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第二篇习题解答 制作人:单立斌

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第二篇习题解答 制作人:单立斌. 习题3(A) 1. 2.从上到下,从左到右的度数为3,2,0 2,3,2和为12边数是6,即结点度数 总和等于边数的二倍,满足握手定理. 3. 4. 是(a)的子图和生成子图; 是(a)的真子图. 是(b)的子图和真子图; 是(b)的生成子图.

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第二篇习题解答

制作人:单立斌

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习题3(A)

1. 2.从上到下,从左到右的度数为3,2,0

2,3,2和为12边数是6,即结点度数 总和等于边数的二倍,满足握手定理.

3.

4. 是(a)的子图和生成子图;

是(a)的真子图

slide3

是(b)的子图和真子图; 是(b)的生成子图.

5.路有acb,dcb等,基本路径有acbe,be等,圈有cbedc,ebcde等.

6.d<a,c>=d<a,d>=d<a,b>=d<c,d>=d<d,e>=d<b,e>=1;d<a,e>=d<b,c>=d<b,d>=d<c,e>=2.

7.设uu0...ukv,uv0...vjv是u到v的两条路,则uu0...ukvvj...v0u是G的圈.

8.设e的两个端点分别是a,b,因为C是G的一条回路,所以可以设C为u...vabk...u,则G-e至少存在一条bk...u...va通路,因此G-e是连通的.

9.因为其他的结点的度数都是偶数,因此既有入也有出,也就是说路不会在偶度的结点中断,因此必有一个结点至少有一条边与u连通,同理也必有一结点与v连通,因此u与v必是连通的.

10.(1)若度数为5的结点数是6个或6个以上,则结论成立;

(2)若度数为5的结点数是5个则不符合定理,因为度数为奇数的结点的个数必须是偶数;

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(3)若度数为5的结点数为4个或少于4个,则至少有5个度数为6的结点(|G|=9),因此也满足结论.(3)若度数为5的结点数为4个或少于4个,则至少有5个度数为6的结点(|G|=9),因此也满足结论.

11.(1)存在,分别为v1v5,v1v5v2,v1v5v3v2,v1v5v4v3v2.

(2)长度为3,4,5的回路分别是v1v5v2v1,v2v1v5v3v2,v1v5v4v3v2v1,没有长度为6的回路.

(3)长度为3,4,5的简单回路同(2),没有长度为6的简单回路.

12.证明 :(1)n=2时,m=1,连通;

(2)n≥3时,因为有n个结点的无向完全图Kn的边数为n(n-1)/2.而((n-1)(n-2)+1)-n(n-1)/2=(1/2)(n-2)(n-3)≥0,也就是说G的边数m总是不小于n(n-1)/2,则G是强连通的.

13.(1)7个;

(2)4个.

14.证明:在n阶无向全图中,对任意一个结点a都有n-1条边,即a的度数为n-1,因为n≥3,且为奇数,则n-1为偶数,而G与 中对应结点的度数之和等于n-1,若G中的结点a的度数是奇数,则与之对应的 中的结点a'的度数也必是奇数,也就是说G与 中奇度结点的个数想等.

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15.原图既是单向分图,也是弱分图;

强分图为:

16 .强分图: 原图既是单向分图也是若分图.

17.是单侧连通的,因为对图中任意的结点偶对,至少从一个结点到另一个结点是可达的;但是不是所有结点都是可达的,因此不是强连通的.

18.

19.图G1与G2中,结点数都是10,边数都是15条,且每个结点度数都是3.因此是同构的.

20.G1中度数为3的4个结点两两相邻,而G2中的度数为3的4个结点不两两相邻,因此不同构.

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21.证明:

充分性:设e是图G的割边,且e的两个端点分别为u,v,则删去e后,u到v不可达,即e不包含在G的任何回路上.

必要性:设e不包含在图G的任何回路上,即e的两个端点u,v除了e外再无连通路径,因此,删去e后,u到v不可达,即G不连通,所以e是G的割边.

22.邻接矩阵A和可达矩阵P为:

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24.

(1) (2) (4)

(3) deg(v1)=deg(v4)=2,deg(v2)=deg(v3)=3

25.

slide9

26.

为了便于描述,在图中标明各结点:

v到其余各结点的最短路径分别为:

d<v,a>=d<v,e>=1,d<v,c>=d<v,d>=2,d<v,b>=3,d<v,u>=4,

d<v,f>=5.

习题3(B)

1.n(n-1)/2 2. 偶 3. 能 4.C 5.C

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习题4A

1.

2.

3.

slide11

4.

5.n是奇数,且n≥3

6.奇数度数的结点多于2个.

7.解:若S={v7,v8},则W(G-S)=3≠|S|,因此不是汉密尔顿图.

8.证明:若存在e为G的桥,则(G-e)为不连通的,也就是说e的某个结点成为了孤立结点,这与G具有欧拉回路是相矛盾的,因此G中无桥.

9.这里只证必要性。充分性的证明也非常类似,故不证了。

在证明中用到的基本事实为:在图G中删除任意圈上的所有边之后,所得图G'各

顶点度数的奇偶性不变。说得更详细一点即为:设C为图G中任意一个圈,G'=G-E(C),

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则v∈V(G)=V(G'),dG'(v)与dG(V)同为奇数或同为偶数。记这个事实为*。则v∈V(G)=V(G'),dG'(v)与dG(V)同为奇数或同为偶数。记这个事实为*。

下面证必要性,采用归纳法。

(1)m=1时,因为G为欧拉图,因而G必为环,此时结论为真。

(2)设m≤k(k≥1)时结论为真,下面证明m=k+1时结论也为真。

因为G为欧拉图,所以G连通且所有顶点的度数均为偶数,因而δ(G)≥2。于是,G中

必含圈。否则G为树,树的最小度=1,这与δ(G)≥2矛盾。

设C为G中一个圈,令G'=G-E(C)。设G'有S(S≥1)个连通分支(有的连通分支可能为

平凡图),则Gi(i=1,2,…,S)的边数mi≤k。由*可知,Gi的度数均为偶数。由归纳假设

slide13

可知:

,r=1,2,…,S

且C11,C12,…,C1d1,C21,C22,…,C2d2,…Cs1,Cs2,…,Csds彼此边不重。将这些圈重新编号,

得C1,C2,…,Cd,其中d=d1+d2+…+ds,则

则G表成了d+1个边不重的圈之并。

11.(a)是平面图,(b),(c)不是平面图.

12.原图可画成如下形式:

符合平面图形的定义

slide14

14.

15.(a)的面的次数是3和7,(b)的面的次数是3,3,4.(c)的面的次数是3,3,4,4

slide15

16.如图,面的次数之和为3+3+4+4=14,而边数是7,因此面的次数之和等于边数的二倍.16.如图,面的次数之和为3+3+4+4=14,而边数是7,因此面的次数之和等于边数的二倍.

17.先标明结点:

(a) 按照度数递减

的顺序对A3和A4

分别着不同的两种

色,再对不相邻的

A2和A1着第三中颜色

(b)是4阶完全图,要用

4种颜色分别对度数相同的结点着色.

(c)对度数最大的A3着第一种颜色,对A4和不相邻的A2着第二种色,对A5和不相邻的A1着第三种色.

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18.(a),(b),(c) 的最小着色数分别为3,4,3.

习题4(B)

1.C.

2.A

3.e≤3v-6.

4.图中各点的度数为偶数.

5.W(G-S)≤|S|

6.n-1.

7.e≤3v-6.

8.n.

9.k/2.

10.3.

11.B

12.同胚的.

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习题5(A)

1.(a)是树,(b)和(c)既是树也是森林.

因为(a),(b),(c)都是没有回路的简单连通图,(b),(c)的每个连通分支都是树.

2.(a)是树,其中的边

都是树,(b)是对应(a)

的补,其中边都是弦.

3.生成树有很多,就

画三个做代表:

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4.最小生成树如图:

权值是7.

5.设分支点为i,每个分支点向下连接两条边,则2i=e,且(2-1)i=t-1,即e=2t-2

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6. 5阶非同构的根树共有5棵,它们分别为:

①3叉根树记为T1。

②4叉根树记为T2。

③2叉根树记为T3,T4

slide20

7.

习题5(B)

1.A.

2.C.

3.C.

4.B