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4. Codifica binaria dell’informazione

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4. Codifica binaria dell’informazione. Ing. Simona Colucci. Codifica binaria dell’informazione. Tutte le informazioni vanno tradotte in bit(organizzati poi in byte o parole ): Numeri naturali Numeri interi(con segno) Numeri frazionari Numeri reali Caratteri Immagini

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4 codifica binaria dell informazione

4. Codifica binaria dell’informazione

Ing. Simona Colucci

Fondamenti di Informatica

CDL in Ingegneria Meccanica (B) - A.A. 2009-2010

codifica binaria dell informazione
Codifica binaria dell’informazione
  • Tutte le informazioni vanno tradotte in bit(organizzati poi in byte o parole):
    • Numeri naturali
    • Numeri interi(con segno)
    • Numeri frazionari
    • Numeri reali
    • Caratteri
    • Immagini
  • Nell’interazione con il calcolatore la codifica in binario e la decodifica in formato leggibile sono trasparenti all’utente

Fondamenti di Informatica

CDL in Ingegneria Meccanica (B) - A.A. 2009-2010

numeri naturali sistemi di numerazione
Numeri naturali: Sistemi di numerazione
  • Un sistema di numerazione è composto da:
    • Insieme finito di simboli o cifre
    • Regole che permettono di rappresentare i numeri naturali
  • Classificazione
    • Sistemi additivi (Es. sistema romano parzialmente):
      • Ogni cifra assume un valore prefissato
      • Il numero si ottiene addizionando le cifre che lo compongono
      • Impossibilità di rappresentare numeri molto grandi e difficoltà di esecuzione delle operazioni matematiche
    • Sistemi posizionali (Es. sistema decimale):
      • Le cifre acquistano un peso diverso a seconda della posizione che occupano
      • Un numero generico di m cifre è rappresentato in base p dalla sequenza:

an, an-1, an-2,..., a0

      • Compattezza di rappresentazione anche per numeri molto grandi e facilità di esecuzione delle operazioni

an : cifra più significativa

a0 : cifra meno significativa n = m-1

ai {0, 1, ..., p-1}

Fondamenti di Informatica

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sistemi posizionali rappresentazione in base p
Sistemi posizionali:Rappresentazione in base p

Numero naturale N, composto da m cifre, in base p:

  • Rappresentazione
  • Spazio di Rappresentazione:

numeri nell’intervallo discreto [0 , pm - 1]

Fondamenti di Informatica

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il sistema decimale rappresentazione in base 10
Il sistema decimale: rappresentazione in base 10
  • Sistema posizionale
    • Esempio: 123 = 100 +20 +3
  • Base: p = 10
  • Insieme di simboli: ai {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
  • Numero naturale N di m cifre:
    • Rappresentazione:
      • N10 = an·10n+an- 1·10n-1+…+a0·100 n=m-1
      • Esempio, con m=3:

58710 =5·102+8·101+7·100

    • Spazio di rappresentazione: intervallo discreto [0, 10m-1]

Fondamenti di Informatica

CDL in Ingegneria Meccanica (B) - A.A. 2009-2010

sistema binario rappresentazione in base due
Sistema binario:Rappresentazione in base due
  • Sistema posizionale
  • Base binaria: p=2
  • Insieme di simboli: ai {0, 1}
    • Simboli chiamati bit (binary digit)
    • Otto bit chiamati byte
  • Numero naturale N di m cifre:
    • Rappresentazione:
      • N2 = an·2n+ an-1·2n-1+…+a0·20 n=m-1
      • Esempio, con m=5:

110112 = (1·24+1·23+0·22+1·21+1·20)10 = 2710

    • Spazio di rappresentazione:
      • intervallo discreto [0 , 2m -1]
      • Esempio con m=8: [000000002 , 111111112],ovvero: [010 , 25510]

Fondamenti di Informatica

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il sistema binario unit di misura
Il sistema binario: unità di misura
  • kilobyte(Kb) = 210 byte = 1024 byte
  • megabyte(Mb) = 220 byte = 1048576 byte
  • gigabyte(Gb) = 230 byte = 1073741824 byte
  • terabyte(Tb) = 240 byte = 1099511627776 byte

Le approssimazioni a potenze di 10:

  • sono accettabili solo per i kilobyte: 1024 ~1000
  • sono inaccettabili per 104 ,105 ,106
  • le lettere maiuscolenel simbolo indicano che non si tratta delle potenze di 10 del sistema internazionale

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basi ottale ed esadecimale
Basi ottale ed esadecimale
  • Rappresentazione in base 8:
    • Base ottale: p=8;
    • Insieme di simboli ai {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
    • Numero N di m cifre:
      • Rappresentazione: N8 = (an·8n+an-1·8n-1+…+ a0·80)10 n=m-1

Es. 2348 = (2·82+3·81+4·80)10 = 15610

      • Spazio di rappresentazione: [0, 8m-1]
  • Rappresentazione in base 16:
    • Base esadecimale: p=16;
    • Insieme di simboli ai {0, 1, 2, …, 9, A, B, C, D, E, F}
      • Notare: “11” al posto di “B” e “15” al posto di “F”, i loro equivalenti in base dieci
    • Numero N di m cifre:
      • Rappresentazione: N16 = (an·16n+an-1·16n-1+…+ a0·160)10 n=m-1

Esempio: B7F16 = (11·162+7·161+15·160)10 = 294310

      • Spazio di rappresentazione: [0, 16m-1]

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conversioni di base
Conversioni di base
  • Per convertire da base p a base 10:
  • Esempio: 110112 = (1·24+1·23+0·22+1·21+1·20)10 = 2710
  • Per convertire da base dieci a base due:
    • Metodo delle divisioni successive: esempio

331:2 = 165 con resto di 1

165:2 = 82 con resto di 1

82:2 = 41 con resto di 0

41:2 = 20 con resto di 1 (331)10=(101001011)2

20:2 = 10 con resto di 0

10:2 = 5 con resto di 0

5:2 = 2 con resto di 1

2:2 = 1 con resto di 0

1:2 = 0 con resto di 1

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conversioni di base10
Conversioni di base
  • Le basi ottale ed esadecimale sono di interesse informatico per la facilità di conversione, con il metodo”per parti”:
    • Da base 2 a base 8: si converte a gruppi di tre bit, traducendo ciascuna tripla nella corrispondente cifra ottale

(001010110111)2=(1267)8

    • Da base 2 a base 16: si converte a gruppi di quattro bit, traducendo ciascuna quadrupla nella corrispondente cifra esadecimale

(001010110111)2=(2B7)16

  • La base ottale ed esadecimale consentono una grande sintesi di rappresentazione

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somma
Somma
  • Le cifre sono 0 e 1 ed il riporto può essere solo 1

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esempio di somma e carry
Esempio di somma e carry
  • Esempio:

1 riporto0101 +(510)1001 =(910)------1110(1410)

111 riporti1111 +(1510)1010 =(1010)-------carry 11001(2510 se uso 5 bit; 910 se considero 4 bit: errato)

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numeri interi
Numeri interi
  • Includono anche i numeri negativi
  • Rappresentati tramite il segno ed il valore del numero
  • Codifica binaria secondo uno delle due modalità seguenti:
    • Rappresentazione in modulo e segno
    • Rappresentazione in complemento a due

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modulo e segno
Num. intero, base 10

Num. intero, base due, modulo e segno

–3

111

–2

110

–1

101

–0

100

+0

000

+1

001

+2

010

+3

011

Modulo e segno
  • In un numero di m bit il primo bit è utilizzato per memorizzare il segno:
    • “1” numero negativo
    • “0” numero positivo
  • Spazio di rappresentazione: tra -(2m-1-1) e (2m-1-1)
  • Fenomeno dello zero positivo e negativo

Esempio m=3

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complemento a due cpl 2
Complemento a due (CPL2)
  • Usando m bit: (-N)CPL2 = (2m - N10)2
  • Spazio di rappresentazione: intervallo discreto [-2m-1 , 2m-1 - 1]
    • Asimmetria tra negativi e positivi
    • Esempio (m=8): [-128, +127], perché -27 = -128 e 27 - 1 = +127
  • Tutti i numeri negativi cominciano con il bit più significativo posto a “1”, mentre tutti i positivi e lo zero iniziano con uno “0”

Esempio m=3

(-N)CPL2 =(23-N10)2

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complemento a due cpl 216
Complemento a due (CPL2)
  • Metodo alternativo per ottenere (-N)CPL2
    • Complementare i bit della rappresentazione binaria del modulo N(cambiare gli 1 in 0 e viceversa)
    • Sommare 1 al risultato ottenuto

Esempio: -N=-3 N=(3)10=(011)2

complementoad 1 100

complemento a 2 101

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somma e sottrazione in cpl 2
Somma e sottrazione in CPL2
  • Somma: come per i naturali
  • Sottrazione: N1- N2 = N1 + (-N2)CPL2
  • Carry:
    • Il carry finale non viene considerato!
  • Overflow:
    • Se, sommando due interi di m bit dotati di segno concorde, ottengo un risultato di segno discorde (sempre considerando m bit), allora si ha un overflow (il risultato non è codificabile su m bit) e l’operazione è errata
    • L’overflow non può verificarsi se gli operandi sono di segno discorde

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somma e sottrazione in cpl 218
Somma e sottrazione in CPL2

Esempi: m=7 spazio di rappresentazione [-64, +63]

+5 00101

+8 01000

+13 01101

+5 00101

-8 11000

-3 11101

-5 11011

+8 01000

+3 (1)00011

-63 1000001

-8 1111000

-71 [1](1)0111001

RIPORTO

OVERFLOW

RIPORTO

  • Perché ignorare il riporto finale in CPL2 ad m bit?
  • Esempio: base=10
  • 10180-9878=302=
  • = 10180 -9878 +10000-10000=
  • = 10180+(10000-9878)-10000= (10000-9878)-è il complemento a 10 del sottraendo: (9878)CPL10
  • = 10180+122-10000= si addiziona al minuendo il complemento a 10 del sottraendo
  • = 10302-10000= questa sottrazione equivale a trascurare la cifra piu significativa
  • = 302

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slide19
Numeri frazionari

Rappresentazione:

  • Relativa alla parte frazionaria
  • Ottenuta tramite la formula

Spazio di rappresentazione:

  • Per un numero di n cifre in base p, posso rappresentare numeri nell’intervallo continuo: [0 , 1-p-n]

Errore di approssimazione:

  • minore di p-n
  • Esempi con n=3:
  • base 10: Rappresentazione: (0,587)10= (5·10-1+8·10-2+7·10-3)
  • Spazio di rapp.: [0, 1-10-3] = [0, 0.999]
  • Errore : minore di 0.001
  • base 2: Rappresentazione:(0,101)2 =(1·2-1+0·2-2+1·2-3)10= (0,625)10
  • Spazio di rapp.: [0, 1-2-3]
  • Errore : minore di 2-3

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conversioni di base parte frazionaria
Conversioni di base parte frazionaria
  • Da base 2 a base 10:
    • Secondo la formula vista prima
  • Da base 10 a base 2:
    • Si moltiplica progressivamente per 2 la parte frazionaria
    • Si prendono le parti intere di ciascun prodotto dalla più alla meno significativa, con numero di bit proporzionale all’accuratezza
    • Esempio: 0.58710

0.587*2= 1.174 parte intera 1 parte frazionaria 0.174

0.174*2= 0.348 parte intera 0 parte frazionaria 0.348

0.348*2= 0.696 parte intera 0 parte frazionaria 0.696

0.696*2= 1.392 parte intera 1 parte frazionaria 0.392

0.392*2= 0.784 parte intera 0 parte frazionaria 0.784

0.784*2= 1.568 parte intera 1 parte frazionaria 0.568

…..

Risultato : 0.1001 con quattro cifre e approssimazione accurate entro il limite 2-4

0.100101 con sei cifre e approssimazione accurate entro il limite 2-6

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numeri reali
Numeri reali
  • Approssimati tramite numeri razionali
  • Rappresentazione relativa sia alla parte intera che a quella frazionaria
  • Modalità di rappresentazione alternative:
    • virgola fissa
    • virgola mobile
      • numeri molto grandi con poche cifre
      • numeri molto piccoli con precisione
  • Operazioni di somma e differenza tramite allineamento dei numeri

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virgola fissa
R

0

Virgola fissa
  • Uso di m bit per parte intera e n bit per parte frazionaria con n ed m fissi
    • Esempio (m=8, n=6, tot. 14 bit): 123,5871012310 = 011110112

0,58710 100101 2

123,58710 01111011, 100101 2

  • m e n scelti in base alla precisione che si vuole tenere
  • Precisione costante lungo l’asse reale R:

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virgola mobile floating point
R

0

Virgola mobile (floating point)
  • Il numero è espresso come: r = m·bn
    • m e n sono in base p
    • m:mantissa (numero frazionario con segno)
    • b: basedella notazione esponenziale (numero naturale)
    • n:caratteristica (numero intero)
    • Esempio (p=10, b=10):

-331,6875 = -0,3316875103m = -0,3316875 n = 3

  • Uso l1 bit e l2 bit per codificare m e n(incluso il segno):
  • Precisione variabile lungo l’asse realeR:
    • valori rappresentabili molto vicini nell’intorno di 0
    • valori rappresentabili molto lontani nell’intorno del numero massimo esprimibile, positivo o negativo

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slide24
Virgola mobile (floating point)
  • Quando la mantissa comincia con una cifra diversa da zero, il numero in virgola mobile si dice normalizzatoEs. –0,3316875103 è normalizzato perché la mantissa è “3316875”
  • La normalizzazione permette di avere, a parità di cifre usate per la mantissa, una maggiore precisione.

Es. Uso l1=5 cifre per la mantissa:+45,6768  +0,45676102  +0,00456104

Ho perso 0,0008

Ho perso0,0768

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caratteri
Caratteri
  • Codifica numerica tramite 1 byte
  • ASCII (American Standard Code for Information Interchange) utilizza 7 bit (estesa talvolta a 8 bit per rappresentare altri 128 caratteri)
  • L’ASCII codifica:
    • I caratteri alfanumerici (lettere maiuscole e minuscole e numeri), compreso lo spazio
    • I simboli (punteggiatura, @, #, …)
    • Alcuni caratteri di controllo che non rappresentano simboli visualizzabili (TAB, LINEFEED, RETURN, BELL, ecc)
    • Non codifica per esempio le lettere accentate o greche
  • L’ ottavo bit o un nono possono essere usati come bit di parità: rende pari il numero di 1 in modo che se esso risulta dispari ci si accorge di errori di immagazzinamento o trasmissione dati.

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tabella ascii parziale
DEC CAR

DEC CAR

DEC CAR

DEC CAR

DEC CAR

48 0

49 1

50 2

51 3

52 4

53 5

54 6

55 7

56 8

57 9

65 A

66 B

67 C

68 D

69 E

70 F

71 G

72 H

73 I

74 J

75 K

76 L

77 M

78 N

79 O

80 P

81 Q

82 R

83 S

84 T

85 U

86 V

87 W

88 X

89 Y

90 Z

97 a

98 b

99 c

100 d

101 e

102 f

103 g

104 h

105 i

106 j

107 k

108 l

109 m

110 n

111 o

112 p

113 q

114 r

115 s

116 t

117 u

118 v

119 w

120 x

121 y

122 z

Tabella ASCII (parziale)

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slide27
Codifica delle immagini

L’immagine digitale

  • Le immagini sono codificate come sequenze di bit
  • Digitalizzazione: passaggio dall’immagine alla sequenza binaria
  • L’immagine è suddivisa in una griglia di punti (detti pixel)
  • Ogni pixel è descritto da un numero (su 8, 16, 24, o 32 bit) che ne rappresenta il colore(un particolare tono di grigi nelle immagini bianco e nero)
    • Es. con 8 bit  28 = 256 combinazioni di colore
  • Per decodificare la sequenza binaria che codifica l’immagine bisogna conoscere:
    • le dimensionidell’immagine : larghezza e altezza in pollici del rettangolo in cui è contenuta
    • la risoluzione dell’immagine :numero di pixel per pollice (dpi - dot per inch)
    • il numero di colori o toni di grigio disponibili per ogni pixel

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l immagine digitale
L’immagine digitale
  • Standard di codifica:
    • TIFF (Tagged Image File Format)
    • PNG (Portable Network Graphics)
    • JPEG
  • Tecniche di compressione
    • utilità:
      • ridurre lo spazio necessario a rappresentare i punti dell’immagine
      • ridurre la quantità di memoria necessaria a memorizzare l’immagine
      • ridurre il tempo necessario a trasmettere l’immagine tra i dispositivi
    • classificazione:
      • compressionelossless : comprime l’immagine senza deteriorarla (TIFF)
        • adatte solo per immagini con ampie aree monocromatiche. in cui sequenze di punti con la stessa tonalità vengono codificate in forma compatta
      • compressione lossy: comprimono (molto di più), ma deteriorano l’immagine (JPEG , PNG)
        • adatte ad immagini con molti colori, memorizzano le differenze cromatiche tra gruppi di pixel

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operazioni con le informazioni
Operazioni con le informazioni
  • Aritmetiche
    • Es. Somma e differenza viste prima
  • Logiche
    • Utilizzano l’algebra di Boole

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algebra di boole
Algebra di Boole
  • Formalismo basato su tre operazioni logiche (dette anche operazioni booleane):
    • AND operatore binario
    • OR operatore binario
    • NOT operatore unario
  • Le operazioni booleane si applicano ad operandi che possono assumere solo due valori: vero o falso
  • Ogni formula scritta in algebra di Boole può assumere solo due valori: vero o falso
  • Rappresentando vero con “1” e falso con “0” un bit può rappresentare un operando o il valore di una formula in algebra di Boole
  • Tavole di verità: rappresentano il valore di una espressione logica(ottenuta a partire dai tre operatori logici) in funzione del valore degli operandi

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operatori booleani
Operatori booleani
  • Tavole di verità:

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operatori booleani propriet
Operatori booleani: proprietà
  • Commutativa:
    • A OR B = B OR A
    • A AND B = B AND A
  • Distributiva di uno verso l’altro:
    • A OR (B AND C) = (A OR B) AND (A OR C)
    • A AND (B OR C) = (A AND B) OR (A AND C)
  • Leggi di De Morgan:
    • A AND B = NOT ((NOT A) OR (NOT B))
    • A OR B = NOT ((NOT A) AND (NOT B))

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espressioni booleane
Espressioni booleane
  • Regole di precedenza:
    • NOT ha la massima precedenza
    • poi segue AND
    • infine OR
  • Se voglio alterare queste precedenze devo usare le parentesi (a volte usate solo per maggior chiarezza)
  • Per valutare un espressione booleana si usa la tabella della verità
  • Due espressioni booleane sono equivalenti se e solo se le tabelle della verità sono identiche

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dalla formula alla tabella
Dalla formula alla tabella
  • Vediamo un esempio, per l’espressione:D = A AND NOT (B OR C)

Fondamenti di Informatica

CDL in Ingegneria Meccanica (B) - A.A. 2009-2010

dalla tabella alla formula
NOT A AND B

A AND NOT B

A AND B

Dalla tabella alla formula
  • Se conosco la tabella della verità, posso ricostruire la formula logica. Partiamo dalla tabella:
  • C1 = (NOT A AND B) OR (A AND NOT B) OR (A AND B)

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gli operatori logici e le porte logiche
Gli operatori logici e le porte logiche
  • OR

(xy)

  • AND

(xy)

  • NOT

( x )

La composizione opportuna di porte logiche consente di realizzare circuiti elettronici che realizzano varie funzioni, in particolare i circuiti sommatori

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