피타고라스의 정리

1. Ⅵ. 피타고라스의 정리 피타고라스의 정리 1 피타고라스의 정리의 증명 2 피타고라스의 정리의 역 3 삼각형의 각과 변 사이의 관계 4 평면도형에의 활용 5 입체도형에의 활용 6

2. A c b + = 2 2 2 a b c B C a 피타고라스의 정리 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이의 제곱의 합은 빗변의 길이의 제곱과 같다.

3. ※ 활 용 예 제 x 6 8 문) 다음 그림에서 x의 값을 구하시오. x2 = 62+ 82, x2 = 36 + 64 = 100 ∴x = 10 (∵ x > 0)

4. a b a b c c a b 1 + -  2 = 2 ( a b ) 4 ab C 2 C b a 2 \ + = 2 2 c a b 피타고라스의 정리의 증명 한 변의 길이가 a+b인 정사각형 GHCF를 만들면 □EBAD = □GHCF - 4△ABC D G F A E H B

5. ※ 활 용 예 제 = = = = AP BQ CR DS 1 문) 다음 그림의 □ABCD는 한 변의 길이가 2인 정사각형 이다. 일 때, 사각형 PQRS의 넓이를 구하시오. 2 A D 2 2 = - = \ = - = - AQ 2 1 3 PQ AQ AP 3 1 S 같은 방법으로 P = = = = - 2 R QR RS SP PQ 3 1 이므로 2 2 □PQRS ( ) = = - = - + PQ 3 1 3 2 3 1 Q \ - 4 2 3 B C △ABQ에서

6. A + = 2 2 2 a b c c b B C a 피타고라스의 정리의 역 ∠C = 90º 인 직각삼각형 세 변의 길이가 각각 a, b, c인 삼각형에서 a 2 + b 2 = c 2이면 이 삼각형은 빗변의 길이가 c 인 직각 삼각형이다.

7. ※ 활 용 예 제 문) 세 변의 길이가 다음과 같은 삼각형 중에서 직각삼각형 인 것을 모두 고르면? 1) 4cm, 4cm, 4 2 cm 2) 12cm, 15cm, 20cm 3) 6cm, 8cm, 10cm 2 ( ) + =  4) 7cm, 9cm, 11cm 2 2 1) 4 4 4 2 직각삼각형 + < 2 2 2 12 15 20 2)  + = 2 2 2 6 8 10 3) 직각삼각형 + > 2 2 2 7 9 11 4) 답 1), 3)

8. c c c b b b 직각 예각 둔각 a a a < + = + > + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c a b c a b c a b 삼각형의 각과 변 사이의 관계 1) 예각삼각형 2) 직각삼각형 3) 둔각삼각형

9. ※ 활 용 예 제 문) 세 변의 길이가 다음과 같은 삼각형 중에서 예각삼각형 인 것을 고르시오. 1) 4cm, 4cm, 4 2 cm 2) 12cm, 15cm, 20cm 3) 6cm, 8cm, 10cm 2 2 ( ( ) ) + + = =   4) 7cm, 9cm, 11cm 2 2 2 2 1) 1) 4 4 4 4 4 4 2 2 직각삼각형 직각삼각형 + <  둔각삼각형 2 2 2 12 15 20 2)  + = 2 2 2 6 8 10 3) 직각삼각형  예각삼각형 + > 2 2 2 7 9 11 4) 답 4)

10. ※ 활 용 예 제 + = + + + 2 2 2 ( a 5 ) ( a 3 ) ( a 1 ) - - = 2 a 2 a 15 0 - + = ( a 5 )( a 3 ) 0 = \ a 5 (a >–1이므로 a=-3은 부적당) 문) 세 변의 길이가 각각 a+3, a+1, a+5인 삼각형이 직각 삼각형이 되도록 하는 상수 a의 값을 구하시오.  세 변 중 가장 긴 변의 길이는 a+5이므로

11. l l b a a a = + 2 2 l a b = l 2 a 평면도형에의 활용 –사각형의 대각선의 길이 1) 직사각형 2) 정사각형

12. ※ 활 용 예 제 2 2 + 7 5 5 = + 25 49 7 ( cm ) = 74 문) 가로의 길이가 7cm, 세로의 길이가 5cm인 직사각형 의 대각선의 길이를 구하시오.

13. a a a a h S a 2 a a 3 3 = 2 S a 넓이 높이 = h a 4 2 평면도형에의 활용 –정삼각형의 높이와 넓이

14. 2 2 6 6 3 3 cm cm ※ 활 용 예 제 문) 넓이가 인 정삼각형의 한 변의 길이를 구하 시오. 정삼각형의 한 변의 길이를 a cm 라 하면 3 = 6 3 2 a 4 = 2 a 24 a \ = = > a 24 2 6 ( cm ) ( a 0 ) ∵

15. A 45º AB : BC : CA 2 a a = 1 : 1 2 : 45º B C a 평면도형에의 활용 – 직각삼각형의 세변의 길이의 비 1) 직각이등변삼각형

16. AB : BC : CA A = 2 : 1 : 3 30º 2b b 3 60º B C b 2) ∠A=30 º , ∠B=60 º 인 직각 삼각형

17. o =  = ^ ※ 활 용 예 제 AC 6 cm , AD B AD 60 BC 문) 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서 이고, 일 때, 의 길이를 구하시오. A o  = C 30 이므로 ACD 직각삼각형 에서 6 cm = = AC : AD 2 : 1 6 : AD 2 : 1 즉 60° C B D \ = AD 3 ( cm )

18. + 2 2 x y y P(x, y) = + 2 2 OP x y y x O x 평면도형에의 활용 – 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 1) 원점과 한 점 사이의 거리

19. y B(x2, y2) y2 y2-y1 A(x1, y1) y1 y1 x2-x1 x O x1 x2 = - + - 2 2 AB ( x x ) ( y y ) 2 1 2 1 2) 두 점 사이의 거리

20. ※ 활 용 예 제 { ( ) } ( ) 2 2 = - - + - AB 3 1 5 2 = + = 16 9 25 = 5 문) 다음 두 점 사이의 거리를 구하시오. A(-1, 2), B(3, 5)

21. l c b a = + + 2 2 2 l a b c 입체도형에의 활용 1) 직육면체의 대각선의 길이

22. a a a = l 3 a 2) 정육면체의 대각선의 길이

23. ※ 활 용 예 제 = + + 2 2 2 l 2 3 6 = 49 = 7 ( cm ) 문) 세 모서리의 길이가 2cm, 3cm, 6cm 인 직육면체의 대각선의 길이를 구하시오.

24. 6 a = h a 높이 a 3 h a 2 = 3 V a 부피 a 12 3) 정사면체의 높이와 부피

25. ※ 활 용 예 제 6 =  h 12 높이 3 = 4 6 ( cm ) 문) 한 모서리의 길이가 12cm인 정사면체의 높이를 구하시오.

26. = - 2 2 h l r 높이 l h 1 2 = p r h V 부피 3 r 4) 원뿔의 높이와 부피

27. ※ 활 용 예 제 = - 2 2 h 10 8 높이 = = 36 6 ( cm ) 문) 밑면인 원의 반지름의 길이가 8cm이고, 모선의 길이가 10cm인 원뿔에서 높이를 구하시오.

28. A D A D H P B C P H E B C G F G 5) 입체도형에서의 최단 거리 입체도형의 표면을 따라 두 꼭지점을 잇는 최단 거리는 전개도에서 두 점을 잇는 선분의 거리이다.