§ 2 含参量反常积分

1. §2 含参量反常积分

2. 一致收敛性及其判别法 • 含参量反常积分的性质

3. 一、一致收敛性及其判别法

4. 设反常积分 在 [ a, b ] 收敛 都收敛，由反常积分收敛的定义，即 使得 其中 N与 x有关. 如果存在一个与 无关的 使得该不等式成立，就称 反常积分在区间 [ a, b ]上一致收敛

6. 由于 所以上述定义中的不等式 也可表示为

8. 分析 要证：

9. 证 令 u = x y , 得 其中 A > 0. 由于 收敛，故 就有 取 则当 对一切 有 从而

10. 所以 一致收敛.

13. 证 因为，有 并且反常积分 收敛 所以

14. 证明含参量反常积分 含参量反常积分 在 上一致收敛 . 在 上一致收敛 .

15. 狄利克雷判别法 设 ⑴ 存在 M > 0, 对一切 N > c , 及一切x ∈[ a, b ] 都有 ⑵ 对每一个固定的x ∈[ a, b ]，函数 g ( x, y ) 关于 y 单调递减且当 时，对参量 x , g ( x, y ) 一致 地收敛于 0 ， 则 在 [ a, b ] 上一致收敛.

16. 阿贝尔判别法 设 ⑴ 在 [ a, b ] 上一致收敛. ⑵ 对每一个固定的x∈[ a, b ]，函数 g ( x, y ) 为 y 的单调函数，且存在 M > 0, 使得 则 在 [ a, b ] 上一致收敛.

17. 收敛， 证 因为，反常积分 从而对于参量 y它在 [ 0, d ] 上一致收敛， 函数 对每个 x∈[ 0, d ]，关于参量 y 单调减少，且在[ 0, d ] 上一致有界： 故由阿贝尔判别法，知 在[ 0, d ] 上一致收敛

18. 二、含参量反常积分的性质 定理 19.9（连续性） 设 在 连续，若

19. 证 因为 由定理19.8，对任一递增且趋于 的数列 函数项级数 在[ a, b ] 上一致收敛. 又由于 在 连续， 故每个un( x ) 都在 [ a, b ]上连续. 根据函数项 级数的连续性定理，函数

20. 积分号下求导的定理

21. 即:

22. 可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算 可以交换.即

23. 例 5 利用积分号下求导求积分 解 因为 因为 故

24. 由数学归纳法易证 于是

25. 积分顺序交换定理

26. 积分 与 中有一个收敛，则另一个积分也收敛，且

27. 例4 计算积分 解

28. 含参量无界函数非正常积分 设 在 上有定义. 若对 x 的 某些值，y = d为函数 的瑕点，则称 为含参量x的无界函数反常积分，或简称为含参 量反常积分.