บทที่ 2 เวกเตอร์แรง

1. บทที่ 2 เวกเตอร์แรง

2. จุดประสงค์ • แสดงการบวกแรง และการคำนวณองค์ประกอบแรงโดยใช้ Parallelogram Law • แสดง แรงในลักษณะเวกเตอร์ การหาขนาดและทิศของแรง • แสดงการ คูณแบบจุด เพื่อหามุมระหว่างสองเวกเตอร์

3. ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์ • ปริมาณสเกลาร์ คือปริมาณที่เกี่ยวข้องเฉพาะขนาด เช่น มวล ปริมาตร ความยาว โดยจะแสดงตัวแปรเป็นตัวเอียง เช่น A • ปริมาณเวกเตอร์ คือปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศ เช่น แรง โมเมนต์ การขจัด ความเร็ว ความเร่ง แสดงเป็นตัวหนา หรือมีลูกศรด้านบน เช่น A, เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ Aและสามารถแสดงเป็นรูปได้ ความยาวของลูกศร แสดงขนาด ทิศแสดงด้วยทิศของหัวลูกศร A 20o

4. สเกลาร์ (Scalar) • สเกลาร์ (Scalar) คือ ปริมาณที่เกี่ยวข้องเฉพาะขนาด ได้แก่ • เวลา (t)second s • ปริมาตร (V) cubic meter m3 liter l • ความหนาแน่น ()kilograms per cubic meter kg/ m3 • อัตราเร็ว (V) meter per second m/s • พลังงาน (E) joule J • มวล (m) kilograms kg pound lb

5. เวกเตอร์ (Vector) • เวกเตอร์ (Vector) คือปริมาณที่เกี่ยวข้องกับขนาดและทิศทาง ได้แก่ การขจัด (m), ความเร็ว (m/s), ความเร่ง (m/s2), แรง (N), โมเมนต์ (Nm) และโมเมนตัม (kgm/s) • ในทางฟิสิกส์นั้นเวกเตอร์แบ่งออกเป็น 3 แบบ คือ • เวกเตอร์อิสระ (Free vector) • เวกเตอร์เลื่อน (Sliding vector) • เวกเตอร์คงที่ (Fixed vector)

6. เวกเตอร์อิสระ (Free Vector) • เป็นเวกเตอร์ที่มีตำแหน่งไม่แน่นอน ดังนั้นจึงเขียนได้เฉพาะขนาดและทิศทางเท่านั้น เช่น เวกเตอร์ของการขจัดของจุดทุกจุดบนวัตถุใด ๆ ซึ่งเคลื่อนที่โดยปราศจากการหมุน และเวกเตอร์ของแรงคู่ควบ

7. เวกเตอร์เลื่อน (Sliding Vector) • เป็นเวกเตอร์ที่มีแนวแน่นอนตามแนวเส้นตรงหนึ่งในระวางที่ เช่น เวกเตอร์ของแรงภายนอกที่กระทำกับวัตถุเกร็ง

8. เวกเตอร์คงที่ (Fixed Vector) • เป็นเวกเตอร์ที่มีแนวและตำแหน่งแน่นอน โดยมีจุดที่แสดงตำแหน่งเวกเตอร์ เช่น เวกเตอร์ของแรงที่กระทำกับวัตถุแปรรูป ทั้งนี้ถ้าเวกเตอร์เปลี่ยนตำแหน่งจะมีผลต่อการแปรรูปของวัตถุ ดังนั้นจึงต้องกำหนดตำแหน่งของเวกเตอร์ให้คงที่แน่นอน

9. การคูณและหารเวกเตอร์ด้วยปริมาณสเกลาร์การคูณและหารเวกเตอร์ด้วยปริมาณสเกลาร์ ผลคูณของเวกเตอร์ A กับปริมาณสเกลาร์ aจะมีขนาดเท่ากับ |aA| = |a| |A| ถ้า aเป็นบวก เวกเตอร์ผลคูณจะมีทิศเดียวกับ A ถ้า aเป็นลบ เวกเตอร์ผลคูณจะมีทิศตรงข้ามกับ A -1.5A 2A 0.5A A

10. การบวกเวกเตอร์ เวกเตอร Aสามารถบวกกับเวกเตอร์ Bได้เป็นเวกเตอร์ลัพธ์ R R = A + Bได้โดยใช้กฏการขนานกันของเวกเตอร์ A R=A+B A B B B A R=A+B

11. การบวกเวกเตอร์ ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองอยู่บนแนวเส้นตรงเดียวกัน เวกเตอร์ลัพธ์จะเท่ากับการบวกกันแบบสเกลาร์ A B R=A+B

12. การแตกเวกเตอร์ลัพธ์ การแตกเวกเตอร์ลัพธ์ ออกเป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ เข้าแกนอ้างอิงใดๆ • ทำได้โดยใช้กฎการขนานกันของเวกเตอร์ a a R R b b A B

13. การหาแรงลัพธ์ • แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ มีทั้งขนาดและทิศทาง • เราสามารถรวมเวกเตอร์ หรือแตกเป็นองค์ประกอบเวกเตอร์ได้ โดยใช้หลักการคำนวณแบบเวกเตอร์ • ปัญหาในวิชา staticsหลักๆคือ การหาแรงลัพธ์ เมื่อทราบองค์ประกอบของแรง หรือการแตกแรงลัพธ์ที่ทราบค่าออกเป็นองค์ประกอบของแรง • การหาขนาดของแรง สามารถใช้กฏของโคไซน์ • ส่วนการหาทิศของแรง ใช้กฏของไซน์ c A B b a C

14. Example F2 = 150N 10o • ขั้นตอนที่ 1 • ขั้นตอนที่ 2 หาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ หาทิศของเวกเตอร์ลัพธ์ • FRทำมุม 39.5o+15o=54.8oกับแกนนอน จงหาแรงลัพธ์ F1 = 100N 15o 150N • FR =212.6 N 10o FR 100N q 15o

15. การบวกเวกเตอร์ใน2มิติการบวกเวกเตอร์ใน2มิติ • เราสามารถแตกแรงในระนาบออกเป็นสองแรงที่ตั้งฉากกัน (แกน x, แกน y) โดยแสดงในลักษณะที่แยกเป็น • ส่วนที่เป็นสเกลาร์ (Fx, Fy) • ส่วนที่เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย i, j ทำให้การบวก ลบ เวกเตอร์ทำได้ง่ายขึ้น เช่น F1 = F1x i+ F1y j F2 = F2x i+ F2y j F3 = F3x i+ F3y j F = Fxi+ Fyj FR = F1 + F2 + F3 = (F1x+F2x+F3x)i + (F1y+F2y+F3y)j = (FRx)i + (FRy) j

16. การบวกเวกเตอร์ใน2มิติการบวกเวกเตอร์ใน2มิติ

17. Example y • ขั้นตอนที่ 1 • ขั้นตอนที่ 2 FRx = 600 cos 30oN – 400 sin 45oN = 236.8 N FRy = 600 sin 30oN + 400 cos 45oN = 582.8 N จงหาแรงลัพธ์ F1 = 600N F2 = 400N 45o 30o x F2 = 400N F1 = 600N 45o + 30o +

18. Example • ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ = 629 N • ทิศของเวกเตอร์ลัพธ์ • หรือแสดงในรูป FR = F1 + F2 = (600 cos30oN – 400 sin45oN) i + (600 sin30oN + 400 cos45oN)j = {(236.8)i + (582.8) j} N

19. การบวกเวกเตอร์ใน3มิติการบวกเวกเตอร์ใน3มิติ • ระบบแกนในสามมิติ (cartesian coordinate system) จะเป็นไปตามกฏมือขวา z Azk A g Ax i a b x Ay j y

20. การบวกเวกเตอร์ใน3มิติการบวกเวกเตอร์ใน3มิติ เวกเตอร์หนึ่งหนวยของA คือ การบวกเวกเตอร์ใน3มิติ

21. Example FR = F1+ F2 = {60j+80k} kN + {50i -100j+100k} kN = {50i-40j+180k} kN z F1 = {60j+80k} kN F2 = {50i -100j+100k} kN y x

22. Example • cosa = 0.2617 • cosb = -0.2094 • cosg = 0.9422 • = 74.8o • b = 102o • g = 19.6o = 191.0 = 191 N

23. เวกเตอร์บอกตำแหน่ง • เป็นเวกเตอร์ที่ใช้บอกตำแหน่งของจุดใดๆใน space ที่สัมพันธ์กับจุดอื่น หรือจุดอ้างอิง เช่น ในระบบพิกัดที่มีจุดกำเนิด Oมีตำแหน่ง P(x,y,z) ใน space จะสามารถบอกได้ด้วยเวกเตอร์บอกตำแหน่ง r = xi + yj + zk • ในกรณีทั่วไป เวกเตอร์บอกตำแหน่ง สามารถบอกตำแหน่งจากจุด A ไปยังจุด B ได้ โดย rAB = rB – rA • เมื่อrAและ rBคือเวกเตอร์บอกตำแหน่ง ของจุด A และ จุด B เมื่อเทียบกับจุดกำเนิด rA = xAi + yAj + zAk rB = xBi + yBj + zBk rAB = (xB-xA) i+ (yB-yA) j + (zB-zA) k

24. การคูณแบบจุด (dot product) เมื่อ qเป็นมุมระหว่าง AกับB

25. การดอตเวกเตอร์ (Dot product) • Dot product of Cartesian unit vectorsยกตัวอย่างเช่นii = (1)(1)cos(0o) = 1ij = (1)(1)cos(90o) = 0 • จึงสรุปได้ว่าii=jj=kk= 1ij=ik=jk= 0 • Dot product of 2 vectors A and B AB = (Axi + Ayj + Azk)·(Bxi + Byj + Bzk) = AxBx(i·i) + AxBy(i·j) + AxBz(i·k) + AyBx(j·i) + AyBy(j·j) + AyBz(j·k) + AzBx(k·i) + AzBy(k·j) + AzBz(k·k) = AxBx+ AyBy + AzBz

26. ตัวอย่าง • กำหนดให้ A = -i - 2j + 3k และ B = 4i - 5j + 6kจงหา ABและ มุมระหว่าง Aและ B • AB = (-i - 2j + 3k)(4i - 5j + 6k) = (-1)(4) + (-2)(-5) + (3)(6) = -4 + 10 + 18 = 24 Ans • จาก AB = AB cos 24 = (3.74)(8.77)cos = cos-1(0.73) = 43.11oAns

27. แบบฝึกหัด • จงหามุมระหว่างสองเวกเตอร์

28. ตัวอย่าง จงหาองค์ประกอบของ FABในแนว AC วิธีทำ FAC =FAB  uC

29. FAC =FAB  uC