C.1. XAÙC SUAÁT CAÊN BAÛN

1. C.1. XAÙC SUAÁT CAÊN BAÛN

2. 1.PHEÙP ÑEÁM2.PHEÙP THÖÛ-BIEÁN COÁ3.ÑÒNH NGHÓA XAÙC SUAÁT4.COÂNG THÖÙC COÄNG5.XAÙC SUAÁT COÙ ÑIEÀU KIEÄN6.COÂNG THÖÙC XAÙC SUAÁT ÑAÀY ÑUÛ

3. 1.PHEÙP ÑEÁM1.1. NGUYEÂN LYÙ NHAÂNMoät coâng vieäc goàm k giai ñoaïn, giai ñoaïn thöù i coù caùch thöïc hieän, i=1,2,..,k nhö vaäy coù:caùch thöïc hieän coâng vieäc treân.

4. VD:Moät sinh vieân coù : . 6 caùi aùo . 4 caùi quaàn . 2 ñoâi giaøyMoãi khi ñi hoïc phaûi ñoùng boä: 1 aùo, 1 quaàn, 1 ñoâi giaøy. Nhö vaäy coù bao nhieâu caùch ñoùng boä khaùc nhau?HD: . Coù 6 caùch choïn aùo . Coù 4 caùch choïn quaàn . Coù 2 caùch choïn giaøyVaäy coù taát caû : 6.4.2=48 caùch ñoùng boä khaùc nhau.

5. 1.2. HOAÙN VÒMoät taäp hôïp goàm n phaàn töû ñoâi moät khaùc nhau ( n ≥ 1). Moãi caùch saép xeáp thöù töï n phaàn töû treân vaøo n vò trí khaùc nhau ñöôïc goïi laø moät hoaùn vò n phaàn töû ù.Coâng thöùc:Quy öôùc: 0!=1

6. VD:Boä saùch Thieân long baùt boä coù 5 taäp,Boä saùch YÛ thieân ñoà long coù 4 taäp,ñöôïc ñaët leân giaù saùch coù 9 choã .Coù bao nhieâu caùch saép caùc taäp saùch treân leân giaù saùcha) tuøy yù.b) caùc taäp saùch ñöôïc saép theo boä.c) caùc taäp saùch ñöôïc saép xen keû.

7. HD:a) moãi caùch saép 9 taäp saùch leân giaù saùch laø moät hoaùn vò 9 phaàn töû, vaäy coù taát caû : 9! caùch.b) Xem 5 taäp Thieân long baùt boä laø moät phaàn töû, vaø 4 taäp YÛ thieân ñoà long laø moät phaàn töû : → coù 2! caùch saép. 5 taäp Thieân long baùt boä ñoåi choã cho nhau:→coù 5! caùch saép. 4 taäp YÛ thieân ñoà long ñoåi choã cho nhau:→coù 4! caùch saép. Vaäy coù taát caû : 2! 5! 4! caùch.c) saép xen keû coù taát caû: 5! 4! caùch.

8. 1.3 CHÆNH HÔÏPMoät taäp hôïp coù n phaàn töû ñoâi moät khaùc nhau.Chænh hôïp chaäp k töø n phaàn töû laø moätnhoùmñöôïc saép thöù töï goàm k phaàn töû ñoâi moät khaùc nhau choïn töø taäp n phaàn töû treân ( 1≤ k ≤ n )Coâng thöùc: NX:. Hai chænh hôïp khaùc nhau do thöù töï saép xeáp hoaëc coù ít nhaát moät phaàn töû khaùc nhau.

9. VD:Moät coâng ty lieân doanh caàn tuyeån 3 nhaân vieân vaøo caùc chöùc vuï: Keá toaùn tröôûng, Tröôûng tieáp thò, Trôï lyù giaùm ñoác.Coù 50 ngöôøi döï tuyeån Coù bao nhieâu caùch tuyeån ñöôïc 3 nhaân vieân.a) tuøy yù.b) keá toaùn tröôûng laø nöõ.Bieát raèng moïi nguôøi ñeàu coù cô hoäi nhö nhau ñeå ñöôïc tuyeån vaø khoâng coù söï kieâm nhieäm.

10. 1.4. TOÅ HÔÏPMoät taäp hôïp coù n phaàn töû ñoâi moät khaùc nhau,Toå hôïp chaäp k töø n phaàn töû laø moät nhoùm (khoâng ñeå yù ñeán tính thöù töï) goàm k phaàn töû ñoâi moät khaùc nhau ñöôïc choïn töø taäp n phaàn töû treân (1≤ k ≤ n)Coâng thöùc:

11. VD:32 ñoäi boùng ñaù tham döï chung keát boùng ñaù theá giôùi ñöôïc chia thaønh 8 baûng thi ñaáu voøng loaïi, moãi baûng 4 ñoäi thi ñaáu voøng troøn moät löôït. Nhö vaäy coù bao nhieâu traän ñaáu ñöôïc toå chöùc.NX:. Moät traän ñaáu laø moät nhoùm goàm 2 ñoäi ñöôïc choïn ra trong 4 ñoäi.. Nhoùm naøy khoâng quan taâm ñeán thöù töï vì ñoäi A gaëp ñoäi B hay ñoäi B gaëp ñoäi A cuõng chæ laø moät traän ñaáu.Vaäy moãi traän ñaáu laø moät toå hôïp chaäp 2 töø 4 phaàn töû. Suy ra soá traän ñaáu cuûa moãi baûng laø: KL: voøng loaïi coù taát caû 6.8=48 traän

12. VD:Moät loâ haøng coù 30 saûn phaåm, trong ñoù coù 5 saûn phaåm chaát löôïng keùm. Moät ngöôøi mua 4 saûn phaåm. Coù bao nhieâu tröôøng hôïp:b) trong soá sp mua coù ít nhaát 1 sp chaát löôïng keùmc) trong soá sp mua coù nhieàu nhaát 2 sp chaát löôïng keùmVD:Lôùp coù 40 sinh vieân ( 18 nöõ ), baàu ban caùn söï goàm:1Lôùp tröôûng, 1Lôùp phoù hoïc taäp,1Lôùp phoù vaên ngheä,moãi SV cuûa lôùp coù cô hoäi nhö nhau ñeå ñöôïc baàu vaø khoâng coù söï kieâm nhieäm chöùc vuï.Hoûi coù bao nhieâu caùch baàu ban caùn söï sao cho trong ban caùn söï coù :a) ít nhaát moät nöõ. b) hai nöõ

13. 2. CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN2.1. PHEÙP THÖÛ – BIEÁN COÁPheùp thöû ngaãu nhieân :. Ñieàu kieän thöïc hieän pheùp thöû nhö nhau. Keát quaû xaûy ra coù theå khaùc nhau hoaëc gioáng nhau.Khoâng gian maãu. Taäp hôïp taát caû caùc keát quaû coù theå xaûy ra ñöôïc goïi laø khoâng gian maãu.Kyù hieäu laø ΩBieán coá.Bieán coá laø taäp con cuûa khoâng gian maãu.Kyù hieäu A, B, C…....Bieán coá sô caáp laø bieán coá khoâng theå phaân chia.

14. VD:Tung moät con xuùc xaéc (suùc saéc). Bieán coá xuaát hieän maët i chaám, i=1,2,...,6.NX: laø caùc bieán coá sô caáp. laø khoâng gian maãuC: bieán coá xuaát hieân maët chaünC khoâng phaûi laø bieán coá sô caápVD:Moät gia ñình coù hai ngöôøi con.Khoâng gian maãu laø:

15. 2.2. PHEÙP TOAÙN CUÛA BIEÁN COÁ.Quan heä keùo theo: A xaûy ra thì B xaûy ra. Kyù hieäu: .Hôïp cuûa 2 bieán coá: A xaûy ra hay B xaûy ra ( coùít nhaát moät bieán coá xaûy ra). Kyù hieäu: hay .Giao cuûa 2 bieán coá: A xaûy ra vaø B xaûy ra. Kyù hieäu: hay .Bieán coá xung khaéc: A vaø B khoâng ñoàngthôøi xaûy ra Kyùhieäu: hay.Bieán coá ñoái cuûa A xaûy ra khi A khoâng xaûy ra. Kyù hieäu: (bieáncoáñoáilaäpcuûabieáncoá A)

16. VD:Moät thí sinh döï thi vaøo ÑHKTA: bieán coá thí sinh naøy truùng tuyeånB: bieán coá thí sinh naøy ñaäu thuû khoaThì VD:Hai SV A vaø B döï thi XSTKA: bieán coá SV A ñaäuB: bieán coá SV B ñaäuC: bieán coá SV A ñaäu hay SV B ñaäu (coù ít nhaát 1 SV ñaäu) D: bieán coá caû 2 SV cuøng ñaäuThì

17. VD:Tung moät con xuùc xaéc bieán coá xuaát hieän maët i chaám, i=1,2,…...,6 C : bieán coá xuaát hieän maët chaün L : bieán coá xuaát hieän maët leûNX: laø 2 bieán coá xung khaéc C; L laø 2 bieán coá ñoái laäp xung khaéc töøng ñoâiChuù yù: A; B ñoái laäp A; B xung khaéc

18. 2.3. VAØI TÍNH CHAÁT CUÛA BIEÁN COÁ

19. 3. ÑÒNH NGHÓA XAÙC SUAÁTCoù moät pheùp thöû Khoâng gian maãu Ω coù n phaàn töû (coù n bieán coá sô caáp ñoàng khaû naêng)A laø moät bieán coá trong pheùp thöûû, coù k tröôøng hôïp thuaän lôïi cho bieán coá A (coù k bieán coá sô caáp thuaän lôïi cho bieán coá A).Thì tyû soá k/n ñöôïc goïi laø:xaùc suaát cuûa bieán coá Akyù hieäu:

20. VD:Moät loâ haøng coù 50 saûn phaåm trong ñoù coù 20 saûnphaåm loaïi A. Moät ngöôøi mua 3 saûnphaåm. Tính xaùc suaát trong 3 sp mua coù 2 saûnphaåm loaïi AHD:A: bieáncoátrong 3 saûnphaåm mua coù 2 sp loaïi ANX:Vaäy:

21. VD:Moät coâng ty caàn tuyeån 3 nhaân vieân vaøo caùc chöùc vuï: keá toaùn tröôûng, tröôûng tieáp thò, trôï lyù giaùm ñoác.Coù 50 ngöôøi döï tuyeån ( trong soá ñoù coù 20 nöõ ).Tính xaùc suaát trong 3 ngöôøi ñöôïc tuyeån:a) coù keá toaùn tröôûng laø nöõb) coù 2 nöõ.Cho bieát moïi ngöôøi coù cuøng cô hoäi nhö nhau ñeå ñöôïc tuyeån vaø khoâng coù kieâm nhieäm chöùc vuï.

22. 4. COÂNG THÖÙC COÄNGi) A, B xungkhaécii) A,B,C xung khaéc töøng ñoâiiii) A, B baát kyøiv) A,B, C baát kyø

23. VD:Khaûo saùt 100 thí sinh döï thi vaøo ñaïi hoïc coù:70 thí sinh döï thi vaøo khoái A, 50 thí sinh döï thi vaøo khoái B, 35 thí sinh döï thi caû hai khoái A vaø B. Choïn ngaãu nhieân moät thí sinh trong soá 100 thí sinh treân.Tính xaùc suaát thí sinh naøy döï thi a) vaøo ít nhaát moät khoái treân.b) khoâng phaûi hai khoái treân

24. VD:Moät haõng nöôùc ngoït thaêm doø thò hieáu ngöôøi tieâu duøng veà 2 loaïi nöôùc giaûi khaùt A, B. Trong soá ngöôøi ñöôïc hoûi coù 60% thích loaïi A, 50% thích loaïi B, 30% thích caû 2 loaïi A vaø B. Choïn ngaãu nhieân 1 ngöôøi trong soá ñöôïc thaêm doø. Tính xaùc suaát ngöôøi naøya) thích ít nhaát moät loaïi nöôùc giaûi khaùt treân.b) khoâng thích loaïi nöôùc naøo caû.

25. 5. XAÙC SUAÁT COÙ ÑIEÀU KIEÄN5.1. ÑÒNH NGHÓAA vaø B laø 2 bieán coá trong cuøng moät pheùp thöûû.Xaùc suaát cuûa bieán coá B ñöôïc tính trong tröôøng hôïp bieán coá A ñaõ xaûy ra ñöôïc goïi laø xaùc suaát cuûa B vôùi ñieàu kieän A.kyù hieäu:

26. 5.2. COÂNG THÖÙC NHAÂN XAÙC SUAÁT

27. VD: Moät loâ haøng coù 50 saûn phaåm, trong ñoù coù 30 saûn phaåm loaïi A vaø 20 saûn phaåm loaïi B. Choïn laàn löôït khoâng hoaøn laïi 2 saûn phaåm (moãi laàn 1 saûn phaåm).Tính xaùc suaát :a) saûn phaåm thöù nhaát laø saûn phaåm loaïi A.b) saûn phaåm thöù hai laø saûn phaåm loaïi A, bieát raèng saûn phaåm thöù nhaát laø saûn phaåm loaïi A.c) saûn phaåm thöù hai laø saûn phaåm loaïi A, bieát raèng saûn phaåm thöù nhaát laø saûn phaåm loaïi B.d) ñöôïc 2 saûn phaåm cuøng loaïi.e) ñöôïc 2 saûn phaåm khaùc loaïi.

28. VD:Coù 3 sinh vieân nhöng chæ coù 2 veù xem boùng ñaù, do ñoù phaûi baét thaêm.-coù 3 laù thaêm trong ñoù coù 2 thaêm coù daáu X vaø 1 thaêm coù daáu 0. -3 sinh vieân laàn löôït baét thaêm, ai baét ñöôïc laù thaêm coù daáu X thì ñöôïc veù xem boùng ñaù.Theo anh chò baét thaêm tröôùc hay baét thaêm sau ñöôïc lôïi theá.

29. HD:

30. VD:Laâu ngaøy khoâng gaëp nhau, nhaân dòp Teát anh A ñeán thaêm gia ñình baïn. Anh chæ bieát gia ñình baïn coù 2 ngöôøi con nhöng khoâng bieát trai gaùi theá naøo.a) Trong khi ngoài trong phoøng khaùch chôø baïn, coù moät beù gaùi böng nöôùc môøi khaùch, anh A döï ñoaùn baïn coù 1 ngöôøi con gaùi. Tính xaùc suaát baïn coù 1 ngöôøi con gaùi.b) Baïn giôùi thieäu ñaây laø con gaùi cuûa toâi. Tính xaùc suaát baïn coù 1 ngöôøi con gaùi.c) Baïn giôùi thieäu ñaây laø con gaùi uùt cuûa toâi. Tính xaùc suaát baïn coù 1 ngöôøi con gaùi.

31. HD: G: bieán coá baïn coù 1 ngöôøi con gaùi a) P(G)=2/4 b) P(G|baïn coù con gaùi)= 2/3 c) P(G|baïn coù con gaùi uùt)= 1/2

32. 5.3. BIEÁN COÁ ÑOÄC LAÄPHai bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø ñoäc laäp neáubieán coá A coù xaûy ra hay khoâng xaûy ra khoâng aûnh höôûng ñeán vieäc xaûy ra hay khoâng xaûy ra cuûa bieán coá B vaø ngöôïc laïi.CHUÙ YÙ:A, B ñoäc laäp thì : ñoäc laäp ñoäc laäp ñoäc laäp

33. ñoäc laäp ñoäc laäp

34. VD:Coù hai loâ haøng, loâ 1 coù 10 saûn phaåm loaïi A, 5 saûn phaåm loaïi B, loâ 2 coù 12 saûn phaåm loaïi A, 8 saûn phaåm loaïi B. Choïn ngaãu nhieân töø moãi loâ 1 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñöôïc:a) hai saûn phaåm loaïi Ab) hai saûn phaåm cuøng loaïi.c) hai saûn phaåm khaùc loaïi

35. HD:

36. VD:Ñoäi tuyeån boùng baøn cuûa tröôøng ÑHKT coù 3 SV,moãi SV thi ñaáu moät traän, xaùc suaát thaéng cuûa caùc SV A, B, C laàn löôït laø: 70%, 80%, 90%.Tính xaùc suaáta) Ñoäi tuyeån thaéng ít nhaát moät traän.b) Ñoäi tuyeån thaéng 2 traänc) Sinh vieân C thua, bieát raèng ñoäi tuyeån thaéng hai traän.HD:A: bieán coá SV A thaéngB: bieán coá SV B thaéngC:bieán coá SV C thaéngT: bieán coá ñoäi tuyeån thaéng ít nhaát 1 traänD:bieán coá ñoäi tuyeån thaéng 2 traän.

37. HD:

38. VD:Moät coâng ty ñieän töû quaûng caùo saûn phaåm thoâng qua hai phöông tieän: baùo chí vaø TV. Ñöôïc bieát trong soá khaùch haøng coù: 30% bieát thoâng tin veà saûn phaåm cuûa coâng ty qua baùo chí, 60% bieát qua TV, 20% bieát qua baùo chí vaø TV. Choïn ngaãu nhieân moät khaùch haøng.Tính xaùc suaát khaùch haøng naøy bieát thoâng tin veà saûn phaåm cuûa coâng ty:a) thoâng qua ít nhaát moät phöông tieän treân.b) khoâng phaûi thoâng qua 2 phöông tieän treân. c) thoâng qua chæ moät phöông tieän laø TV.

39. HD:

40. 6. COÂNG THÖÙC XAÙC SUAÁT ÑAÀY ÑUÛ6.1.laø moät heä ñaày ñuû caùc bieán coáF laø moät bieán coá baát kyø trong pheùp thöû .Ta coù:

41. VD:SV K36 ÑHKT coù 45% laø nöõ, döï thi XSTK. Xaùc suaát ñaäu cuûa SV nöõ laø 80%, xaùc suaát ñaäu cuûa SV nam laø 75%. Choïn ngaãu nhieân moät SV K36. a) Tính xaùc suaát SV naøy ñaäu XSTK.b) Bieát raèng sinh vieân naøy ñaäu, tính xaùc suaát sinh vieân naøy laø nöõ.

42. HD: F: bieán coá sinh vieân ñöôïc choïn ñaäu XSTK. M: bieán coá sinh vieân ñöôïc choïn laø nöõ. N: bieán coá sinh vieân ñöôïc choïn laø nam.Nhaän xeùt: M, N laø moät heä ñaày ñuû caùc bieán coá. Ta coù: P(M)=0,45 P(N)=0,55 P(F|M)=0,80 P(F|N)=0,75Söû duïng coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû:

43. VD:Moät coâng ty may coù 3 phaân xöôûng,PX1 saûn xuaát 50% saûn phaåm cuûa coâng ty, PX2 saûn xuaát 30% sp cuûa coâng ty, PX3 saûn xuaát 20% sp cuûa coâng ty. Tyû leä saûn phaåm loaïi A do töøng phaân xöôûng saûn xuaát laàn löôït laø: 95%, 90%, 85%. Moät ngöôøi mua moät saûn phaåm cuûa coâng ty.a) Tính xaùc suaát mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A.b) Bieát raèng mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A, tính xaùc suaát saûn phaåm do phaân xöôûng 3 saûn xuaát.

44. HD: F: bieán coá mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A Ai: bieán coá saûn phaåm do phaân xöôûng i saûn xuaát, i=1,2,3NX: A 1, A 2, A 3 laø moät heä ñaày ñuû caùc bieán coá.

45. 6.2. COÂNG THÖÙC BAYESlaø heä ñaày ñuû caùc bieán coá,F laø moät bieán coá baát kyø trong pheùp thöû.Ta coù:

46. VD:Moät boä ñeà thi coù 30 caâu hoûi, SV gioûi seõ giaûi ñuùng caû 30 caâu, SV khaù giaûi ñuùng 25 caâu, SV trung bình giaûi ñuùng 15 caâu, SV keùm giaûi ñuùng 5 caâu. Moät SV baét thaêm 3 caâu.a) Tính xaùc suaát anh ta giaûi ñuùng caû 3 caâu.b) Bieát raèng anh ta giaûi ñuùng caû 3 caâu. Tính xaùc suaát anh ta laø SV trung bình.Cho bieát tyû leä SV gioûi, khaù, trung bình, keùm cuûa lôùp laàn löôït laø: 20%, 30%, 40%, 10%.HD:F: SV giaûi ñuùng caû 3 caâu baét thaêm ñöôïc.G: SV thuoäc loaïi gioûi K: SV thuoäc loaïi khaùT: SV thuoäc loaïi tb Y: SV thuoäc loaïi keùm G, K, T, Y laø moät heä ñaày ñuû

47. VD:Coù hai chuoàng gaø:chuoàng 1 coù: 15 troáng vaø 10 maùichuoàng 2 coù: 12 troáng vaø 8 maùi.Coù hai con gaø chaïy töø chuoàng 1 sang chuoàng 2. Sau ñoù töø chuoàng 2 chaïy ra moät con.a) Tính xaùc suaát con gaø chaïy ra töø chuoàng 2 laø con gaø troáng.b) Bieát raèng con gaø chaïy ra töø chuoàng 2 laø con gaø troáng. Tính xaùc suaát hai con gaø chaïy töø chuoàng 1 sang chuoàng 2 laø hai con gaø troáng.c) Bieát raèng con gaø chaïy ra töø chuoàng 2 laø con gaø troáng. Theo Anh Chò hai con gaø chaïy töø chuoàng 1 sang chuoàng 2 laø hai con gaø thuoäc loaïi gì.

48. HD: F: bieán coá con gaø chaïy ra töø chuoàng 2 laø con gaø troáng. Ti: bieán coá trong hai con gaø chaïy töø chuoàng 1 sang chuoàng 2 coù i gaø troáng, i=0,1,2NX: To,T1, T2 laø moät hoï ñaày ñuû caùc bieán coá.

49. VD:Coù ba loâ haøng, moãi loâ coù 30 sp, soá sp loaïi A coù trong moãi loâ haøng laàn löôït laø: 20, 24, 26. Beân mua choïn ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi töø moãi loâ haøng 3 sp, neáu loâ naøo caû 3 sp ñeàu laø loaïi A thì nhaän mua loâ haøng ñoù.Tính xaùc suaát:a) Loâ 1 ñöôïc mua.b) Coù ít nhaát moät loâ haøng ñöôïc mua.c) Coù nhieàu nhaát hai loâ haøng ñöôïc mua.d) Coù hai loâ haøng ñöôïc mua.

50. HD: Li: bieán coá loâ i ñöôïc mua, i=1,2,3 M: bieán coá coù ít nhaát moät loâ haøng ñöôïc mua. K: bieán coá coù nhieàu nhaát hai loâ haøng ñöôïc mua. H: bieán coá coù hai loâ haøng ñöôïc mua.