Logaritmi

1. Logaritmi

2. Supponiamo di voler trovare l'esponente a della potenza 3a per ottenere 81. Questa è un'operazione inversa della potenza. Anche i radicali sono operazioni inverse della potenza, in essi si deve ricavare la base, ora invece il problema è ricavare l'esponente. La soluzione prende il nome di logaritmo in base 3 di 81. Definizione Il logaritmo in base a>0  di un numero b>0 è l'esponente x che da dare ad a per ottenere b.

3. Logaritmo del prodotto • Il logaritmo del prodotto di due o più numeri è uguale allasomma dei logaritmi dei singoli fattori, cioè: Dimostrazione

4. Logaritmo della potenza Il logaritmo della potenza di un numero è uguale all'esponente di tale potenza per il logaritmo della base della potenza. Dimostrazione

5. Logaritmo del rapporto Illogaritmo del rapporto di due o più numeri è uguale al logaritmo del numeratore meno il logaritmo del denominatore, cioè Dimostrazione

6. Cambiamento di base Si vuole trovare la relazione che intercorre fra il Logaritmo di un numero in una base a e il logaritmo dello stesso numero in un'altra base c. Dimostrazione

7. loga(bc)=logab+logac Dimostrazione posto logab=x e logac=y allora ax=b e ay=c quindi bc=axay=ax+y (proprietà delle potenze) loga(bc) =logaax+yloga(bc) =(x+y )logaa logaa=1 cioè x+y=loga(bc)  ma x+y=logab+logac    c.v.d.

8. logabx=xlogab Dimostrazione posto logab=y   perciò ay=b e   (ay)x=bx  ma (ay)x=ayx   perciò logabx=xy essendo y= logab allora logabx=xlogac.v.d.

9. Dimostrazione posto loga(b/c)=loga(bc-1)= per il logaritmo del prodotto è uguale a  = logab+logac-1 = per il logaritmo della potenza   = logab-logac  c.v.d.

10. Dimostrazione posto y=logab e x=logcb allora ay=b e cx=b quindi cx=ay calcoliamo il logaritmo in base a di entrambe i membri otteniamo          logacx=logaay quindi applicando il logaritmo della potenza otteniamo          xlogac=ylogaa  cioè xlogac=y sostituendo a x ed y le relazioni  iniziali si ha logcb∙logac=logab

11. base 10 (logaritmi decimali o volgari o di Briggs), usati per le operazioni di calcolo; li si indica con log10, più genericamente con log. base e (logaritmi naturali o neperiani), usati in analisi infinitesimale; li si indica con ln, più raramente con log (quando, dal contesto, la base a cui ci si riferisce è chiara). base 2 (logaritmi binari), usati soprattutto nell'analisi della complessità computazionale, nella teoria dei codici e nella teoria dei segnali; li si indica con log2. Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base, quelle più utilizzate sono tre:

12. I logaritmi vennero proposti nel 1614 da John Napier, noto anche col nome latinizzato di Neperus o in italiano Nepero, come ausilio per semplificare i calcoli. Infatti, è facile dimostrare che, scelta una base, il logaritmo del prodotto di due numeri è pari alla somma dei loro logaritmi: pertanto, al prezzo di due conversioni da un numero al suo logaritmo e una conversione inversa (verso il cosiddetto antilogaritmo) è possibile trasformare un prodotto in una somma. Le conversioni stesse venivano tabulate a priori e scritte in un volume ("Tavola dei logaritmi"). Lo stesso principio era usato nel regolo calcolatore. Cenni Storici