷第23题〗 某大学计划为新生配备如图8-1所示的折叠椅．图8-2是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm，∠DOB＝100°，那么椅腿的长AB和篷布面的宽AD各应设计为多少厘米？（结果精确到0.1cm） 【评析】试题背景来自生活实际，它是每一位学生都熟悉的素材，符合学生的生活现实.试题以“问题情景—建立模型—解释、应用、拓展”的模式展开，考查了学生利用数学知识解决实际生活中简单问题的能力，有效地提高考查信度.

46. 【评析】本题以图文的形式呈现问题情境，背景贴近学生生活又富有生气，不仅给学生以亲切感,而且也考查了学生数学建模与求解方程的能力．求解本题时,首先要先将图文情境加以提炼，抽象为数学模型，本题设5元和8元的笔记本各买了x本和买(40-x)本，则它们总价的和就应为[5x+8(40-x)]元，而这个总价恰好应等于付出的钱减去找回的钱，即等于（300-68）元．但如果问题只是设计到此，则数学建模所承载的抽象能力的考查就无法真正实现，因为那是学生所熟知的问题，多数学生凭经验就可解决，然而命题者话锋一转，“我把口袋里的13元一起当作找回的钱款了”，那么实际两种笔记本的总价是多少元呢？学生又要再次把它抽象为数学问题求解．第（2）小题的设计，更是将试题提高了一个层次，“小明为什么不可能找回68元”这一全新的设问，引发学生思考，可以用怎样的方式加以解答？若用平常熟悉的方程模型，那么其结果x=88/3又该如何解释现实问题？随着学生对这些问题的解决，试题所关注的阅读理解能力、信息整合能力、建立方程模型解决问题能力等都得到了考查，也使数学建模更富有生命力．

47. 空间观念： 能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。

48. 通过想象与操作，促进空间观念的发展 几何对学生思维的培养不仅仅只有逻辑推理，空间观念也是一个重要教学目标，这是新课标的一个特点．学生的生活经验是他们发展空间观念的基础，观察是空间观念发展的一种有效途径，操作是发展空间观念的重要手段. 各设区市尝试通过设置让学生进行操作与想象活动试题，对学生的空间想象能力进行考查，既能激发学生的思维，发展空间观念，又缓和了考试的紧张气氛，增强了信心. 空间想象能力（空间观念、几何直观）

50. 【评析】本道试题虽没有过多的知识堆砌，却能较好地考查学生观察、操作（在想象中操作）、推理、想象等探索过程.试题以三视图为载体，解法丰富多彩，既可以由三视图整体返原回原几何体再作比较与判断，也可以由图1先作其三视图，再进行三视图的比较与判断，还可以仅从俯视图直接给出判断.不同的解法，突显学生是否建立了课标要求的空间观念的水平差异，也反映了学生数学能力的水平差异，有效考查数学思考，具有较好的区分度.