Journ e Christian LAVAULT 5 juillet 2011

1. Journée « Christian LAVAULT » 5 juillet 2011 Une phase méconnue des pratiques algorithmiques (IXe-XVe siècles)  Ahmed DJEBBAR Université des Sciences et des Technologies de Lille

2. Les algorithmes de la tradition arabe(IXe-XVe s.) Un ensemble d’instructions pour : - Calculer une solution exacte ou appro-chée d’un problème - Réaliser une construction - Etablir un résultat

3. Origine du mot algorithme Algorithme Algoritmus Algorismus Alchorismus Al-Khwarizmi ?????????

4. Les sources de l’algorithmique arabe Pratiques locales (arabes, persanes, égyptiennes, mésopotamienne) Tradition indienne Tradition chinoise (?) Tradition grecque (?)

5. SAVOIR-FAIRE ? SAVOIR SAVANT * Deux traditions : - algorithmique - hypothético-déductive * Deux types de pratiques : - orales et instrumentales (mental & digital) - écrites : # Takht # Papier

6. LES NUMERATIONS

8. OPERATIONS DU CALCUL Multiplication Division Addition Soustraction Procédés d’approximation des fractions Racine carrée exacte et approchée Racine cubique exacte et approchée Racine nième

9. Procédures arithmétiques Test de primalité Test pour déterminer les carrés et les cubes parfaits Détermination des nombres parfaits Détermination des nombres amiables

11. Procédures trigonométriques Calcul de p Calcul de sin(1°), à partir de sin(3°) Résolution de « l’équation de Kepler »

12. Formules du calcul mental 15n = 10n + (10n)/2 14n = 15n – n 16n = 15n + n 25n = (100n)/4 10m/10n = 10m-n

13. Formules du calcul mental(suite) ab = [(a+b)/2]2 – [(a-b)/2]2

14. Algorithmes pour le takht Produit avec translation et effaçage (debout ou couché) Produit avec semi-translation (n2) Produit sans translation - Technique du tableau

19. ALGORITHMES POUR LE CALCUL APPROCHE

20. Approximation d’une fraction

23. Test pour les carrés et les cubes parfaits

25. Racine carrée approchée

26. Racine cubique approchée

27. Racine pième

28. PROCEDES D’INTERPOLATION

30. Al-Kashi, sin1°

32. CARRES MAGIQUES

34. Algorithmes de résolution de problèmes Algorithmes mentaux Déterminer un ou plusieurs nombres pensés Rechercher une ou deux bagues cachées Déterminer le doigt qui porte la bague Déterminer le nom du mois pensé ou le signe du zodiaque

35. Procédé de l’inverse 2(2(2x-1)-1) = 1 1 ? 1/2 ? 1 + 1/2 = 3/2 ? 3/2 + 1 = 7/4? (7/4)/2 = 7/8 = le capital

36. P(x) = b; P(x1) = b1; P(x2) = b2 [x1(b – b2) – x2(b – b1)]/(b1 –b2) = x

37. L’algorithme algébrique Un bien et dix racines égalent trente neuf dirhams Tu divises les racines par deux : ce sera cinq dans ce problème; Tu le multiplies par lui-même : ce sera vingt cinq; Tu l’ajoutes à trente neuf : cela donnera vingt cinq; Tu prends alors sa racine carrée : ce sera huit; Tu en retrancheras la moitié des racines qui est cinq : il restera trois. 6. C’est la racine du bien que tu cherches; 7. Le bien est neuf.

39. Solutions exactes ou approchées d’équations trigonométriques ou algébriques du 3e degré Habash al-Hâsib (IXe s.)

40. Algorithmes et optimisation Produit par translation : Pour un nombre à n chiffres, il y a n2 produits et n(n-1) translations. Produit par semi-translation : Pour un nombre à n chiffres, il y a n(n+1)/2 produits et n(n-1)/2 translations.

41. Approximation de p Al-Kashi : ar-Risala al-muhitiyya [L’épître sur le cercle] Méthode des polygones avec moyenne arithmétique. Utilisation d’un polygone dont le nombre de côté est 3.228 = 805.306.368 Valeur approchée de p : 2p = 6, 2.831.853.071.795.865

42. Optimisation de l’approximation de p Choix préalable de la marge d’erreur : = 1/12 de millimètre « La circonférence d’un cercle doit être exprimée en fonction du diamètre avec une précision telle que l’erreur sur la longueur de la circonférence d’un cercle, dont le diamètre est égal à 600.000 fois le diamètre de la Terre, ne dépasse pas l’épaisseur d’un crin de cheval ».

43. JUSTIFICATIONDES ALGORITHMES

46. Preuve de Qusta Ibn Luqa

49. Justification du procédé d’extraction de la racine

50.

51. Algorithmes de la racine cubique

54. F I N