三次數學危機

三次數學危機

第一次數學危機

「萬物皆數」 一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的發現無理數畢達哥拉斯(Pyth)學派 500BC 希勃索斯(Hippasus)

? 1 1 例如邊長為1的正方形，對角線的長度就不能以整數之比表示。今天我們知道這是一個無理數

第二次數學危機

極限理論 至16、17世紀，由於求切線、求面積、求極值、求速度等問題的需要，數學家開始對無限大和無限小的概念產生興趣，但當時的概念仍很模糊，以致產生很多予盾。

例：數列 (series) 設ｘ＝１－１＋１－１＋······為一數列ｘ＝（１－１）＋（１－１）＋······ ＝０　ｘ＝１－（１－１）－（１－１）······ ＝１　　最後，還可以證明ｘ等如 ½，因為ｘ＝１－（１－１＋１－１＋······）ｘ＝１－ｘ　　２ｘ＝１　　ｘ＝ ½

那麼ｘ＝０, 1 , ½ ? 這就是極限理論帶來的！矛盾

微積分 萊布尼茲 Leibniz Gottfried Wilhelm 16、17世紀，微積分術創立之後立即在科學技術上獲得應用，從而迅速地發展，但是微積分學的理論涉及無窮小量，造成當時數學上的矛盾。牛頓 (Newton Isaac)

無窮小量 例如：微積分有時把無窮小量看作無窮小量 = 0 無窮小量 0 由於這些矛盾，引起了數學界的極大爭論。這就是所謂「第二次數學危機」。

第三次數學危機

AB A  B ABCD 集合論 (Set Theory) 十九世紀末、二十世紀初，數學發展非常迅速。康托爾引入的「集合」(Set) 概念成了有效的數學基礎。康托爾 G.Cantor

羅素悖論 但羅素在1903年出版了《數學的原理》，書中提到著名的羅素悖論，使數學基礎產生了裂紋，因而震動了整個數學界，這就是所說的第三次數學危機。羅素 Russell Bertrand Arthur Willian

羅素悖論的比喻 一天，薩維爾村理髮師掛出一塊招牌：“村裏所有不自己理髮的男人都由我給他們理髮，我也只給這些人理髮。”於是有人問他：“您的頭髮由誰理呢?”理發師頓時啞口無言。　　

因為，如果他給自己理髮，那麼他就屬於自己給自己理髮的那類人。但是，招牌上敘述他不給這類人理髮，因此他不能自己理。因為，如果他給自己理髮，那麼他就屬於自己給自己理髮的那類人。但是，招牌上敘述他不給這類人理髮，因此他不能自己理。如果由另外一個人給他理髮，他就是不給自己理髮的人，而招牌上明明說他要給所有不自己理髮的男人理髮，因此他要自己理。

最後，這些既屬於自己而又不屬於自己的集合 (Set)，便成了集合論的矛盾，引發起第三次數學危機。

總結 • 第一次數學危機：無理數 – 畢達歌拉斯、希勃索斯 • 第二次數學危機：極限理論 – 牛頓、萊布尼茲 • 第三次數學危機：集合論中的矛盾 – 康托爾、羅素

參考網址 • http://www.edp.ust.hk/math/history/ • http://tech.dwhs.tnc.edu.tw/c-2.html • http://steiner.math.nthu.edu.tw/ne01/tjy/appreciation/appreciation.htm

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