Διακριτά Μαθηματικά ( ΗΥ118 )

1. Διακριτά Μαθηματικά (ΗΥ118) Καθηγήτρια: Μαρία Παπαδοπούλη Ph.D. Columbia University

2. Σύντομο Βιογραφικό Μαρίας Παπαδοπούλη • Επίκουρος Καθηγήτρια τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών, Πανεπιστημιου Κρήτης • Ερευνήτρια Ινστιτούτο Πληροφορικής, ΙΤΕ • Επισκέπτρια Καθηγήτρια τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών, ΠανεπιστημίουΒόρειαςΚαρολίνας (UNC)

3. Textbook: Στοιχεία Διακριτών Μαθηματικών C.L.Liu Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης ISBN 960-524-072-6 Email: maria@csd.uoc.gr mgp@ics.forth.gr Ώρες/μέρες Διδασκαλία: Τρίτη 17:00-19:00 Πέμπτη 17:00-19:00 Παρασκευή 13:00-15:00 (φροντιστήριο) Βοηθοί: Λεκάκης, Κριαρά, Νικητάκη, Κατερτζής Αίθουσα: αμφιθέατρο Γ’

4. Δομή Μαθήματος • Έμφαση στα τρία κεφάλαια (κεφ. 1, 3, 5) • 4 φροντιστήρια στο κάθε κεφάλαιο • 1 πρόοδος με θέματα μονάχα απο το κάθε κεφάλαιο • 1 φροντιστήριο με λύσεις της προόδου

5. Πρόγραμμα της βασικής ύλης (ενδεικτικό-θα επιβεβαιωθεί) • 2-18 Οκτωβρίου σύνολα (κεφ. 1) • 23 ‘η 25 Οκτωβρίου πρόοδος (κεφ. 1) • 25 Οκτωβρίου-27 Νοεμβρίου συνδυαστική (κεφ. 3) • 29 Νοεμβρίου πρόοδος (κεφ. 3) • 4-13 Δεκεμβρίου γράφοι (κεφ. 5) • 18 Δεκεμβρίου πρόοδος (κεφ. 5)

6. Θεματική ενότητα Σύνολα

7. Διακριτά αντικείμενα Στη καθημερινή μας ζωή και στην εργασίαμας μιλάμε γιαδιακριτάαντικείμενα, πουπεριλαμβάνουν μια μεγάλη ποικιλίααντικειμένων όπως ανθρώπους, βιβλία,υπολογιστές, αισθητήρες, προγράμματαυπολογιστών, κ.ά. με φράσεις όπως: «Οι μαθητές στην αίθουσα αυτή σπουδάζουν Επιστήμη Η/Υ και βρίσκονται στο 2ο έτος των σπουδών τους.»

8. Διακριτά αντικείμενα «Οι περισσότεροι φοιτητές της Επι. Η/Υ είναι αγόρια.» «Η πλειοψηφία των μαθητών ενδιαφέρονται να γίνουν καλοί, οργανωμένοι επιστήμονες.» «Θέλουμενα διαλέγουμε μια σύνδεση στο Internet που είναι ενσύρματη, έχει ταχύτητα (bit rate) που υπερβαίνει τα 384 kbps, αλλά δεν υπερβαίνει τα μηνιαίο κόστος της τα 25 ευρώ.»

9. Ρόλος των διακριτών μαθηματικών Για τον χειρισμό ενός μεγάλου πλήθους ειδών διακριτών αντικειμένων, θέλουμε να γενικεύσουμε μερικές από τις βασικές έννοιεςκαι να δώσουμε κάποια κοινή ορολογία. Ας παρατηρήσουμε τα κοινά χαρακτηριστικά των προηγούμενων φράσεων

10. Παραδείγματα Για παράδειγμα, στην πρώτη φράση θεωρούμε δύο συλλογές από αντικείμενα («φοιτητές») («μαθητές στην αίθουσα αυτή σπουδάζουν Επιστήμη Η/Υ») και («μαθητές στην αίθουσα αυτή βρίσκονται στο 2ο έτος των σπουδών τους») και αναφερόμαστε στους φοιτητές που ανήκουν και στις δύο αυτές συλλογές

11. Εισαγωγή στην ορολογία Στα παραδείγματα έχουμε αντικείμενα που ανήκουν σε όλες τις κλάσεις ή σε ορισμένες κλάσεις που παρουσιάζονται στην φράση. Αρχίζουμε λοιπόν με την εισαγωγή ενός μέρους της βασικής ορολογίας και των βασικών εννοιών της στοιχειώδους θεωρίας συνόλων

12. Σύνολο Ένα σύνολο είναι μια συλλογή διακεκριμένων αντικειμένων. Συμβολισμός: {a, b, c} για να συμβολίσουμε το σύνολο που αποτελείται από τα αντικείμενα a, b και c. Τα αντικείμενα ενός συνόλου λέγονται στοιχεία ήμέλη του συνόλου

13. Στοιχείο ενός συνόλου • Το a είναι ένα στοιχείο του συνόλου S: α є S ή το S περιέχει το α. • Το δ ΔΕΝ εμπεριέχεται στο S

14. Παρατήρηση Τα στοιχεία ενός συνόλου ΔΕΝ είναι διατεταγμένα κατά κανένα τρόπο επομένως τα {a, b, c} και {b,c,a}αναπαριστούν την ίδια συλλογή στοιχείων Υπάρχουν διατεταγμένα σύνολα- θα μιλήσουμε γι’ αυτά αργότερα...

15. Τρόποι περιγραφής ενός συνόλου • Αναλυτική καταγραφή των στοιχείων του • Περιγραφή με αναφορά στις κοινές ιδιότητες των στοιχείων του συνόλου S={x| το x έχει κάποιες ιδιότητες} π.χ. SHY={ χ | ο x είναι 2ο ετής φοιτητής της Επιστήμης Υπολογιστών}

16. Κενό σύνολο Κενό σύνολο: { } ή Ø το σύνολο που δεν περιέχει στοιχεία

17. Ερωτήσεις: Ποια είναι τα στοιχεία του συνόλου {e, f, g} {{a, b, c}, d} {{{a, b}, Ø }, Ø } {Ø ,{Ø }} Σκεφτείτε ένα σύνολο σαν ένα «κουτί» που εμπεριέχει αντικείμενα- τα μέλη του

18. Απαντήσεις • το σύνολο {Ø ,{Ø }} περιέχει δύο στοιχεία: το κενό κι ένα σύνολο που περιέχει ως μοναδικό του στοιχείο το κενό σύνολο • το σύνολο {{a, b, c}, d} περιέχει δύο στοιχεία: το σύνολο {a, b, c} και το d

19. Υποσύνολο συνόλου Δεδομένων δύο συνόλων P και Q λέμε ότι το P είναι υποσύνολο του Qεάν κάθε στοιχείο του P είναι και στοιχείο του Q Συμβολισμός:

20. Παραδείγματα {a, b} {a, d, e, f, b} {a, b}? {{a, b}, d, e, f} ποια είναι η σχέση; {a, b} є {{a, b}, d, e, f}

21. Ίσα σύνολα Δύο σύνολα P και Q ονομάζονται ίσα αν αποτελούνται από τα ίδια ακριβώς στοιχεία

22. Παραδείγματα • P={x| x είναι ένας θετικός, άρτιος ακέραιος όχι μεγαλύτερος από 10} • Q={x| x=y+z, y є {1, 3, 5}, z є {1, 3, 5}}

23. Quiz Πάρετε τώρα το R={x| x=2y με y є {1, 3, 5} Ποια είναι η σχέση μεταξύ του Q και του R; Q ? R

24. Γνήσιο Υποσύνολο Συνόλου Το P είναι γνήσιο υποσύνολοτου Τ, εάν το Pδεν είναι ίσο με το Τ, δηλαδή όταν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο στο Τ που δεν ανήκει στο P Συμβολισμός: Παράδειγμα: {a, b} {a, x, y, b, z}

25. Quiz: Είναι οι παρακάτω προτάσεις αληθείς? • Για οποιοδήποτε σύνολο P, το P είναι υποσύνολο του P. • Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο οποιοδήποτε συνόλου, αλλά το κενό σύνολο δεν είναι πάντα στοιχείο ενός οποιουδήποτε συνόλου. • Το σύνολο {Ø} δεν είναι υποσύνολο του {{Ø}}, αν και είναι στοιχείο του συνόλου {{Ø}}.

26. Ένωση Συνόλων Η ένωση δύο συνόλων P και Q,είναι το σύνολο του οποίου τα στοιχεία είναι ακριβώς τα στοιχεία που ανήκουν στο Pή στο Q(ή και στα δύο) Συμβολισμός: ή

27. Παραδείγματα • {e, f} {g, h} = {e, f, g, h} • {a, b} Ø = {a, b} • {a, b} {Ø} = {a, b, Ø}

28. Τομή δυο συνόλων Η τομή δύο συνόλων P και Q,είναι το σύνολο του οποίου ταστοιχεία είναι ακριβώς τα στοιχεία πουανήκουν τόσο στο Pόσο και στο Q Συμβολισμός: ή

29. Παραδείγματα • {a, b}Ç {a, c} = {a} • {a, b} ÇØ = Ø

30. Κοινές ιδιότητες Αν τα στοιχεία του P χαρακτηρίζονται από μια κοινή ιδιότητα και τα στοιχεία του Q χαρακτηρίζονται από μια άλλη ιδιότητα τότε: • P È Q είναι το σύνολο του οποίου τα στοιχεία έχουν τουλάχιστον μιααπό αυτές τις ιδιότητες • P ÇQ είναι το σύνολο των στοιχείων που έχουν και τις δύοαυτές ιδιότητες.

31. Χρήση παρενθέσεων • Ως διαχωριστικά : • Υπόδειξη προτεραιότητας:

32. ένωση μιας σειράς συνόλων P1, P2, P3 …, Pk-1 και Pk

33. Παρόμοια: Η τομή του συνόλου και του συνόλου R είναι και περιέχει ακριβώς τα στοιχεία που είναι στο P, στο Q και στο R. Η τομή του συνόλου περιέχει ακριβώς τα στοιχεία που είναι στο P1, στο P2,…, Pκ-1 και στο Pκ. Θα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό και θα αναφερόμαστε στην τομή των κ συνόλων P1,P2,…, Pκ-1, Pκ

34. Διαζευγμένα σύνολα Δύο σύνολα ονομάζονται διαζευγμένα αν η τομή τους είναι το κενό σύνολο

35. Πρόταση

36. Απόδειξη Αρχικά θα δείξουμε ότι (1) Μετά θα δείξουμε ότι (2)

37. Αν και οι δύο παραπάνω σχέσεις ισχύουν τότε δεν μένει παρά τα δύο σύνολα = Για να δείξουμε το (1) είναι αρκετό να δείξουμε ότι "xÎÞ xÎ

38. Έστω λοιπόν xÎ . Εξ’ ορισμού (της τομής), το x ÎR και xÎ Αν το xÎP, τότε θα πρέπει x Î Αν το xÎQ, τότε θα πρέπει x Î Δηλαδή το στοιχείο x Îή xÎ ή ότι x Î

39. Επομένως ! Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι η πρόταση (2) ισχύει. Έστω xÎ Το xÎ ή xÎ ÞxÎR ή καιxÎP ή xÎR και xÎQ. Άρα το xÎR και πρέπει και xÎP ή xÎ Q. Þ

40. Οπότε !! Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι Και γενικότερα:

41. Διαφορά συνόλων Η διαφορά δύο συνόλων P και Q, συμβολίζεται P-Q, είναι το σύνολο που περιέχει ακριβώς τα στοιχεία του P τα οποία ΔΕΝ ανήκουν στο Q. Συμβολισμός:

42. Παραδείγματα {a, b, c} – {a, b} = {c} {a, b} – {a, b} = Ø {a, b} – {e, f} = {a, b}

43. Συμπλήρωμα Εάν το Q είναι υποσύνολο του P, το σύνολο P-Q ονομάζεται συμπλήρωμα του Q ως προς το P

44. Συμμετρική διαφορά Η συμμετρική διαφορά δύο συνόλων P και Q, συμβολίζεται με και είναι το σύνολο το οποίο περιέχει όλα τα στοιχεία που ανήκουν στο Pή στο Qαλλά όχι και στα δύο Συμβολισμός:

45. Παραδείγματα {a, b} {a, c} = {b, c} {a, b} {a, b} = Ø {a, b} Ø = {a, b}

46. Quiz: Πως γράφεται η συμμετρική διαφορά στη πράξη συνόλων ?

47. Δυναμοσύνολο Το δυναμοσύνολοενός συνόλου Α, συμβολίζεται P(A),είναι το σύνολο το οποίο περιέχει ακριβώς όλα τα υποσύνολα του Α. Συμβολισμός:

48. Παραδείγματα P ({a, b}) = {{}, {a}, {b}, {a, b}} P ({a, b, c}) = {{}, {a}, {b}, {c}, {a, c}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}} Παρατήρηση: για οποιοδήποτε σύνολο Α { } є P(A) καθώς επίσης και το { } P(A)

49. Διαγράμματα Venn Το κάθε σύνολο αναπαρίσταται από τις γραμμοσκιασμένες επιφάνειες P- Q

50. Ακόλουθο του Α Ακόλουθο του Α είναι το σύνολο Συμβολισμός: Α+ είναι το σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία του Αμαζί με ένα επιπλέον στοιχείο, το σύνολο Α.