點與圓的位置關係

1. 自我評量 點與圓的位置關係 直線與圓的位置關係 兩圓的位置關係

2. 點與圓的位置關係 圓是經常看到的平面圖形，如圖2-1，以一定點O 為圓心， 長為半徑畫圓，將此圓稱為圓O。 圖2-1

3. 一圓將所在的平面分成圓的內部、圓周、圓的外部。如圖2-2，A點在圓內、B 點在圓上、C點在圓外。 圓的外部 圖2-2 分別連接圖2-2 中的 、 、 ，若圓O半徑為r，則 ＜r、 ＝r、 ＞r。也就是：

5. 已知圓O半徑為5，且D、E、F三點與此圓心O的距離已知圓O半徑為5，且D、E、F三點與此圓心O的距離 分別為4、5、8，試判斷D、E、F三點與圓O的 位置關係：（填入圓內、圓上或圓外） (1) D點在______。 (2) E點在______。 (3) F點在______。 圓內 圓上 圓外

6. (1)∵ ＝4＜圓O的半徑 ∴ D 點在圓內 (2)∵ ＝5＝圓O的半徑 ∴ E 點在圓上 (3)∵ ＝8＞圓O的半徑 ∴ F 點在圓外 已知圓O半徑為5，且D、E、F三點與此圓心O的距離 分別為4、5、8，試判斷D、E、F三點與圓O的 位置關係：（填入圓內、圓上或圓外）

7. 1 點與圓的位置關係 如右圖，坐標平面上三點A（3,3）、 B（－4,0）、C（1,－2），若以 原點O為圓心，半徑為4畫一圓， 試判斷A、B、C三點與圓的位置關係。

8. ∵O（0 , 0）為圓心，由兩點距離公式知： (1) ＞4（半徑） ∴ A 點在圓外。 (2) ＝│( 0－(－4)│＝4（半徑） ∴ B 點在圓上。 (3) ＜4（半徑） ∴ C 點在圓內 解 B點的y坐標0

9. ∵A點在圓上 ∴圓O的半徑＝ ＝ 在坐標平面上，A（－3 , 4）在圓O 上，且圓O 的圓心在原點，試求圓O的半徑。

10. 直線與圓的位置關係 如圖2-3，在平面上，一圓與一直線的位置關係有三種情形：不相交、只交於一點或交於兩點。 交於兩點 只交於一點 不相交 圖2-3

11. 不相交： 1. 如圖2-4，若直線L與圓O不相交，則L上的點都在圓O外。 圖2-4 只交於一點： 2. 如圖2-5，若直線L與圓O只交於一點P，則L稱為圓O的切線，P點稱為切點。 圖2-5

12. 交於兩點： 3. 如圖2-6，若直線L與圓O交於A、B兩點，則L稱為圓O的割線。 圖2-6 如圖2-7，直線L外的任一點A與直線L上各點的連線段，以垂直於直線L的線段 最短，此線段的長度稱為點A到直線L的距離。 圖2-7

13. 前面學過，可以用「點到圓心的距離與圓半徑的大小關係」，判別點與圓的位置關係。同樣地，也可以用「圓心到直線的距離與圓半徑的大小關係」，判別直線與圓的位置關係。前面學過，可以用「點到圓心的距離與圓半徑的大小關係」，判別點與圓的位置關係。同樣地，也可以用「圓心到直線的距離與圓半徑的大小關係」，判別直線與圓的位置關係。 如圖2-8，通過圓心O， 且交圓O於C、D兩點。 圖2-8

14. 若一直線L垂直 ，如圖2-9(a)。 圖2-9(c) 圖2-9(a) 圖2-9(b) 1.在圖2-9 (a)中，L與圓O交於兩點，此時圓心O到L的距離小於半徑。

15. 2.將L逐漸向D點移動，並保持與 垂直。當L通過D點時，圓心O 到L的距離等於半徑，如圖2-9(b)。 3.再將L向右移動，並保持與 垂直。當L與圓O 不相交時，圓心O到L的距離大於半徑，如圖2-9(c)。 在圖2-9 (b)中，若L通過D點，且垂直 ，則L 是否必為圓O 的切線呢？

16. 如果在L 上任取異於D 的一點Q，則O、D、Q 三點可形成一個直角三角形，如圖2-10，其中 為斜邊，所以 ＞半徑 ，故Q 點在圓外。也就是說，L 與圓O 不可能有第二個交點，根據「圓的切線與圓只有一個交點的定義」，所以L為圓O的切線。 反過來說，如果L是圓O的切線，則除了D點外，L上的其他任一點Q’都會在圓外，因此 ＞半徑 ，也就是說， 是圓心到直線L的最短距離，所以 ⊥ L。

17. 因此，圓與切線間具有下列兩個性質： (1)一圓的切線必垂直於圓心與切點的連線。 (2)圓心到切線的距離等於圓的半徑。 由上面的討論可知，要畫出通過圓O 上一點A 的切線，只要連接 ，再作通過A點且與 垂直的直線即可。

18. 如圖，A 點在圓O 上，請利用尺規作圖，畫出過A 點的切線。 如果以r表示圓的半徑，d表示圓心到直線的距離，則直線與圓的位置關係有下列三種情形：

20. 圓O的半徑為10，若圓心到三直線L1、L2、L3的距離分別為5、10、13，請問L1、L2、L3與圓O分別有幾個交點？圓O的半徑為10，若圓心到三直線L1、L2、L3的距離分別為5、10、13，請問L1、L2、L3與圓O分別有幾個交點？ (1)圓心到L1的距離＝5＜圓O 的半徑 ∴ L1與圓O有2個交點 (2)圓心到L2的距離＝10＝圓O 的半徑 ∴L2與圓O只有1個交點 (3)圓心到L3的距離＝13＞圓O 的半徑 ∴L3與圓O沒有交點

21. 如圖2-11，從圓外一點P到此圓作一切線，A為切點，則 稱為P點到圓O的切線長。 如何利用尺規作圖，從圓外給定的一點向此圓作切線，我們將在下一節中討論。現在讓我們來看看一些關於切線長的問題。 圖2-11

22. 搭配習作P.26基礎題2 2 求切線長 如右圖， 與圓O 切於A 點，已知圓O的半徑為5， ＝10，試求切線長 。 如右圖，連接 。 ∵ 為圓O 的半徑，∴ ＝5， 又 與圓相切於A 點， ∴ ，故△OPA為直角三角形。 根據勾股定理： 解

23. 連接 ，∴ 故 即圓O的半徑為5 如右圖，圓O外一點P， 與圓O 切於A點，已知 ＝13， ＝12，試求圓O的半徑。

24. 如圖2-12， 通過圓心O，A 點為圓O上任一點，且A 點不在 上，B 點為A 點對 的對稱點，由對稱的概念知 為 的垂直平分線，且 ＝ ，因為 為半徑，所以 也是半徑，因此B 點也在圓O上，故 為圓O的對稱軸。 由上可知，圓是一個線對稱圖形，有無限多條對稱軸，而且都會通過圓心。 圖2-12

25. 如圖2-13，設 為圓O的切線，A為切點，以 為對稱軸，沿著 對摺，可找到 A 點的對稱點 B，因為∠OAP＝90°，所以∠OBP＝90°，因此B點也是切點，且 為 的對稱邊，∠BPO 為∠APO的對稱角。所以 ＝ 且∠APO＝∠BPO。 圖2-13

26. 由上面的說明可知： 如圖2-14，、為圓O 的兩切線，A、B為切點， 則＝，∠APO＝∠BPO。

27. 搭配習作P.26基礎題3 3 切線長的應用 如右圖， 、 、 分別切圓O 於A、B、E 三點，且 為圓O 的直徑，已知 ＝3， ＝5，回答下列問題： (1) 試求 。 (2) 試證∠DOC＝90°

28. (1)連接 、 。 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝3＋5＝8 (2)∵ 、 、 分別切圓O 於A、B、E 三點， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，且 ， ， 因此 // ， ∠ADE ＋ ∠BCE ＝180° （∠1＋∠2）＋（∠3＋∠4）＝180° 2∠2 ＋ 2∠3 ＝180° ∠2 ＋ ∠3 ＝90° 故∠DOC＝90° （圓外一點到此圓兩切線長相等） 證明

29. 搭配習作P.30進礎題2 4 切線長的應用 如右圖，四邊形ABCD的四邊分別與圓O 切於P、Q、R、S 四點，試證 ＋ ＝ ＋ 。 證明 (1)∵ 、 、 、 分別與圓O 切於P、Q、 R、S 四點， ∴ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝

30. 證明 (2) ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ） ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ） ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ） ＝ ＋ 即 ＋ ＝ ＋ 。 在例題4 中，四邊形 ABCD 的四邊分別與圓 O 相切，我們稱四邊形ABCD 為圓O 的外切四邊形，且稱圓O 為四邊形ABCD 的內切圓。

31. 如右圖，四邊形ABCD 為圓O 的外切四邊形， ＝2x＋1， ＝2x＋3， ＝4x－2， ＝3x－2，試求x 之值。 ∵四邊形ABCD 為圓O 的外切四邊形 ∴ ＋ ＝ ＋ （2x＋1）＋（4x－2）＝（3x－2）＋（2x＋3） x＝2

32. 如圖2-15， 為圓O 的弦， 於M，則 的長度稱為 的弦心距。習習慣上 既可表示這條線段，也代表此線段的長度，所以為了方便起見，在本書中，我們將以弦心距表示圓心到此弦的垂直線段，也代表此線段的長度。 圖2-15

33. 搭配習作P.27基礎題4 5 弦心距垂直平分弦 如右圖， 是圓O中的一弦， 為直徑，且 ，試證 ＝ 。 (1)如右圖，連接 、 。 (2)∵ ， ∴∠1＝∠2＝90°。 證明

34. (3)在△AOM 與△BOM 中， ∵∠1＝∠2＝90°， ＝ ， ＝ . （半徑）， ∴△AOM △BOM（RHS）， ∴ ＝ 。 證明 由例題5可知： 一弦的弦心距垂直平分此弦。

35. 搭配習作P.27基礎題5 6 弦心距的應用 如右圖，弦 的弦心距 ＝3， ＝ ，試求圓O 的半徑。 ∵ 為弦 的弦心距， ∴ 垂直平分弦 ， ＝ ． ＝ ． ＝ 連接 ，依據勾股定理： 故圓O 的半徑為6。 解

36. 已知 為圓O 上的一弦，若 的弦心距為6，圓O 的半徑為10，試求 。

37. 接下來，我們來探討弦長與弦心距之間的關係：接下來，我們來探討弦長與弦心距之間的關係： 已知圓O 的半徑為r， 、 為圓O 上的兩弦， 、 、 分別為 、 的弦心距。 若 ＝ ： 如圖2-16， ， 且 ＝ ， ＝ 。 設 ＝ ＝m， 根據勾股定理可知： 1. 圖2-16

38. 1. ∴ ＝ ， 故 ＝ 。 反之，若 ＝ ＝a， 則 ＝ ＝ a， ＝ ＝ a， 根據勾股定理可知： ∴ ＝

39. 我的成功歸功於精細的思考，只有不斷地思考，才能到達發現的彼岸。我的成功歸功於精細的思考，只有不斷地思考，才能到達發現的彼岸。 —牛頓（Sir Isaac Newton，1642-1727） 若 ＞ ： 如圖2-17， ， ， 且 ＝ ， ＝ 。 設 ＝m， ＝n， 根據勾股定理可知： 2. 圖2-17

40. ∵m＞n，∴ ＜ ， 即 ＜ ， 故 ＜ 。 反之，如圖2-18，若 ＝a， ＝b，且a＞b， 則 ＝ ＝ a， ＝ ＝ b， 根據勾股定理可知： 圖2-18

41. ∵a＞b， ∴ ＜ ， 即 ＜ 。 由上面的說明可知： (1)在同一圓中，弦心距相等，則所對應的弦相等；反之亦然。 (2)在同一圓中，弦心距愈短，則所對應的弦愈長；反之亦然。

42. 圖2-19 兩圓外離 在圖2-20中，若連心線L分別交圓O1與圓O2於A、B 與C、D 四點。過B、C、D 三點分別作圓O1與圓O2的切線M1、M2及M3，由於圓心與切點的連線垂直於過此切點的切線，所以切線M1、M2及M3都垂直於直線L。

43. 圖2-20 如果將圓O2沿著連心線L往左移動，並保持切線M2與連心線L垂直。如圖2-21，圓O2逐漸靠近圓O1，直到切線M1及M2重合，此時兩圓恰好交於一點（B、C兩點重合），此點稱為兩圓的切點，圓O1與圓O2稱為外切，此時 ＝r1＋r2。

44. 圖2-21 兩圓外切 如圖2-22，圓O2沿著L繼續往左移動，直到兩圓交於E、F兩點，此時E、O1、O2可形成一個三角形，根據「三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊」的性質，可得r1＋r2＞ 且r1－r2＜ ，即r1－r2＜ ＜r1＋r2。

45. 圖2-22 兩圓交於兩點

46. 如圖2-23，圓O2沿著L繼續往左移動，直到切線M1及M3重合，此時圓O2與圓O1再度交於一點（B、D 兩點重合），此點也稱為兩圓的切點，圓O1與圓O2稱為內切，此時 ＝r1－r2。 圖2-23 兩圓內切

47. 圖2-24 如圖2-24，圓O2沿著L繼續往左移動，直到圓O2在圓O1的內部，且兩圓不相交，圓O1與圓O2稱為內離。若兩圓心不重疊，此時 ＜r1－r2。 兩圓內離

48. 如圖2-25，當圓O2與圓O1的圓心重疊，圓O1與圓O2稱為同心圓，此時 ＝0。 圖2-25 同心圓

49. 由上面的說明可以知道： (1)比較兩圓的連心線長與兩圓半徑的和或差，即可判斷兩圓的位置關係。 (2)兩圓外切或內切時，連心線必通過切點。 若圓O1與圓O2半徑相等，則圓O1與圓O2稱為等圓。在等圓中，兩圓是否會有外離、外切、交於兩點、內切或內離的位置關係？ 等圓有外離、外切與交於兩點的位置關係

50. 搭配習作P.27～28基礎題6～9 7 兩圓的位置關係 在坐標平面上，圓O1、圓O2的半徑分別為8和6，其 連心線長為 ，則圓O1和圓O2的位置關係為何？ ∵ 8－6＜ ＜8＋6， ∴圓O1和圓O2交於兩點。 解