1 / 26

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика. Занятие 5. Основные числовые характеристики случайных величин. Преподаватель – доцент кафедры ВМ, к.ф.-м.н., Шерстнёва Анна Игоревна. Дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная случайная величина:.

Download Presentation

Теория вероятностей и математическая статистика

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Теория вероятностей и математическая статистика Занятие 5. Основные числовые характеристики случайных величин Преподаватель – доцент кафедры ВМ, к.ф.-м.н., Шерстнёва Анна Игоревна

  2. Дискретныеи непрерывныеслучайные величины. Дискретная случайная величина: принимает отдельные, изолированные значения. Непрерывная случайная величина: возможные значения целиком заполняют некоторый промежуток. f (x)= F’(x) F(x) = p(X < x) плотность распределения функция распределения

  3. 1. Математическое ожидание Возможные значения случайной величины сосредоточены вокруг некоторого среднего значения этой случайной величины. Для характеристики этого среднего значения и служит математическое ожидание. Для дискретной и непрерывной случайной величины математическое ожидание определяется по-разному.

  4. X x1 x2 … xn Пусть p p1 p2 … pn Если случайная величина Х принимает бесконечное множество значений, то Определение.Математическим ожиданиемдискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех возможных значений этой случайной величины на соответствующие им вероятности. Обозначается М(Х).

  5. Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближённо равно средне-му арифметическому значений случайной величины. Пусть n – количество испытаний (достаточно большое). Найдём среднее арифметическое всех значений:

  6. Определение. Математическим ожиданиемнепрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определённый интеграл f(x) – плотность распределения случайной величины Если возможные значения случайной величины распределены по всей оси Ox, то

  7. 2. Дисперсия Пример. , но X и Y сильно отличаются Нужна оценка рассеяния возможных значений случайной величины от математического ожидания.

  8. Вопрос: можно ли для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вычислить отклонения каждого из этих значений от математического ожида-ния и затем найти их среднее? 1 0

  9. Определение. Дисперсиейслучайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от её математического ожидания:

  10. 1. Дискретная случайная величина

  11. Пример. Способ 1. Х 2 5 7 р (Х–М(Х))2 9 0 4 4 Х 2 25 49 Способ 2.

  12. 2. Непрерывная случайная величина По определению Но

  13. 3. Среднее квадратическое отклонение Определение.Средним квадратическим отклоне-ниемслучайной величины Х называют корень из её дисперсии:

  14. 4. Начальный момент порядка k – дискретная – непрерывная Начальный момент первого порядка: – математическое ожидание

  15. 5. Центральный момент порядка k – дискретная – непрерывная Центральный момент второго порядка: – дисперсия

  16. 6. Мода Для дискретной случайной величины мода – это наиболее вероятное по сравнению с двумя соседними значение. 0,24 0,36 0,20 < > Мода: 20

  17. Для непрерывной случайной величины мода – значение, при котором плотность распределения f(x) достигает максимума.

  18. У случайной величины может быть несколько мод. Распределения с одной, двумя или большим чис-лом мод называются соответственно унимодаль-ными, бимодальнымиили мультимодальными.

  19. 7. Медиана такое число m, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше m или больше m, то есть Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная плотностью распределения, делится пополам. Площадь всей фигуры: 1 ½ ½

  20. 8. Квантиль уровня р такое число хр, что F(x) – функция распределения F-1(x) – функция, обратная к функции распределения Квантиль уровня 0.5 – это медиана. Квантили уровней ¼, ½, ¾ называют соответственно первым, вторым и третьим квартилями. Квантили уровней 0.1, 0.2, 0.3, …, 0.9 называют децилями. Квантили уровней 0.01, 0.02, 0.03, …, 0.99называют процентилями.

  21. Основные дискретные распределения 1. Биномиальное распределение Возможные значения: k = 0, 1, 2, …, n р – параметр распределения p(k) = pk(1 – p)n-k Cnk М(Х) = np D(Х) = npq 2. Распределение Пуассона Возможные значения: k =0, 1, 2, …, n λ – параметр распределения

  22. 3. Геометрическое распределение Возможные значения: все натуральные числа k = 1, 2, 3, … p(k) = (1 – p)k-1p р – параметр распределения 4. Гипергеометрическое распределение Возможные значения: k =0, 1, 2, …, min (M,n) N, M, n – параметры распределения

  23. Основные непрерывные распределения 1. Показательное распределение λ – параметр распределения 2. Равномерное распределение a, b – параметры распределения

  24. 3. Нормальное распределение a, σ – параметры распределения

  25. Контрольные вопросы • Какопределяется математическое ожидание дискретной случайной величины? • Какопределяется математическое ожидание непрерывной случайной величины? • Какой вероятностный смысл математического ожидания? • Что такое дисперсия случайной величины? • Что характеризует дисперсия? • Какопределяется дисперсия дискретной случайной величины? • Какопределяется дисперсия непрерывной случайной величины? • Что такое среднее квадратическое отклонение случайной величины? • Как определяются начальные моменты порядка k? • Чем является начальный момент первого порядка?

  26. Контрольные вопросы • Как определяются центральные моменты порядка k? • Чем является центральный момент второго порядка? • Что такое мода дискретной случайной величины? Непрерывной? • Как определяется медиана случайной величины? • Приведите геометрическую иллюстрацию медианы. • Что такое квантили уровня p? • Чему равны математические ожидания и дисперсии основных дискретных и непрерывных распределений?

More Related