Matrices Random de Leslie: dinámica de población con estructuras de edades

1. Matrices Random de Leslie: dinámica de población con estructuras de edades Manuel O. Cáceres (1,2) 1. Instituto Balseiro, Universidad Nacional de Cuyo, Centro Atomico Bariloche, CNEA, CONICET San Carlos de Bariloche, Argentina. 2. Senior Associated to the ICTP, Trieste, Italy.

2. Pirámides Poblacionales Inglaterra en los años 1891 y 1956 Ahora podríamos imaginar una pirámide moderna, con base mas estrecha y cúspide más ancha. Pero: ¿cómo será la pirámide del año 2100? ¿Nos alcanza con la imaginación?

3. Motivaciones 1) Cómo hacer inferencias sobre cambios de las tasas poblacionales? 2) Cómo puede describirse la dinámica poblacional por estructura de edades con parámetros vitales aleatorios? 3) Se puede hacer un análisis constructivo, en términos de propiedades generales para elementos de matrices de proyección random (parámetros vitales inciertos), para encontrar el comportamiento asintotico del valor-medio del vector de la población?

4. Supuestos del Modelo Leslie-Lotka (Matríz de Leslie): • Reproducción por pulsos de nacimiento (tasas específicas de natalidad y mortalidad según estructuras edades) • Distribución estable de edades (clases de edad específicas) • La densidad poblacional no afecta los valores de los parámetros vitales (parámetros vitales constantes) Matríz random de Leslie con edades-específicas: • Los parámetros vitales comúnmente están limitados en especies longevas. • No es posible conseguir las estimaciones de todos los parámetros de edad-específicos. • Existen variaciones de muestreo debido al pequeño tamaño muestral. • La repetición de estimaciones imprecisas conducen a una gran propagación de error.

5. Matríz de Proyección de Leslie • La Matríz de Leslie es un arreglo de números positivos • P’s son las propabilidades de supervivencia de cada edad-específica y f’s son las fecundidades específicas • Ejemplo en un modelo de 4x4; la matríz irreducible es: • Podemos aplicamos el Teorema de Perron-Frobenius: • El valor real es una estimación de la tasa de cambio • es la contribución relativa para la población estacionaria en el futuro, por grupos indivuduales de edad

6. Solución exacta de la relación de recurrencia es un vector estado de dimensión que caracteriza a la población en el paso . Cada componente representa el número de individuos en cada categoría de edad . Entonces la dinámica de Leslie está dada por la relación de recurrencia:

7. Estabilidad asintótica (caso ordenado) Usando el Teorema Tauberiano podemos estudiar Ej.: el comportamiento del vector población Asimptoticamente probamos: Donde es el polo menor (positivo) de la matríz función de Green. Es decir, el autovalor de Perron-Frobeniuos Notemos que: si los elementos de una matríz Leslie son aleatorios y si fuesemos capaces de encontrar la distribución de probabilidad del autovalor , aún asi careceria de sentido analizar el comportamiento asintótico mediante el limite:

8. …y en matrices de Leslie aleatorias? • P’s pueden tener una estadística aleatoria diferente en comparación con los elementos de fecundidad f’s ! • El tamaño de las fluctuaciones en las incertezas, pueden ser diferentes para las probabilidades de supervivencia p’s, que en los elementos de fecundidad f’s ! • ¿Existe un teorema Perron-Frobenius para el caso random? • Cuál es la tasa de crecimiento efectiva y el vector positivo estable efectivo? • Dada la estadística de los elementos aleatorios en una matríz de Leslie, como podemos estudiar el límite asintótico del valor-medio del vector estacionario de la población?

9. Aproximación constructiva para Matríces de Leslie Random Primero: introducir el Teorema Tauberiano para caracterizar la evolución asintótica del vector de la población Nota: la tasa de crecimiento efectiva no es el valor-medio del autovalor positivo aleatorio! Sin embargo el Teorema Tauberiano permite calcular la evolución asintótica del valor-medio del vector de la población Segundo: usar la técnica de la función Green para caracterizar la dinámica en valor medio de la evolución poblacional aleatoria Tercero: introducir la técnica de diagramas y cumulante de tiempo-ordenado para calcular orden-por-orden el valor-medio de la función de Green Cuarto: encontrar el polo dominante de la función de Green para definir la tasa de crecimiento efectiva en el caso aleatorio Nota: esta aproximación puede ser utilizada para cualquier caracterización estadística de elementos aleatorios en una matríz de Leslie

10. Estabilidad asintótica en el caso random Analizando el valor-medio de la Matríz Función Green podemos estudiar el comportamiento asintótico del valor-medio del vector de la población. Utilizando el Teorema Tauberiano, entonces obtenemos: Donde es el polo menor del valor-medio de la Matríz Función de Green Es decir: podemos definir el polo como el autovalor efectivo de Perron-Frobenious

11. Cálculo del valor-medio de la Matríz Función de Green Introduciendo Operaciones de Proyección: el valor-medio de la Matríz Función de Green puede ser calculado a partir de su ecuación de evolución: Aplicando , utilizando series de Dayson y la matriz deterministica de Green , obtenemos una solución exacta y cerrada para el valor-medio de la funcion de Green:

12. Cómo calcular la tasa de crecimiento efectiva (Malthusian rate) Hemos probado que en el régimen asintótico: el valor-medio de la Función de Green caracteriza la tasa de crecimiento efectiva del vector de la población, es decir: Donde es el polo menor positivo de un polinomio secular. Este polinomio puede ser calculado orden por orden. Por ej.:

13. Entonces las motivaciones han sido resueltas! 1) La dinámica poblacional estructurada por edades con elementos aleatorios en los parámetros vitales puede ser estudiada sistematicamente. 2) Un análisis constructivo, en términos de las propiedades generales de los elementos aleatorios de las matrices de proyeccion (matrices de Leslie), se ha desarrollado para encontrar el comportamiento asintótico del valor-medio del vector de la población

14. Es posible extinguirnos ? Extinción si es <1

15. GRACIAS! ? E. Satie Interprete: E. Cáceres-Saez Algunas referencias: L. Arnold et al.: Ann. App. Prob. 4, 859, (1994) M.O. Cáceres.: Estadística de no-equilibrio y medios desordenados, Reverté, S.A. “2003, Barcelona.