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2 M R ∵ A 2 ∪ ∩ ¬ ∧ ∨ ,  A n

2 M R ∵ A 2 ∪ ∩ ¬ ∧ ∨ ,  A n. ∵ A 2 ∪ ∩ ¬ ∧ ∨ ,  A n. 关系的概念. 定义 : A B 的子集 R 叫做 A 到 B 的 一个 2 元关系 ; A 1  A n 的子集 R 叫做 A 1  A n 上的 一个 n 元关系 . 若 x,yR, 则称 x 与 y 有关系 R , 并记为 xRy . 例 : A={a,b,c,d}; B={e,f,g}; 则 R= { a,g, d,e} 是一个 2 元关系 , 且有 a R g;d R e.

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2 M R ∵ A 2 ∪ ∩ ¬ ∧ ∨ ,  A n

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  1. 2 MR ∵A2∪∩ ¬∧ ∨ , An ∵ A2 ∪∩ ¬∧ ∨ , An

  2. 关系的概念 定义: AB的子集R叫做A到B的一个2元关系; A1An的子集R叫做A1An上的一个n元关系. 若x,yR,则称x与y有关系R,并记为xRy. 例: A={a,b,c,d}; B={e,f,g};则 R= {a,g, d,e}是一个2元关系,且有 aRg;dRe. 注:因一般地x,yy,x,故一般地xRyyRx.

  3. 二元关系的图示,前域,陪域,定义域,值域 R为A到B的一个2元关系时,称A为R的前域,称B为R的陪域. 集合D(R)={x|y(x,yR}称为R的定义域;R(R)={y|x(x,yR}称为R的值域. 对于上例中的 R= {a,g, d,e}有 D(R)={a,d}; R(R)={g,e}.

  4. 一些重要关系 若R= A1An, 则R称为全域关系; 若R= 则R称为空关系. 设S和R是给定集合上的关系,则R∪S,R∩S,R-S,R’分别称为R与S的并关系,交关系,差关系和R的补关系.这样一来,从已知关系可以派生出各种新关系. A上的2元关系IA={x,x|xA}称为相等关系.

  5. 一些性质 ① D(R∪S)=D(R)∪D(S); ② D(R∩S)D(R)∩D(S); ③ R(R∪S)=R(R)∪R(S); ④ R(R∩S)R(R)∩R(S). 证①xD(R∪S)y(x(R∪S)y) y(xRy∨xSy) y(xRy)∨y(xSy) 辖域收缩 xD(R)∨xD(S) xD(R)∪D(S)

  6. 3.1习题#7 证明: A上有2|AA|个2元关系 因为AA有多少个子集,便有多少个A上的2元关系,所以,A上的2元关系的个数是: |(AA)|=2|AA| =2|A|·|A| 即2的|A|2次方. 一般地,A上的n元关系的个数是2的|A|n次方.

  7. 例6 A={1,2,3,4,5};R={1,2,2,2,3,2, 3,4 4,3}的关系图 4 用下面的有向图表示 1 2 3 5

  8. 关系矩阵的概念 若R为A={a1,,am}到B={b1,,bn}的一个关系,则 mn 矩阵 MR={rij}称为R的关系矩阵,其中, rij=1,当aiRbj; rij=0,当¬(aiRbj). 例: A={a,b,c,d}; B={e,f,g}; 则 R= {a,g, d,e}的关系矩阵为: ┏ 0 0 1 ┓ ∣ 0 0 0 ∣ ∣ 0 0 0 ∣ └ 1 0 0 ┛

  9. 空关系与全域关系的关系矩阵 空关系的关系矩阵为全0矩阵:M=0. 全域关系的关系矩阵为全1矩阵,记为J. 相等关系的关系矩阵为单位矩阵:MIA=E.

  10. 基于R与MR互相唯一决定的特性,可用关系矩阵有效地刻画关系的许多性质基于R与MR互相唯一决定的特性,可用关系矩阵有效地刻画关系的许多性质 对于有限集A上的任意关系R与S R=S  MR=MS; RS  MR  MS (即)  ij ( rij sij)  ij ( rij =1 sij=1). R在A中自反  IA R (MR对角元全为1) R在A中反自反  R∩IA= (MR对角元全为0) R在A中对称  MR为对称矩阵(MRT =MR) ij ( ij rijrji=0) R在A中反对称

  11. 关系的一些重要性质 对于A上的任意关系R R在A中自反x(xAxRx); R在A中反自反x(xA ¬(xRx)); R在A中对称xy(x,yA∧xRy yRx); R在A中反对称 xy(x,yA∧xRy∧yRx x=y); R在A中传递 xyz(x,y,zA∧xRy∧yRzxRz).

  12. 3.1#8(d) R={a,b,b,c,c,a,d,d}只有反对称性 R的关系矩阵为: ┏ 0 1 0 0 ┓ ∣ 0 0 1 0 ∣ ∣ 1 0 0 0 ∣ └ 0 0 0 1 ┛ b a d c

  13. 3.1#10: 整数集I上二元关系相等关系=,,,全域关系II,空关系的性质 = 自反 对称 反对称 传递  自反 反对称 传递  反自反 反对称 传递 II 自反 对称 传递  反自反 对称 反对称 传递

  14. 二已知关系RAB和SBC的合成关系记为RS RS={a,c|aA∧cC ∧b(bB∧a,bR∧b,cS} RS是从A到C的关系, 换句话说,RS可视为关系R和S的一种运算---‘合成乘积’. 即使A=B=C时,合成乘积一般也不可交换: RSSR(如p96例1(b)所示) . RIA=IAR=R. (IA是乘法单位元) R=R=; R(R)∩D(S)=RS=  .

  15. 对A到B的任意关系R都有IAR= R a,bIAR  aA∧bB∧c(cA∧a,cIA ∧c,bR)  aA∧bB∧a,bR (因a=c)  a,bR  IAR= R

  16. 成立合成在并上的分配律:R1(R2∪R3 )=(R1R2 )∪(R1R3 ) a,cR1(R2∪R3)  b(a,bR1∧b,c(R2∪R3)  b(a,bR1∧(b,cR2∨b,cR3))  b(a,bR1∧b,cR2) ∨(a,bR1∧b,cR3)  a,cR1R2∨a,cR1R3  a,cR1R2∪R3R1

  17. 成立合成运算的结合律: (R1 R2)R3=R1(R2R3 ) 证: a,d(R1R2)R3  c(a,cR1R2∧c,dR3 • c(b(a,bR1∧(b,cR2∧c,dR3) b(a,bR1∧c(b,cR2)∧c,dR3)  a,dR1(R2R3 )

  18. n元集A上二元关系R的k次幂定义为:Rk=RRR • 约定:R0=IA • R1=R=R0R1=R1R0; • 当n3,由结合律得: Rn=Rn-iRi ,i=0,1,2,…,n; RkRj=RjRk=Rk+j ; (Rk)j=Rkj, k,j=0,1,2,…

  19. n元集A上二元关系R幂的循环性质 • 对A上任一关系都存在不大于2的n2次方的ij,使得 Ri=Rj; • 若存在0i<j使Ri=Rj,记论述域为自然数集N,d=j-i,则 ① k(Ri+k=Rj+k) ② km(Ri+md+k=Ri+k) (Ri+k=Rj+k=Ri+(j-i)+k=Ri+d+k再用一次 Ri+k=Ri+d+k=Ri+d+d+k=Ri+2d+k 等等) ③ 令S={R0,R1,…,Rj-1}(可证jn+1,见定理3.3-8),则 k(RkS)

  20. 3.2 #6‘ a g a b c IA =R0 b d e a R g f R1={a,b,a,c,c,d, c,e,d,f,d,g} R2={a,d,a,e,c,f,c,g} R3={a,f,a,g} Rk=, k=4,5,…. (d=1) c b e d R2 g f

  21. 二元集{T,F}{1,0}上的布尔运算 ① T∨F=F∨T=T∨T=T,F∨F=F; 1∨0=0∨1=1∨1=1,0∨0=0 ② T∧F=F∧T=F∧F=F,T∧T=T; 1∧0=0∧1=0∧0=0,1∧1=1 ③ ¬T=F,¬F=T; ¬1=0,¬0=1 ④ 配合∨,∧的其它性质(结合律分配律等)可计算更复杂的式子 例如:(1∧0)∨(1∧1)∨(0∧0)=0∨1∨0=1. 注 {0,1}关于上述两个运算构成二元数域.

  22. (0,1)-矩阵的布尔运算 • 对于mn(0,1)-矩阵MR=(rij),MS=(sij)定义下列运算: ¬MR=(¬rij); MR∨MS=(rijsij); MR∧MS=(rijsij); • 当m=n时定义: MRMS=(∨1kn(rijsij)) 例: 对全0矩阵0,全1矩阵J有 0∧M=M∧0=0; J∨M=J∨J=J; 零律 0∨M=M; J∧M=M. 同一律

  23. 用关系矩阵的布尔运算研究关系的运算 • 令MR=(rij),MS=(sij)表示有限集A到B的两个关系R,S的矩阵,则 MR’=¬MR=(¬rij); MRS=MR∨MS=(rijsij); MRS=MR∧MS=(rijsij); MR-S=MR∧MS’=(rij¬sij). • 当A=B(R,S为A上关系)时 MRS=MRMS=(∨1kn(rijsij))

  24. 借助关系矩阵及其运算导出的一些结论 • 关系的合成运算满足结合律(参看定理3.2.2) 证:设R(ST)有意义(则(RS)T有意义)并用MX记关系X的矩阵,则 MR(ST)=MRMST=MR(MSMT ); M(RS)T=MRSMT=(MRMS)MT .但由高等代数课知二元数域{0,1}上的矩阵乘法满足结合律,故MR(ST)=M(RS)T,由此得证 R(ST)=(RS)T • R为A上传递关系  RRR  MR2  MR • R为A为A上自反关系  IAR  E  MR

  25. 3.2习题#3 证明: 若R是有限集A上空关系或全域关系,则R2=R. 若R为空关系,则 MR=0; MRR=00=0,从而R2也为空关系,得证 R2=R. 若R为全域关系,则MR=J; MRR=JJ=J,从而R2也为全域关系,得证R2=R.

  26. 3.2习题#9(a) R1,R2,R3为A上二元关系,且R1R2.试证: R1R3R2R3. 证:若R1R3为空集,则 R1R3=R2R3; 否则, a,cR1R3  b(a,bR1∧b,cR3)  b(a,bR2∧b,cR3) ∵R1R2  a,bR2R3 注:也可用矩阵方法证,因令M1,M2,M3,M13,M23,分别表示R1,R2,R3,R1R3,R2R3 的矩阵,则M1 M2蕴涵 M13=M1M3  M2M3 =M23给出R1R3R2R3.

  27. 从A到B的二元关系R的逆关系R~的定义: R~={a,b|b,aR} • ‘~’是关系的一元运算. • a,bR(即aRb)b,aR~(即bR~a); • MRT=MR~; 故 S=R~ MS=MRT; • R在A上对称  R~=R(见定理3.3-3); 特别,A上相等关系,全域关系,空关系的逆关系都是自身(∵矩阵E,0,J都是对称矩阵).

  28. 二元关系R的逆关系R~的若干性质 ① (R~)~=R; (∵ (MRT)T=MR) ② (RS)~=S~R~; (∵ (MRMS)T = MSTMRT) ③ 对于A到B的任意关系R,S都有(R∪S)~= R~∪S~; 把上式中的集合运算∪代替为 ∩,-,’, 等运算仍然成立(见定理3.3-2). (∵(MRS)~=(MR∨MS)~=MRT∨MST=MR~S~) ④ RS  R~S~ (∵ MR  MS MRT MST )

  29. A上二元关系R的闭包运算 • 具有自反(对称,传递)性的包含R的最小关系R的自反(对称,传递)闭包,记为r(R)(s(R),t(R)). • R是自反的,当且仅当 r(R)=R; • R是对称的,当且仅当 s(R)=R; • R是传递的,当且仅当 t(R)=R. 证:充分性显然.必要性:若R是自反(对称,传递)的,则R也是包含的最小自反(对称,传递)关系,所以 r(R)(s(R),t(R))=R.

  30. 如何求A上二元关系R的闭包? ① r(R)=R∪IA (Mr(R)=MR∨E) (∵ R在A上自反  IAA ∴ 包含A的最小自反关系是R∪IA) ② s(R)=R∪R~ (包含R的对称关系是包含R∪R~的对称关系,并且R∪R~是对称关系((R∪R~)~= R~∪(R~)~= R~∪R). ③ t(R)=∪1i<Ri (注 可证: t(R)=∪1inRi, n=|A| (见定理3.3-8)).

  31. 证明: t(R)=∪1i<Ri  W ① 先证 Wt(R).由t(R)的定义知R1t(R).今证: i(i>1∧Rit(R)Ri+1t(R)). 事实上, a,bRi+1c(a,cRi∧c,bR)c(a,c,c,bt(R))a,bt(R)(t(R)是传递的),由归纳法得i(iI+Rit(R),得证Wt(R). ② 次证 t(R)W.由t(R)的定义只须证W为传递关系即可.设a,b,b,cW,则存在s,tI+ 使a,bRs∧b,cRt,由此得a,bRsRt=Rs+tW,所以,W为传递关系.

  32. 3.3#7(c)已知 A={1,2,3}, R= {1,2,2,3,3,1},求r(R),s(R),t(R). 解: r(R)=R∪IA ={1,2,2,3,3,1,1,1,2,2,3,3}, s(R)=R∪R~ ={1,2,2,3,3,1,2,1,3,2,1,3}, t(R)=R∪R2∪IA(∵R3=IA) ={1,1,2,2,3,3,1,2,2,3,3,1, 1,3,2,1,3,2}

  33. 下面讨论整数集I上一些关系的闭包 • r(<); (∵ r(<)<∪E<∪=) • s(<); (∵ s(<)<∪>) • t(<)<; (∵<是传递的) • r()II(全域关系);(∵ ∪E∪=II) • S(); T()II; (∵ijk(ik∧kj),即()()=II) • r()∪EE; s()∪~∪; t()∪1i<i. • R为后继关系:xRyy=x+1,则t(R)<. (a,ct(R)k(k1∧a,cRk)c=a+kc>a)

  34. 自反,对称,传递闭包可进一步作闭包运算 • r(r(R))=r(R); • s(r(R))=r(S(R)); • t(r(R))=r(t(R)); • r(s(R))=s(r(R))=R∪R~∪E; • r(t(R))=t(r(R))=t(R)∪E=∪0ini. • 通常用R+,R*分别表示传递闭包t(R),自反传递闭包r(t(R)),此二关系在计算机科学中十分有用.

  35. 3.3习题#8(c) (注:MR+=Mt(R) , MR*=E∪Mt(R)) MR= Mr(R)= Ms(R)= MR2= MR4=MR3= Mt(R)=

  36. 偏序集与偏序关系的概念 ① A上关系R称为偏序关系,如果R是自反的,反对称的,和传递的;此时,A,R称为偏序集合,并常把A,R记为A,;把aRb记为 ab. ② A,R是偏序集蕴涵A,R~是偏序集,称A,R~为A,R的对偶偏序,常把A,的对偶偏序记为A,.

  37. 偏序集与偏序关系的例子 ① 对任意实数集AR与实数上的大小关系:, A,是偏序集;其对偶偏序集为A,; ② 对任意集A,(A),是偏序集;其对偶偏序集为(A),; ③ 令AI+,对任意m,nA,m|n表示m整除n的关系(即m为n的整数倍:有整数k满足m=kn),A,|是偏序集. 证: m(mAm|m); mn(m|nmn); mn(m|n∧n|mm=n); mnk(m|n∧n|kuv(k=un∧n=vm)  mnk(m|n∧n|km|k)

  38. 表示有限偏序集的Hasse图举例 {a,b} ① ({a,b}), ② {2,4,6,8,12},| 12 8 {a} {b} 6 4  2

  39. 偏序集A,的子集B的极,最大(小)元 • y是B的极大元yB∧(x(xB∧xy∧yx) y是B的最大元yB∧x(xBxy) y是B的极小元yB∧(x(xB∧xy∧xy) y是B的最小元yB∧(xByx) 注:①由反对称性立即推出最大,最小元的唯一性: 令y,y’为B的最大(小)元,则有yy’和y’y, 从而由反对称性推得:y=y’. ②易见:当B有最大(最小)元时,此最大(小)元也是B唯一的极大(极小)元. (∵最大(小)元y必为极大(小)元,若还有极大(小)元y’y,则y()y’,引出矛盾.

  40. 例①:A={2,4,6,8,12},| A上极大元是:12,8; A上无最大元; A上最小元是:2 若B={12,6,4},则 B的最大元是:12; B无最小元. 注:极大(小)元可存在可 不存在,且不一定唯一. 12 8 6 4 2

  41. 偏序集A,的子集B的上,下界概念 • aA是B的一个上界,如果b(bBba) • aA是B的一个下界,如果b(bBab) • aA是B的最小上界,记为lub(B),如果B每个上界a’都满足aa’ • aA是B的最大下界,记为glb(B),如果B每个下界a’都满足a’a 注:①由反对称性立即推出最大上界,最小下界的唯一性. ②易见: B的最小上(最大下)界y为B的最大(小)元当且仅当yB

  42. 例:R,的子集 B1={x|0<x<1}; B2={x|0x<+} ① 0为B1的最大下界;1为B1的最小上界;B1有无穷多上界(x(x1x为B1的上界)); B1有无穷多下界(x(x0x为B1的下界));但0(1)不属于B1,故不是B1的最大(小)下(上)界. ② 0为B2的最小元,故也是最大下界;B2有无穷多下界(x(x0x为B1的下界));但B2没有上界,更没有最小上界.

  43. 偏序集A,称为线序集,如果ab(a,bAab∨ba); 线序集A,称为良序集,如果B(BAB有最小元) • A,为偏序时,B(BAB,为偏序); A,为线序时,B(BAB,为线序). • A上传递关系R是线序,则A满足三分律: xy(x,yAx<y∨x=y∨x>y) • R,不是良序集((-,0)无最小元),而N,是良序集(若N的子集B无最小元,则glb(B)=dB,故d+1B,并且x(xBxd+1),得证d+1=glb(b),从而d+1是B最小元,矛盾.)

  44. 3.4 #5 a b a (a)是偏序,但不是线序(a,b不可比较),更不是良序 (b)是偏序,线序,良序 (c)不是偏序(非自反),更不是线序,良序 b b a c

  45. 集合A上的二元关系R称为是等价关系,如果R是自反的,对称的和传递的集合A上的二元关系R称为是等价关系,如果R是自反的,对称的和传递的 例① 任何集合上的相等关系和全域关系都是等价关系. 例② 对已知正整数k和a,bI,若k|(a-b),则称a与b模k同余,记为ab(modk). 在I的任一子集A上,模k同余关系是等价关系. 证;A=时结论显然成立.否则 a(aAk|(a-a)},即 a(aAaa(modk)); ab(modk)ba(mod k)(∵a-b=mkb-a=(-m)k); ab(mod k)∧bc(mod k)ac(mod k)(∵a-b=mk∧b-c=nka-c=(a-b)+(b-c)=(m+n)k).

  46. 设R为A上等价关系.对每个aA,a(关于R)的等价类是A的子集:[a]R{x|xRa};A中等价类的个数是唯一确定的,称为R的秩设R为A上等价关系.对每个aA,a(关于R)的等价类是A的子集:[a]R{x|xRa};A中等价类的个数是唯一确定的,称为R的秩 • 例如: 整数集I中模k同余等价关系的秩为k;aI的等价类称为a的模k剩余类,记为[a]k.I中恰有k个模k剩余类: [0]k={0,k,2k,3k,} [1]k={1,1k,12k,13k,}    [k-1]+k={k-1,k-1k,k-12k,} • 集合A上相等关系的秩最大,并等于等于A的基数|A|.

  47. 集合A上等价关系R的性质 ① aRb [a]=[b]. ② ab(a,bA([a]=[b]∨[a]∩[b]=) 此性质表明A的秩是唯一确定的. ③ A=∪xA[x].此性质表明A的等价类集是A的一个划分(划分定义见定义3.5-5) ④ A上两个等价关系R,S相等  a(aA[a]R=[a]S).

  48. 集合划分的概念与例 • 非空集合A的非空子集族{A1 ,…,Am}称为A的一个划分,如果 ∪1imAi=A∧ij(ijAi∩Aj=); m称为该划分的秩;Ai称为A的块. • 例①令A为安大本科生的集合,A1,A2,A3,A4分别为安大1,2,3,4年级本科生,则{A1,A2,A3,A4}是A的一个划分. 此外,令M,F为安大男,女本科生的集合,则{M,F}也是A的一个划分. • 例②对任意正整数k,{[0]k,[1]k,…,[k-1]k} 为I的一个划分.此外,令Z,L,F分别为正,零,负整数的集合,则{Z,L,F}为的A另一个划分.

  49. 非空集合A上等价关系R的等价类构成A的一个划分:{[a]R|aA}称为由R导出的划分;也称为A模R,或A关于R的商集,记为A/R.非空集合A上等价关系R的等价类构成A的一个划分:{[a]R|aA}称为由R导出的划分;也称为A模R,或A关于R的商集,记为A/R. 例① 令R为整数模k(>0)的同余等价关系,则 I/R={[0]k,[1]k,…,[k-1]k}. 例②令A为安大本科生的集,R为本科生之间的同年级关系,则R是A上等价关系,且A/R={[a],[b],[c],[d]},其中表示元素a,b,c,d分别是1,2,3,4年级的某个学生,从而[a], [b],[c],[d]分别代表安大1,2,3,4年级本科生的集.

  50. 设{A1,…,Am}为非空集A上的一个划分,对a,bA,令aRbi(a,bAi},所定义的关系R必为A上等价关系,并称为该划分导出的等价关系.设{A1,…,Am}为非空集A上的一个划分,对a,bA,令aRbi(a,bAi},所定义的关系R必为A上等价关系,并称为该划分导出的等价关系. 证: a(aA=A1∪…∪Ami(aAi)),即a(aAaRa); aRbi(a,bAi) i(b,aAi)bRa; aRb∧bRai(a,bAi)∧j(a,bAj) bAi∩Aj; Ai=Aj (∵Ai∩Aj=) ∴ i(a,cAi),得证 aRc.

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