II Encontro Nacional de produtores e usuários de informações sociais, econômicas e territoriais

1. II Encontro Nacional deprodutores e usuários de informações sociais, econômicas e territoriais Reinaldo Castro Souza, IEPUC, PUC-Rio Co-autores: Sheila C Zani & Eduardo A B da Silva Rio de Janeiro, 21 de Agosto de 2006

2. OUTLINE 1) PRELIMINARES2) ALGORITIMO BASE DO X-113) FILTRO DE HENDERSON4) FILTRO PROPOSTO5) COMPARAÇÃO FHxFP & CONCLUSÕES

3. 1 Princípios Fundamentais Principais relações entre a série original e seus componentes • Aditiva: Componentes independentes • Multiplicativa: Componentes dependentes

4. 1 Métodos automáticos recomendados • Família X11 – USA/Canadá • TRAMO-SEATS – Banco da Espanha

5. 1 Família X11 Três programas integram a família X11 • X11 Criado nos anos 60/EUA • X11-ARIMA Anos 80/Canadá • X12-ARIMA Segunda metade dos anos 90/EUA

6. Família X11 1 Os três programas que integram a família X11 utilizam interativamente Médias Móveis • para estimar a TENDÊNCIA e a SAZONALIDADE. (Ferramenta básica do modelo) Esta ferramenta não implica a utilização a priori de conceitos ou de modelos sofisticados!

7. 1 X12 Reg_ARIMA. • X12-ARIMA Baseado no mesmo princípio, mas possui um módulo chamado de Reg-ARIMA.

8. 1 X12 Reg_ARIMA.

9. 1 Estimação da tendência-ciclo com uma média móvel. 2 Estimação da componente sazonal-irregular. 3 Estimação da componente sazonal com uma média móvel (3X3) sobre cada mês. 4 Estimação da série corrigida de variações sazonais. 2 Algoritmo de base

10. 5 Estimação da tendência-ciclo com uma média móvel de Henderson de 13 termos. 6 Estimação da componente sazonal-irregular. 7 Estimação da componente sazonal com uma média móvel 3X5 sobre cada mês. 8 Estimação da série corrigida de variações sazonais. 2 Algoritmo de base

11. 2 Algoritmo de base Uma das dificuldades deste algoritmo é selecionar as médias móveis utilizadas nas etapas 1 e 3. O método X11 executa este algoritmo simples, utilizando médias móveis cuidadosamente escolhidas e refinando, pouco a pouco, as estimação das componentes através de iterações deste algoritmo. Basicamente, o algoritmo X11, corresponde a um duplo uso consecutivo do algoritmo apresentado trocando cada vez as médias móveis utilizadas.

12. Chama-se de média móvel de coeficientes operador designado por: o Além disto, quando para todok, diz-se que a média móvel ésimétrica. Filtro de Henderson 3 O valor no instantetda série bruta é substituído por uma média ponderada dospvalores passados da série, o valor atual e os f valores futuros da série. A ordem desta média móvel é p+f+1. Quando p=f , se utilizam tantos valores passados como futuros e diz-se que a média móvel écentrada.

13. Filtro de Henderson 3 Se diz então que as médias móveis são filtros lineares, filtros que permitem eliminar ou atenuar as oscilações associadas a algumas freqüências. • O problema consiste em: • Determinar os pesos destas médias móveis. • Resolver o problema da perda de pontos no início e no fim da série ocasionada pelo uso da média móvel.

14. Filtro de Henderson 3 Para que um média móvel conserve um polinômio de grau d é necessário que seus coeficientes satisfaçam a: Neste contexto, é óbvio que as condições de ordem ímpar são sempre satisfeitas se os filtros forem simétricos. Em conseqüência, se uma média móvel conservar uma tendência polinomial de grau 2p, ela conservará, também, uma tendência polinomial de grau 2p+1.

15. Filtro de Henderson 3 Médias Móveis de Henderson 2ª estimação da tendência Empregada na série já corrigida das variações sazonais. A idéia de Henderson foi a de construir filtros simétricos que conservassem a tendência cúbica. Para isto, basta que o filtro conserve a tendência quadrática. Há vários pesos que satisfazem isto.

16. Filtro de Henderson 3

17. Filtro de Henderson 3 A idéia de Henderson ... • Há dois modos equivalentes de caracterizar os filtros de Henderson: • i) simétricos, • ii) preservando tendências cúbicas e • iii) com mínima variância da diferença terceira da série depois de aplicada a média móvel; • ou, o que é equivalente: • i) e ii) como descrito acima e, • iii') com mínima soma dos quadrados da terceira diferença dos coeficientes da média móvel.

18. Filtro de Henderson 3 Esses dois critérios são equivalentes. Logo, precisa-se: minimizar sujeito às restrições: e , com

19. Filtro de Henderson 3 Os coeficientes que minimizarão a variância da terceira diferença de Zt são aqueles que minimizam a soma dos quadrados da terceira diferença dos próprios coeficientes. Sendo:

20. C O E F I C I E N T E S Filtro de Henderson

21. 3 Fator de redução da variância:

22. A escolha do tamanho dessa média móvel é baseada no grau de irregularidade da série a ser amortecida. No caso da série mensal, usa-se uma média móvel de Henderson de 9, 13 ou 23 termos. A escolha automática depende da razão . Se Escolhe-se uma média móvel de Henderson de 9 termos; se , escolhe-se uma média móvel de Henderson de 13 termos; Nos demais casos; escolhe-se uma média móvel de Henderson de 23 termos. 3 A escolha do tamanho dos filtros de Henderson no X11 :

23. Filtro de Henderson 3 Médias móveis assimétricas: É o calcanhar de Aquiles do método. Problema parcialmente resolvido quando estendemos a série (modelos ARIMA). A idéia de Musgrave...

24. i) Minimizar é de minimizar Problemas : 3 ii) Serve para no máximo t=3 iii) Os filtros assimétricos associados aos filtros simétricos de Henderson foram construídos em um contexto completamente diferente da concepção dos filtros de Henderson. iv) Antes de utilizar o filtro de Henderson a série passa necessariamente por duas filtragens: M2x12 e M3x3, por exemplo.

25. Filtro Proposto Um filtro de comprimento N, , que conserve uma tendência de ordem deve ser tal que: sendo: 4 (1) Definindo a transformada Z de f(n) como:

26. Filtro Proposto Uma função que satisfaz as equações acima é: 4 As condições da equação (1) são equivalentes a:

27. Filtro Proposto 4 ou sujeito a dado que

28. Filtro Proposto 4 Definindo-se:

29. Filtro Proposto Particularizando para o caso em que o filtro deve preservar a tendência cúbica, isto é, , temos que: 4

30. Filtro Proposto 4 T=3; N=13

31. Comparação FHxFP C O E F I C I E N T E S 5

37. Simulação • 200 observações • Série com tendência cúbica • Somada a uma componente aleatória gerada de uma normal com média 0 e desvio padrão 1. • Essa série tem as condições ideais para a utilização dos filtros, pois nenhuma componente sazonal está embutida na sua construção.

38. Simulação

39. Simulação • Aplicaram-se os dois filtros, o proposto e o de Henderson, de tamanho 13 • Espera-se que, quando aplicados os filtros, as séries resultantes sejam o mais próximo possível da série limpa do ruído aleatório. • Para testar o poder dos filtros, subtraíram-se da série simulada com ruído as séries filtradas pelos dois processos. Essas séries deveriam estar muito próximas do ruído gerado (com distribuição Normal (0,1)).

40. Simulação

41. Simulação

42. 5 Conclusões • O ajuste sazonal nos países são realizados, em sua maioria, pelos produtos da família X12 e TRAMO-SEATS • Método X12 está também disponível em alguns softwares comerciais de previsão, por exemplo, no FPW-XE (um dos mais difundidos e usados no mundo) • O ajuste sazonal na família X12 para a tendência e a sazonalidade é realizada por usos exaustivos de MM, atuando como suavizadores

43. 5 Conclusões (iv) Filtro de Média Móvel de Henderson usado na extração final da tendência tem seus pesos obtidos pela minimização de uma função que não é a variância!!! (v) Filtro Proposto, cujos coeficientes são obtidos pela minimização da variância, é mais geral, pois não requer simetria e preservam a tendência de qualquer ordem. Resultados ligeiramente superiores ao FH!!

44. OBRIGADO reinaldo@ele.puc-rio.br