第 5 章 静定平面桁架

1. 第5章 静定平面桁架 本章内容 桁架的特点及分类，结点法、截面法及其联合应用， 对称性的利用，几种梁式桁架的受力特点，组合结构的 计算。 目的要求 1. 了解桁架的受力特点及其分类。 2. 熟练运用结点法和截面法计算桁架内力。 3. 掌握组合结构的计算方法。

2. §5-1 平面桁架计算简图 1. 特点及组成 所有结点都是铰结点，在结点荷载作用下，各杆内 力中只有轴力。截面上应力分布均匀，可以充分发挥材 料的作用。因此，桁架是大跨度结构中常用的一种结构 形式。在桥梁及房屋建筑中得到广泛应用。 图5-1

3. 2．计算简图中引用的基本假定 （1）桁架中的各结点都是光滑的理想铰结点。 （2）各杆轴线都是直线，且在同一平面内并通过铰的中心。 （3）荷载及支座反力都作用在结点上且在桁架平面内。 上述假定，保证了桁架中各结点均为铰结点，各杆内只有 轴力，都是二力杆。符合上述假定的桁架，是理想桁架。实 际桁架与上述假定是有差别的。如钢桁架及钢筋混凝土桁架 中的结点都具有很大的刚性。此外，各杆轴线也不可能绝对 平直，也不一定正好都过铰中心，荷载也不完全作用在结点 上等等。但工程实践及实验表明，这些因素所产生的应力是 次要的，称为次应力。按理想桁架计算的应力是主要的，称 为主应力。本节只讨论产生主应力的内力计算。

4. 3．名词解释 桁架的杆件按其所在位置 分为弦杆和腹杆。弦杆又分 为上弦杆和下弦杆腹杆也分 为斜杆和竖杆，如图5-3所 示。两支座之间的水平距离l 称为跨度，支座联线至桁架 最高点的距离H称为桁高。 弦杆上相邻两结点之间的区 间称为节间，其间距d称为节 间长度。 图5-3

5. 4．桁架的分类： (1) 按几何外形分 1） 平行弦桁架、2） 折弦桁架、3） 三角形桁架，分别 如图5-4(a)、(b)、(c)所示。 (2) 按有无水平支座反力分 1）梁式桁架 如图5-4(a)、(b)、(c)所示。 2）拱式桁架 如图5-4(d)所示。 (3) 按几何组成分 1) 简单桁架 由一个基本铰结三角形开始，依次增加二元 体组成的桁架，如图5-4(a)、(b)、(c)所示。 2) 联合桁架 由几个简单桁架按几何不变体系的简单组成 规则而联合组成的桁架，如图5-4(d)、(e)所示。 3) 复杂桁架 不属前两种方式组成的其他桁架，如图5-4(f) 所示。

6. 图5-4

7. §5-2 结点法 桁架计算一般是先求支座反力后计算内力。计算内力时 可截取桁架中的一部分为隔离体，根据隔离体的平衡条件 求解各杆的轴力。如果截取的隔离体包含两个及以上的结 点，这种方法叫截面法。如果所取隔离体仅包含一个结 点，这种方法叫结点法。 当取某一结点为隔离体时，由于结点上的外力与杆件内 力组成一平面汇交力系，则独立的平衡方程只有两个，即 ΣFx=0，ΣFy=0。可解出两个未知量。因此，在一般情况 下，用结点法进行计算时，其上的未知力数目不宜超过两 个，以避免在结点之间解联立方程。 结点法用于计算简单桁架很方便。因为简单桁架是依次 增加二元体组成的。每个二元体只包含两个未知轴力的 杆，完全可由平衡方程确定。计算顺序按几何组成的相反 次序进行，即从最后一个二元体开始计算。

8. 桁架杆件内力的符号规定：轴力以使截面受拉为正，受桁架杆件内力的符号规定：轴力以使截面受拉为正，受 压为负。在取隔离体时，轴力均先假设为正。即轴力方向 用离开结点表示。计算结果为正，则为拉力；反之，则为 压力。 桁架中常有一些特殊形式的结点，掌握这些特殊结点的 平衡条件，可使计算大为简化。把内力为零的杆件称为零 杆。(1) L型结点。不在一直线上的两杆结点，当结点不受外 力时，两杆均为零杆，如图5-5(a)所示。若其中一杆与外力 F共线，则此杆内力与外力F相等， 另一杆为零杆，如图5- 5(d)所示。 (2) T型结点。两杆在同一直线上的三杆结点，当结点不 受外力时，第三杆为零杆，如图5-5(b)所示。若外力F与第 三杆共线，则第三杆内力等于外力F，如图5-5(e)所示。

9. 图5-5 (3) X型结点。四杆结点两两共线，如图5-5(c)所示，当结点 不受外力时，则共线的两杆内力相等且符号相同。 (4) K型线点。这也是四杆结点，其中两杆共线，另两杆在 该直线同侧且与直线夹角相等，如图5-5(f)所示，当结点不 受外力时，则非共线的两杆内力大小相等但符号相反。

10. 以上结论，均可取适当的坐标由投影方程得出。以上结论，均可取适当的坐标由投影方程得出。 应用上述结论可判定出图5-6(a)、(b)、(c)所示结构中 虚线各杆均为零杆。这里所讲的零杆是对某种荷载而言 的，当荷载变化时，零杆也随之变化，如图5-6(b)、(c)所 示。此处的零杆也决非多余联系。 图5-6

11. 例5-1用结点法计算图5-7(a) 所示桁架各杆的内力。 解：该桁架为简单桁架，由 于桁架及荷载都对称，故可计 算其中的一半杆件的内力，最 后由结点C的平衡条件进行校 核。 1.计算支座反力。 ΣFx = 0, FAx = 0 由对称性可知 FAy = FBy = (2+4+2)/2 = 4 kN (↑) 图5-7

12. 2.内力计算。 (1) 取结点A为隔离体，如图5-7(b)所示。 ΣFy = 0, FNAE = -4 = -5.66 kN ΣFx = 0, FNAD+FNAE× /2 = 0 FNAD = -(-4 )× /2 = 4 kN (2) 取结点D为隔离体，如图5-7(c)所示。 ΣFx = 0, FNDC = 4 kN； ΣFy = 0, FNDE = 2 kN (3) 取结点E为隔离体，如图5-7(d)所示。 ΣFy = 0, 4 × /2-2-FNEC× /2 = 0, FNEC = 2 = 2.83 kN ΣFx = 0, FNEG+FNEC× /2+4 × /2 = 0, FNEG = -2 × /2-4 = -6 kN (4) 由对称性可知另一半桁架杆件的内力。 (5) 校核。 取结点C为隔离体，如图5-7(e)所示。 ΣFx = 4+2 × /2-2 × /2-4 = 0 ΣFy = 2 × /2+2-4 = 0 C结点平衡条件满足，故知内力计算无误。

13. §5-3 截面法 用截面法计算内力时，由于隔离体上所作用的力为平 面一般力系，故可建立三个平衡方程。若隔离体上的未知 力数目不超过三个，则可将它们全部求出，否则需利用解 联立方程的方法才能求出所有未知力。为此，可适当选取 矩心及投影轴，利用力矩法和投影法，尽可能使建立的平 衡方程只包含一个未知力，以避免解联立方程。 例5-2用截面法计算图5-8(a)所示桁架中a、b、c、d各 杆的内力。 解： 1.求支座反力。 由对称性可知： FA = FB = (10+20×5+10)/2 = 60 kN (↑)

14. 图5-8

15. 2.计算各杆内力。 (1)作截面Ⅰ-Ⅰ，如图5-8(a)所示，取左部分为隔离 体，如图5-8(b)所示。为求a杆内力，可以b、c两杆的交点E 为矩心，由方程ΣME = 0，得 60×3-10×3-FNa×3 = 0， FNa = 50 kN (2) 求上弦杆c的内力时，以a、b两杆的交点D为矩心， 此时要计算FNc的力臂不太方便，为此将FNc分解为水平和 竖直方向的两个分力。则各分力的力臂均为已知。 由ΣMD=0，得 (FNc×1/ )×3+(FNc×3/ )×3+60×6-10×6-20×3=0 FNc = -20 = -63.2 kN

16. (3) 求b杆内力时，应以a、c两杆的交点O为矩心，为 此，应求出OA之间的距离，设为x，由比例关系： 可得， x = 6m 同样，将FNb在E点分解为水平和竖直方向的两个分力，由ΣMO = 0，得 (FNb× /2)×9+( FNb× /2)×3+10×6+20×9 - 60×6 = 0 FNb = 10 = 14.1 kN (4) 为求FNd，作截面Ⅱ-Ⅱ，取左部分为隔离体，如图5-8(a)、(c)所示。因被截断的另两杆平行，故采用投影方程计算。由ΣFy = 0，得 FNd×4/5+60-10-20-20 = 0 FNd = -10×5/4 = -12.5 kN

17. 如前所述，用截面法求桁架内力时，应尽量使截断的杆件不超过三如前所述，用截面法求桁架内力时，应尽量使截断的杆件不超过三 根，这样所截杆件的内力均可利用同一隔离体求出。特殊情况下，所作 截面虽然截断了三根以上的杆件，但只要在被截各杆中，除一根外，其 余各杆汇交于同一点或互相平行，则该杆的内力仍可首先求出。 例如图5-9(a)所示桁架中，作截面Ⅰ-Ⅰ，由ΣMC=0，可求出a杆内 力。又如图5-9(b)所示桁架中，作截面Ⅱ-Ⅱ，由ΣX = 0，可求出b杆内 力。图5-10所示的工程上多采用的联合桁架，一般宜用截面法将联合杆 DE的内力求出。即作Ⅰ-Ⅰ截面，取左部分或右部分为隔离体，由 ΣMC=0求出FNDE。这样左、右两个简单桁架就可用结点法来计算。 图5-9 图5-10

18. §5-4 截面法和结点法的联合应用 结点法和截面法是计算桁架内力的两种基本方法。两 种方法各有所长，应根据具体情况灵活选用。 例5-3 试求图5-11所示桁架中a、b及c杆的内力。 解：从几何组成看，桁架中的AGB为基本部分，EHC为 附属部分。 (1) 作截面Ⅰ-Ⅰ，取右部分为隔离体，由ΣMC=0，得 FNa×d + F×d = 0 FNa = -F (2) 取结点G为隔离体，由ΣFy = 0，得 FNc = -F 由ΣFx = 0，得 FNFG = FNa = -F (3) 作截面Ⅱ-Ⅱ，取左部分为隔离体，由ΣMA=0，得 FNb× d+F×d-F×d = 0， FNb = 0

19. 例5-4求图5-12所示桁架中 a杆的内力。 解： 1.求支座反力。 ΣMB = 0, FA=(20×15+20×12+20×9) /18=40kN(↑) ΣMA = 0, FB=20 kN(↑) 校核;ΣFy=40+20-20-20-20 = 0 故知反力计算无误。 2.计算a杆内力。 • 作Ⅰ-Ⅰ截面，取左部分为 隔离体，由ΣMF=0，得： FNHC×4-20×3-40×3 = 0， FNHC = 45 kN。 图5-11 图5-12

20. 取结点H为隔离体，由ΣFx = 0， 得：FNGH =FNHC = 45 kN (3) 作截面Ⅱ-Ⅱ，仍取左部分为隔离体，由ΣMF = 0，得 FNa×3/ ×4+45×4-40×3 = 0， FNa = -5 = -18.0 kN 在该题中，若取截面Ⅲ-Ⅲ所截取的一部分为隔离体(图 5-12)，由于ED杆为零，FNED = 0。 由平衡方程ΣMC = 0，可得 FNa×2/ ×3+FNa×3/ ×2+20×3 = 0， FNa = -5 = -18.0 kN 可见，按后一种方法计算更简单。

21. §5-6 组合结构的计算 组合结构是指由链杆和受弯为主的梁式杆组成的结 构。链杆只受轴力作用，梁式杆除受轴力外，还要受弯 矩、剪力的作用。用截面法计算组合结构内力时，为了使 隔离体上的未知力不致过多，应尽量避免截断受弯杆件。 因此，计算组合结构的步骤一般是先求支座反力，然后计 算各链杆的轴力，最后计算受弯杆的内力。 例5-5 求图5-13(a)所示组合结构各杆的轴力，作受弯杆 的M、FS图。 解：1.计算支座反力。 ΣMB = 0, FA = (20×6×3)/12 = 30 kN(↑) ΣMA = 0, FB = (20×6×9)/12 = 90 kN(↑) 校核： ΣFy = 30+90-20×6 = 0 故知反力计算无误。

22. 2.求链杆内力。 (1) 作截面Ⅰ-Ⅰ，拆开铰C 及截断DE杆，取左边为隔离 体，由ΣMC = 0，得 FNDE×3-30×6 = 0， FNDE = 60 kN (2) 取结点D、E为隔离 体，由平衡条件ΣFx=0、 ΣFy = 0可求得各链杆轴力如 图5-13(a)所示。 图5-13

23. 3.计算受弯杆内力。 (1) 取出CB杆为隔离体，如图5-13(b)所示。由平衡条件 可得 FCH = 60 kN(→)， FCV =3 0 kN(↑) 据此可作出CB杆的弯矩图及剪力图。 (2) AC杆的内力可与CB杆相同的方法求得。最后受弯 杆的弯矩图及剪力图如图5-13(c)、(d)所示。