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整数整除的概念和性质

整数整除的概念和性质. 绍兴市鲁迅小学 竺伟波. 我能成为一个科学家，最主要的是：对科学的爱好；思索问题的无限耐心；在观察和收集事实上的勤勉；一种创造力和丰富的常识。 —— 达尔文. 知识纵横. 对于整数 a 和不为零的整数 b ，总存在整数 m ， n 使得 a=bm+n( ０≤ n<b) ，其中 m 称为商， n 称为余数，特别地，当 n=0 时，即 a=bm, 便称 a 被 b 整除 ( 也称 a 是 b 的倍数或 b 是 a 的约数 ) ，记为 b|a ．. 知识纵横. 整除有以下基本性质： 1 ．若 a|b ， a|c ，则 a|(b±c) ；

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整数整除的概念和性质

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  1. 整数整除的概念和性质 绍兴市鲁迅小学 竺伟波

  2. 我能成为一个科学家，最主要的是：对科学的爱好；思索问题的无限耐心；在观察和收集事实上的勤勉；一种创造力和丰富的常识。我能成为一个科学家，最主要的是：对科学的爱好；思索问题的无限耐心；在观察和收集事实上的勤勉；一种创造力和丰富的常识。 ——达尔文

  3. 知识纵横 • 对于整数a和不为零的整数b，总存在整数m，n使得a=bm+n(０≤n<b)，其中m称为商，n称为余数，特别地，当n=0时，即a=bm,便称a被b整除(也称a是b的倍数或b是a的约数)，记为b|a．

  4. 知识纵横 整除有以下基本性质： • 1．若a|b，a|c，则a|(b±c)； • 2．若a|b，b|c，则a|c； • 3．若a|bc，且(a，c)=1，则a|b，特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c； • 4．若b|a，c|a，且(b，c)=1，则bc|a

  5. 解整除有关问题常用到数的整除性常见特征： • 1．被2整除的数：个位数字是偶数； • 2．被5整除的数：个位数字是0或5； • 3．被4整除的数：末两位组成的数被4整除；被2 5整除的数，末两位组成的被2 5整除； • 4．被8整除的数：末三位组成的数被8整除；被125整除的数，末三位组成的被125整除； • 5．被3整除的数：数字和被3整除； • 6．被9整除的数：数字和被9整除； • 7．被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除．

  6. 根据已知条件来确定自然数，是数学活动中常见的一类问题，解这类问题时往往用到下列知识方法：根据已知条件来确定自然数，是数学活动中常见的一类问题，解这类问题时往往用到下列知识方法： • (1)运用整除性 • (2)确定首位数 • (3)利用末位数 • (4)代数化 • (5)不等式估算 • (6)分类讨论求解等

  7. 例题求解 • 【例1】 一个自然数与1 3的和是5的倍数，与1 3的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是 。 • (重庆市竞赛题) 37

  8. 例题求解 • 【例2】 有三个正整数a、b、c，其中a与b互质且b与c也互质，给出下面四个判断：①(a+c)2不能被b整除；②a2+c2不能被b整除；③(a+b)2不能被c整除；④a2+b2不能被c整除，其中不正确的判断有( )． ． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 (“希望杯”邀请赛试题) A

  9. 例题求解 • 【例3】 已知7位数1287xy6是7 2的倍数，求出所有的符合条件的7位数． (第1 5届江苏省竞赛题) 思路点拨 7位数1287xy6能被8，9整除，运用整数能被8、9整除的性质求出x，y的值．

  10. 例题求解 • 【例4】 (1)若a、b、c、d是互不相等的整数，且整数x满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-9=0,求证：4|(a+b+c+d)． • (2)已知两个三位数abc与def的和abc+def能被37整除，证明：六位数也能被3 7整除 思路点拨 (1)x-a，x-b,x-c，x-d是互不相等的整数，且它们的乘积等于9，于是必须把9分解为4个互不相等的因数的积； (2)因已知条件的数是三位数，故应设法把六位数abcdef用三位数的形式表示,以沟通已知与求证结论的联系．

  11. 例题求解 【例5】 (1)一个自然数N被1 0除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，则N的最小值是． (北京市竞赛题) • (2)若1 0 5 9、1 4 1 7、2 3 1 2分别被自然数x除时，所得的余数都是y，则x—y的值等于( )．(“五羊杯”竞赛题) A．1 5 B. 1 C．1 6 4 D．1 7 4 (3)设N=11…1，（共1 9 9 0个 ）试问N被7除余几?并证明你的结论．　　(安徽省竞赛题) 2519 A

  12. 学力训练 • 1．若五位数12a34是3的倍数，那么a是　2．如果从5，6，7，8，9这5个数中，选出4个组成一个四位数，使它能被3，5，7整除，那么这些数中最大的是 　 ． • 3．已知七位数13ab456能被1 9 8整除，那么a= 　 ，b= ． • 4．在1，2，3，…，2 0 0 0这2 0 0 0个自然数中，有个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．

  13. 学力训练 • 5．能整除任意3个连续整数之和的最大整数是( ). A．1 B．2 C．3 D.6 • 6．除以8和9都是余1的所有三位数的和是( ) A．6 4 9 2 B．6 5 6 5 C．7 5 0 1 D.7514 (第1 7届江苏省竞赛题)

  14. 学力训练 7．若2 0 0 2 2 0 0 2…2 0 0 2 1 5 (n个2 0 0 2) 被1 5整除，则n的最小值等于( )． A．2 B．3 C．4 D．5 (2 0 0 2年北京市竞赛题) 8．有棋子若干，三个三个地数余1，五个五个地数余3，七个七个地数余5。则棋子至少有( )． A．2 0 8个 B．1 1 0个 C．1 0 3个 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．1 0 0个

  15. 学力训练 • 9．(1)证明：形如abcabc的六位数一定能被7，11，1 3整除． • (2)若4b+2c+d=32，试问abcd能否被8整除?请说明理由． • 10．已知7位自然数62xy427是9 9的倍数，求代数式950x+24y+1的值． • 11．已知a，b是整数，求证：a+b，ab,a-b这三个数之中，至少有一个是3的倍数．

  16. 能力拓展 12．五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的倍数，那么abcde的最小值是． 13.一个三位自然数，当它分别被2，3，4，5，7除时，余数都是1，那么具有这个性质的最小三位数是 ；最大三位数是． 14．今天是星期日，从今天算起，第1 1 1…1（2000个1）天是星期． 15．用自然数n去除63、91、130，所得到的3个余数的和为26，则n= .

  17. 能力拓展 A • 16.今有自然数带余除法算式：A÷B=C…8，如果A+B+C=2178，那么A= ( )． A．2000 B．2001 C．2071 D．2100 • 17.有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1,2…1997，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下；再将编号为3的倍数的灯线拉一下；最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，3次拉完后亮着的灯数为( )． A．1464盏 B．533盏 C．999盏 D．998盏 C

  18. 能力拓展 C • 18．1997 2000被7除的余数是( ) A．1 B．2 C．4 D．6 • 19．n为正整数，302被n(n+1)除所得商数q及余数r都是正值，则r的最大值与最小值的和是( )． A．148 B．247 C．93 D．122 • 20．某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字的和，则称这张购物券为“幸运券”，试证明：这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被1 0 1整除． A

  19. 能力拓展 21．将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个能被11整除的最大的九位数。请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程。 22．将糖果300粒、饼干210块和苹果163个平均分给某班同学，余下的糖果、饼干和苹果的数量之比是1：3：2．问该班有多少名同学? 23．已知质数p、q使得表达式(2p+1)/q及(2q-3)/p都是自然数，试确定p2q的值。

  20. 综合创新 24．重排任一个三位数三个位上的数字，得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差构成另一个三位数(允许百位数字为0)，再重复以上的过程，问重复2003次后所得的数是多少?证明你的结论． (2 0 0 4年武汉市选拔赛试题)

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