ПРИКЛАДНОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

1. ПРИКЛАДНОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Авторы: Коврижных А.Ю., Конончук Е.А., Лузина Г.Е., Меленцова Ю.А. Кафедра вычислительной математики ГОУ ВПО УрГУ 2008

2. Мы рассмотрим, как используется математический аппарат в экономике и какие возможности для решения этих задач предоставляют MS Excel, Maple и MathCAD.

3. Использование математического обеспечения упрощает процесс вычисления позволяет использовать предложенный набор операторов для решения многих однотипных задач позволяет решать задачи с параметрами и проводить анализ и подбор параметров.

4. Использование математических методов в экономике восходит к работам Ф.Кенэ («Экономическая таблица»), А. Смита (классическая макроэкономическая модель), Д.Риккардо (модель международной торговли). Моделированию рыночной экономики посвящены работы Л.Вальраса, О.Курно, В.Парето. С применением математических методов связаны работы В.В. Леонтьева, Р.Солоу, П.Самуэльсона, Д.Хикса, В.С Немчинова, В.В Новожилова, Л.В. Канторовича и многих других выдающихся ученых. Примерами экономических моделей являются модели фирмы, модели экономического роста, модели потребительского выбора, модели равновесия на финансовых и товарных рынках.

5. Построение экономической модели требует выполнения ряда шагов. Сначала формулируется предмет и цель исследования. Затем экономисты выявляют структурные и функциональные элементы модели, взаимосвязи между ними, существенные факторы, отвечающие цели исследования и отбрасывают то, что несущественно для решения задачи. На заключительном этапе проводятся расчеты по математической модели и анализ полученного решения.

6. MS EXCEL В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЭКОНОМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

7. В курс информатики практически всех вузов включено изучение электронной таблицы Excel. Поэтому представляется актуальным рассмотрение материала по применению математических методов именно с помощью этого пакета. Все приведенные примеры решены в русифицированной версии MS Excel 2003.

8. Визуализацияданных В MS Excel предоставляет широкие возможности визуализации различных зависимостей. В этом пакете для построения кривых и поверхностей может быть использован специальный инструмент — Мастер диаграмм. Чтобы получить, например, график экспериментальной функции необходимо ввести данные соответствующие аргументам и значениям функции в рабочую таблицу, вызвать Мастер диаграмм, задать тип диаграммы, диапазоны данных и подписей оси х. ввести названия осей. Более подробно с работой Мастера диаграмм познакомимся в ходе решения конкретных примеров.

9. Построение графика функции • Пусть необходимо построить кривую Лоренца, которая может быть описана уравнением: • где x– доля населения, y – доля доходов населения, для значений x из диапазона [0; 1], если аргумент изменяется с шагом h = 0,1. • Ввод данных . • Пусть столбец А будет значениями х, а столбец В — соответствующими значениями у. Получим таблицу:

10. 2. Выбор типа диаграммы. На панели инструментовСтандартнаянеобходимо нажать кнопкуМастер диаграмм.В появившемся диалоговом окнеуказать тип и вид диаграммы.Щелкнуть по кнопкеДалее. , .

11. 3. Указание диапазона. В новом диалоговом окненеобходимо выбрать вкладкуДиапазон данныхи в полеДиапазон указать интервал данных. Значения из самого левого столбца автоматически становятся значениями аргумента. Щелкнуть по кнопкеДалее.

12. 4. Введение заголовков. В окне «Мастер диаграмм (шаг 3 из 4): параметры диаграммы»требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей.

13. 5. Выбор места размещения. В окне«Мастер диаграмм (шаг 4 из 4): размещение диаграммы»необходимо указать место размещения диаграммы.

14. 6. Завершение. Если диаграмма в демонстрационном поле имеет желаемый вид, нажимаем Готово. В противном случае – Назад и изменяем установки. В случае, если полученный образец нас устраивает, на текущем листе появится следующая диаграмма

15. Графическое решение систем уравнений Системы двух уравнений с двумя неизвестными могут бытьприближеннорешены графически. Их решение – координаты точки пересечения кривых, соответствующих уравнениям системы. Рассмотрим пример графического решения системы двух уравнений. Зависимость спроса (у) на некоторый товар от его цены (х) выражается уравнением: а зависимость предложения от цены товара — уравнением z = x2 + 1. Найти точку равновесия в диапазоне [0,2; 3], если x изменяетсяс шагом h= 0,2.

16. Порядок действий: • Вводим исходные данные: • столбец А – значение цены, столбец В – значение функции спроса, • столбец С – значение функции предложения. • Диапазон исходных данных – А1:С16. • Строим графики этих функций в одной системе координат. • В результате получено изображение кривых спроса и предложения.

18. Решением системы в заданном диапазоне являются координаты точки пересечения кривых. Для их отображения необходимо навести указатель мыши на точку пересечения и щелкнуть левой кнопкой. Появляется надпись с указанием искомых координат. Итак, приближенное решение — точка равновесия имеет координаты : x= 1,6; у = 3,25.

19. ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКОСТИ MS Excel позволяет выполнять построение и пространственных объектов, например, плоскости вида: Ах + Ву + Cz + D = 0 Рассмотрим построение плоскости заданной уравнением: 2·х – 4·у – 2·z + 2 = 0. Пусть необходимо построить часть плоскости, лежащей в первой четверти: х принимает значения из отрезка [0; 6] с шагом h1 = 0,5; у принимает значения из отрезка [0; 6] с шагом h2 = 1).

20. Порядок действий: • Разрешим уравнение относительно переменной z: • z = х – 2·у + 1. • Введем значения переменной х в столбец А (начиная с ячейки А2). • Значения переменной у вводим в строку 1 (начиная с ячейки В1). • Далее вводим значения переменной z. В ячейку В2 вводим ее уравнение = $A2 + 2*В$1 + 1. • Затем копируем эту формулу вначале в диапазон В2:Н2, после чего — в диапазон ВЗ:Н14 . • В результате должна быть получена следующая таблица.

22. Выделяем мышью диапазон А1:Н14. Обращаемся к Мастеру диаграмм; указываем тип диаграммы – Поверхность и вид — Проволочная (прозрачная). Нажимаем кнопку Далее. • Переключатель Ряды установим: «в столбцах». • Затем указываем название диаграммы и осей. Получена диаграмма:

23. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОЦЕДУРЫ «ПОДБОР ПАРАМЕТРА». Пусть необходимо найти все решения уравнения х2 - 4х +2 = 0. Порядок действий: • Строим график функции • y = х2 - 4х +2 Из него следует, что уравнение имеет два действительных корня. Решение начинаем с нахождения первого корня.

24. Заносим в ячейку А1 ориентировочное значение первого корня, например, 3 (см. график). • Заносим в ячейку В1 левую часть уравнения, соответствующая формула будет иметь вид: • =А1^2-4*А1+2. • Вызываем процедуру Подбор параметра • (команда Сервис → Подбор параметра). • В поле Установить в ячейке указываем В1, в поле Значение задаем 0 (правая часть уравнения), в поле Изменяя значение ячейки указываем ячейку А1. • Щелкаем на кнопке 0К и получаем результат подбора. • Таким образом, в ячейке А1 получаем приближенное значение • х1 = 3,414212

26. Обратим внимание на точность решения: вместо 0в ячейке В1 получаем: 5,7Е-06(-0,0000057).Повторяем расчет для второго корня х2, задавая в ячейке А1 другое начальное значение, например -3. Получаем значение второго корня уравнения х2= 0,5857730; значение функции правой части для негоравно3,78705E-05

27. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. • Операции с матрицами • Решение систем линейных уравнений

28. Операции с матрицами Функция ТРАНСП позволяет поменять ориентацию массива на рабочем листе с вертикальной на горизонтальную и наоборот. Функция имеет вид: ТРАНСП(массив). Рассмотрим ее действие на примере получения транспонированной матрицы для исходной матрицы А. Предположим, что в диапазон ячеек А1:Е2 введена исходная матрица размера 2x5

29. Порядок действий: • Выделить блок ячеек под транспонированную матрицу (5 х 2). Например, А4:В8. • Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции. • В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Ссылки и массивы, а в рабочем поле Выберите функцию — имя функции ТРАНСП . После чего щелкните по кнопке ОК. • Введите диапазон исходной матрицы А1:Е2 в рабочее поле Массив. • После чего нажмите сочетание клавишCTRL+SHIFT+ENTER • В результате в диапазоне А4:В8 появится транспонированная матрица.

31. Вычисление определителя матрицы Функция имеет вид: МОПРЕД(массив). Здесь массив — это числовой массив, в котором хранится матрица с равным количеством строк и столбцов. Предположим, что в диапазон ячеек А1:СЗ введена матрица: Необходимо вычислить определитель этой матрицы.

32. Порядок действий: • Активизируйте ячейку, в которой требуется получить значение определителя, например: А4; • СтандартнаяВставка функции. • В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Выберите функцию— имя функции МОПРЕД. После этого щелкните на кнопке ОК. • Введите диапазон значений элементов исходной матрицы А1:СЗ в рабочее поле Массив. Нажмите кнопку ОК. • В ячейке А4 появится значение определителя матрицы — 6

34. Функция имеет вид: МОБР(массив). Получим матрицу, обратную матрице А. • Порядок действий: • Введите элементы А в диапазон ячеек А1:СЗ. • Выделите блок ячеек под обратную матрицу, например, блок ячеек А5:С7. • Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции. В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция — имя функции МОБР. Щелкните на кнопке ОК. • Введите диапазон исходной матрицы А1:СЗ в рабочее поле Массив. Нахождение обратной матрицы

35. Нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. В результате в диапазоне А5:С7 появится обратная матрица:

36. Умножение матриц Функция имеет вид МУМНОЖ (массив1;массив2). Здесь массив1и массив2— это перемножаемые матрицы. Пусть матрица Авведена в диапазон A1:D3, а матрица В — в диапазон А4:В7. Необходимо найти С – произведение этих матриц. Порядок действий: Выделите блок ячеек под результирующую матрицу. Например, F1:G3. В диалоговом окне Мастер функций в поле Категория выберите Математические, а в поле Функция — имя функции МУМНОЖ. После этого щелкните на кнопке ОК. Введите диапазоны исходных матриц А — A1:D3в поле Массив1 и матрицы В —в поле Массив2. После этого нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. В диапазоне F1:G3 получили элементы С.

38. Пример. Предприятие выпускает продукцию трех видов: Р1, Р2, РЗ и использует сырье двух типов S1 и S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей А, где каждый элемент показывает, сколько единиц сырья каждого типа расходуете на производство единицы продукции. Стоимость единицы каждого типа сырья задана матрицей-столбцом С. Определите стоимость затрат сырья на единицу продукции.

39. Чтобы решить задачу необходимо перемножить А и С. • Решение: • Зададим элементы А в диапазоне А2:В4, а элементы С в диапазоне А7:А8. • Для результата выделим диапазон А12:А14. • Вставим функцию МУМНОЖ, указав диапазоны исходных данных. • В результате вычисления значения функции имеем : • стоимость затрат сырья на единицу продукции Р1 равна 170; • стоимость затрат сырья на единицу продукции Р2 равна 190; • стоимость затрат сырья на единицу продукции Р3 равна 230.

41. Решение системы n линейных уравненийс n неизвестными. Систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения: А·х = b. Пусть матрица А – невырожденная, тогда решением системы будет столбец: х = А-1b . Пример. Ресторан специализируется на выпуске трех видов фирменных блюд: В1, В2, ВЗ. При этом используются ингредиенты трех типов S1, S2, S3. Нормы расхода каждого из них на одно блюдо и объем расхода ингредиентов на 1 день в граммах заданы таблицей:

42. Нужно найти ежедневный объем выпуска фирменных блюд каждого вида.

43. Пусть ежедневно ресторан выпускает x1 блюд вида B1, x2 блюд вида В2 и x3 блюд вида В3. Тогда в соответствии с расходом ингредиентов каждого типа имеем систему: • Решаем систему аналогично решению предыдущего примера. • Находим матрицу, обратную матрице системы в диапазоне A4:C6; • Умножаем ее на столбец свободных членов; выполняем проверку. Получен ответ в D4:D6 – (0; 500; 300)

44. Процесс решения отображен на рисунке :

45. Решение системы m линейных уравненийс n неизвестными. В случае, если m > n при будем использовать метод наименьших квадратов приближенного решения задачи. Для этого обе части матричного уравнения системы умножаем слева на транспонированную матрицу системы AT.Затем обе части уравнения умножаем слева на матрицу (АT·А) -1 . Получаем приближенное решение исходной системы в виде: x = (АT·А) -1 АT· b

46. Порядок действий: • Введем матрицу А в диапазон А1:ВЗ;Вектор b = (7, 40, 3) введем в диапазон C1:C3. • Найдем транспонированную матрицу АT с помощью функции ТРАНСП. в диапазоне А4:С5. Рассмотрим пример решения системы: Рассмотрим пример решения системы:

47. Найдем произведение АТb в диапазоне Е4:Е5 ,оно равно (190, -177)T; • Аналогично находим произведение АТА в диапазоне А7:В8. • Находим обратную матрицу ( АТА)-1 в диапазоне A10:B11. • Умножаем (АTА)-1 на вектор АTb. В результате в диапазоне D1:D2 появится вектор x. Причем х = 5 будет находиться в ячейке D1, а у = -4 — в ячейке D2.

48. В диапазоне D1:D2 появится результат. Причем х = 5 будет находиться в ячейке D1, а у = -4 в ячейке D2.

49. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ. Будем рассматривать задачу линейного программирования, которая заключается в нахождении n переменных x1, x2, . . . ,xn, минимизирующих данную линейную функцию (целевую функцию): Z = f(x1, x2, . . . ,xn)= c1· x1+ c2·x2+ . . .+cn·xn При mлинейных ограничениях – равенствах: ai1x1 + ai2x2 +. . .+ainxn = bi, где i = 1,2,3,…,m и n линейных ограничениях – неравенствах; xk ≥ 0, гдеk = 1,2,3, . . .,n Инструментом для решения задач оптимизации в Excel служит процедура Поиск решения.

50. Пример1. В ресторане готовятся фирменные блюда трех видов (блюдо А, блюдо В и блюдо С), с использованием при приготовлении ингредиентов трех видов (ингредиент 1, ингредиент 2 и ингредиент 3). Расход ингредиентов в граммах на блюдо задается следующей таблицей.