Фиктивные переменные

1. Фиктивные переменные

2. Опр. Фиктивная переменная – сконструированная количественная переменная, описывающая качественные факторы • Примеры качественных факторов: • пол • профессия • образование • климатические условия • принадлежность к какой-либо группе • Возможные пути учета качественного фактора: • оценивание отдельных регрессий для каждой категории с последующим выяснением значимо ли отличаются коэффициенты; • оценивание единой регрессии с введенной фиктивной переменной и измерением степени влияния качественного фактора.

3. Пример 1.Анализ зависимости урожайности пшеницы от вида вспашки и количества внесенного органического удобрения • Пусть y – урожайность пшеницы, x – количество внесенного удобрения, z – вид вспашки. z=1 – для зяблевой вспашки, z=0 – для весенней вспашки. • Результаты регрессионного анализа без учета вида вспашки F=8,7 ta=11,9 tb=2,95 rxy=0,5246 Вывод: уравнение регрессии статистически значимо.

4. 2) Результаты регрессионного анализапо отдельным видам вспашки 3)Результаты регрессионного анализа с учетом вида вспашки путем введения фиктивной переменной z F=15,6R=0,766 ta=11,8tb=3,9 td=4,1rxz=-0,016

5. Общий случай • Пусть качественный фактор имеет число градаций больше двух: • тогда в модель вводим несколько фиктивных переменных, число которых меньше числа качественных градаций; • одна из градаций выбирается как эталонная (для нее значения фиктивных переменных равны 0) и определяются значения фиктивных переменных для всех остальных градаций. Пример 2. Анализ зависимости цены двухкомнатной квартиры от полезной площади с учетом качества (типа) дома. Тип дома: «хрущевка», панельный, кирпичный. Решение. Введем две фиктивные переменные: z1 и z2. Эталонная категория – «хрущевка».

6. Замечание 1: параметры при фиктивных переменных представляют собой разность между средними уровнями результативного признака для соответствующей группы и эталонной группы. Замечание 2: целью включения фиктивной переменной может быть желание отразить в модели неоднородность данных. Замечание 3: рассмотренный метод фиктивной переменной предполагает равенство коэффициентов регрессии при x по частным совокупностям и возможность их замены общим коэффициентом регрессии.

7. Множественные совокупности фиктивных переменных • Если имеются данные, собранные как по ряду количественных факторов, так и по ряду качественных факторов, то в уравнение регрессии включаются более одной совокупности фиктивных переменных. Пример 3. Исследуется зависимость веса новорожденного от интенсивности курения матери с учетом семейного положения и рожала ли ранее или нет. y - вес новорожденного x - количество сигарет, выкуриваемых в день будущей матерью d - рожала ли в прошлом s - семейное положение

8. 1) Замужняя мать, первые роды s=0, d=0 • 2) Одинокая мать, первые роды s=1, d=0 • 3) Замужняя мать, не первые роды s=0, d=1 • 4) Одинокая мать, не первые роды s=1, d=1 Эталонная категория – первая. Результат исследования данных (США):

9. Фиктивные переменные для коэффициента наклона • Пример 4. Исследуется зависимость веса новорожденного от интенсивности курения матери и фиктивной переменной числа родов в прошлом. Рассмотрим две модели: а) воздействие курения матери на вес новорожденного не зависит от номера родов; б) воздействие курения матери на вес новорожденного зависит от того, рожала раньше или нет d=0 d=1

10. Взаимодействие между фиктивными переменными • Вернемся к примеру 3. Введем фиктивную переменную взаимодействия (sd), которую определим как произведение s и d. (sd)=1 для одиноких матерей, рожавших ранее (sd)=0 в остальных случаях Модель или Результат с.о. (18) (28) (52) (115) (2,1)

11. Тест Чоу • Пусть имеется выборка, состоящая из двух подвыборок. Вопрос:следует ли их объединить для оценивания общей регрессии P или оценить отдельные регрессии A и B? Обозначим: UA– сумма квадратов остатков выборки A UB– сумма квадратов остатков выборки B UP– сумма квадратов остатков объединенной выборки F-статистика: Вывод: если F>Fтабл - не следует оценивать объединенную выборку Что делать? Ввести фиктивные переменные, позволяющие не задавать заранее какой-либо коэффициент одинаковым для обеих подвыборок.